Aljabar

Aljabar elementer mengkaji nilai-nilai manakah yang menyelesaikan persamaan menggunakan operasi aritmetika.

Aljabar abstrak mengkaji struktur aljabar, seperti gelanggang bilangan bulat yang berupa himpunan dari bilangan bulat ${\displaystyle (\mathbb {Z} )}$ bersamaan dengan dua operasi: penambahan (${\displaystyle +}$) dan perkalian (${\displaystyle \times }$).

Aljabar adalah cabang matematika yang mengkaji sistem-sistem abstrak tertentu, yang dikenal sebagai struktur aljabar, serta memanipulasi ekspresi di dalam sistem-sistem tersebut. Aljabar merupakan bentuk umum aritmetika yang memperkenalkan variabel dan operasi-operasi aljabar selain operasi aritmetika standar seperti penambahan dan perkalian.

Aljabar elementer adalah bentuk utama aljabar yang dipelajari di banyak sekolah. Aljabar elementer mempelajari pernyataan matematika menggunakan variabel sebagai nilai-nilai yang tidak diketahui dan mencari nilai manakah yang benar pada pernyataan itu. Cara menyelesaikan permasalahan itu dapat digunakan metode yang mengubah persamaan menjadi variabel yang terisolasi. Aljabar linear adalah cabang yang sangat berkaitan dengan mempelajari persamaan linear dan gabungannya yang disebut sistem persamaan linear. Aljabar linear menyediakan metode mencari nilai-nilai yang menyelesaikan semua persamaan di dalam sistem di waktu yang sama, serta mengkaji himpunan solusi tersebut.

Aljabar abstrak mengkaji struktur aljabar, yang terdiri dari himpunan dari objek matematika bersama dengan satu atau beberapa operasi yang didefinisikan pada himpunan itu. Aljabar abstrak adalah bentuk umum aljabar elementer dan aljabar linear, karena kajiannya memungkinkan objek matematika selain daripada bilangan dan operasi-operasi yang bukan aritmetika. Aljabar abstrak membedakan jenis-jenis struktur aljabar seperti grup, gelanggang, dan lapangan, berdasarkan jumlah operasi yang digunakan serta hukum yang diikuti, yang disebut aksioma. Aljabar universal dan teori kategori menyediakan kerangka yang lebih umum untuk mempelajari pola-pola abstrak yang mencirikan kelas struktur aljabar yang berbeda.

Metode aljabar pertama kali dikaji pada zaman kuno untuk menyelesaikan permasalahan spesifik dalam cabang matematika lain seperti geometri. Beberapa matematikawan kemudian menguji teknik-teknik umum untuk memecahkan permasalahan sendiri dari penerapan spesifiknya. Pada kala itu, matematikawan menjelaskan persamaan dan solusi menggunakan kata dan singkatan hingga adanya simbol-simbol formal yang dikembangkan pada abad ke-16 dan ke-17. Pada abad pertengahan ke-19, jangkauan konsep aljabar meluas yang melalui teori persamaan, yang meliputi jenis-jenis operasi dan struktur aljabar yang beragam. Selain geometri, aljabar berkaitan dengan banyak cabang matematika seperti topologi, teori bilangan, dan kalkulus, and serta cabang-cabang lain seperti logika dan ilmu empiris.

Definisi dan etimologi

Aljabar adalah cabang matematika yang mempelajari struktur-struktur aljabar beserta operasi-operasi yang digunakan.[1] Struktur aljabar disini berarti suatu himpunan tak kosong yang terdiri atas objek matematika seperti bilangan bulat, bersamaan dengan operasi aljabar yang didefinisikan pada himpunan tersebut seperti operasi penambahan dan perkalian.[2][a] Aljabar mempelajari mengenai hukum, karakteristik umum, dan jenis-jenis struktur aljabar. Dalam strukrur aljabar tertentu, aljabar menguji kegunaan variabel dalam persamaan serta cara memanipulasi persamaan-persamaan tersebut.[4][b]

Aljabar sering kali dipahami sebagai bentuk umum dari cabang aritmetika,[8] cabang yang mempelajari operasi-operasi penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, dalam domain bilangan real khusus seperti bilangan real.[9] Aljabar elementer mencakup tingkat abstraksi paling awal. Sama seperti aritmetika, aljabar elementer membatasi abstraksinya ke dalam bentuk jenis-jenis bilangan spesifik dan operasi. Aljabar elementer mengeneralisasi operas-operasi tersebut dengan mengizinkan nilai kuantitas yang tak terdefinit dalam bentuk variabel selain bilangan.[10] Tingkat abstraksi yang lebih tinggi dapat ditemukan di dalam cabang aljabar abstrak, yang tidak dibatasi ke domain khusus dan malahan menguji struktur aljabar seperti grup dan gelanggang. Konsep dalam aljabar abstrak memperluas ke luar operasi-operasi aritmetika yang biasanya dengan meliputi jenis operasi lainnya.[11] Di atas cabang itu, terdapat aljabar universal yang merupakan tingkat abstraksi yang lebih tinggi, sebab konsepnya tidak mempelajari struktur aljabar spesifik, melainkan mempelajari karateristik dari struktur aljabar yang umum.[12]

Kata aljabar berasal dari judul buku al-Khwarizmi, Al-Jabr.[13]

Istilah "aljabar" terkadang digunakan dalam pengertian yang lebih sempit, yang hanya mengacu pada aljabar elementer atau hanya aljabar abstrak.[14] Ketika istilah itu digunakan sebagai kata benda yang dapat dihitung (countable noun [en]), aljabar disini diartikan sebagai suatu jenis strukru aljabar spesifik yang melibatkan ruang vektor dilengkapi dengan jenis operasi biner tertentu.[15] Selain itu, istilah "aljabar" dapat mengacu pada struktur aljabar lainnya tergantung konteks, seperti aljabar Lie atau aljabar asosiatif.[16]

Kata aljabar berasal dari istilah bahasa Arab الجبر (al-jabr), yang berarti perlakuan operasi pada terapi tulang. Pada abad ke-9, istilah tersebut diambil sebagai pengertian matematis ketika matematikawan Persia Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi menggunakannya untuk menjelaskan suatu metode menyelesaikan persamaan dan juga sebagai judul di dalam risalahnya mengenai aljabar yang berjudul al-Kitāb al-Mukhtaṣar fī Ḥisāb al-Jabr wal-Muqābalah, yang kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Latin sebagai Liber Algebrae et Almucabola.[c] Kata tersebut kemudian masuk ke dalam bahasa Inggris pada abad ke-16 dari bahasa Italia, Spanyol, dan Latin di abad pertengahan.[18] Pengertian kata aljabar pada awalnya dibatasi hingga ke teori persamaan, dalam artian suatu seni dalam memanipulasi persamaan polinomial dalam rangka untuk memecahkannya. Pengertian kata aljabar kemudian berubah pada abad ke-19[d] ketika cakupan konsep aljabar meluas yang meliputi kajian berbaga jenis operasi aljabar dan struktur aljabar bersamaan dengan aksioma.[21]

Aljabar elementer

Artikel utama: Aljabar elementer

Notasi ekspresi aljabar:
  1 – pangkat (eksponen)
  2 – koefisien
  3 – suku
  4 – operator
  5 – suku konstanta
  ${\displaystyle c}$ – konstanta
  ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ – variabel

Aljabar elementer adalah bentuk aljabar tertua sekaligus paling mendasar.[22] Aljabar elementer adalah bentuk umum dari aritmetika yang mengandalkan variabel dan mengkaji cara pernyataan matematis dapat diubah.[23] Aritmetika disini adalah kajian operasi perhitungan dan mengkaji bagaimana suatu bilangan digabungkan dan diubah menjadi operasi aritmetika seperti penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, eksponensiasi, pengakaran, dan logaritma. Sebagai contoh, operasi penambahan menggabungkan dua bilangan (yang disebut penambah) menjadi bilangan ketiga (yang disebut jumlah), seperti ${\displaystyle 2+5=7}$.[9]

Aljabar elementer mengandalkan operasi yang sama, meskipun variabel juga dihadirkan selain bilangan biasa. Variabel melambangkan kuantitas yang tidak diketahui, yang dapat digunakan sebagai lambang untuk menyatakan kepada seseorang tidak mengetahui nilai pasti serta mengekpresikan hukum umum yang pernyataannya benar, apapun bilangan yang digunakan. Sebagai contoh, persamaan ${\displaystyle 2\times 3=3\times 2}$ milik cabang aritmetika karena mengekpresikan sebuah kesamaan hanya untuk bilangan-bilangan spesifik. Bilangan pada persamaan tersebut dapat diganti dengan variabel, yang memungkinkan untuk mengekpresikan hukum umum yang menerapkan ke sebarang kombinasi bilangan, seperti sifat perkalian komutatif, yang dinyatakan dalam persamaan ${\displaystyle a\times b=b\times a}$.[23]

Ekspresi aljabar dibentuk dengan menggunakan operasi aritmetika untuk menggabungkan variabel dan bilangan. Berdasarkan konvensi ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, dan ${\displaystyle z}$ melambangkan variabel. Pada beberapa kasus, subskripsi juga ditambahkan untuk membedakan variabel seperti ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$, and Huruf kecil ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, dan ${\displaystyle c}$ biasanya digunakan sebagai konstanta dan koefisien.[e] Ekspresi ${\displaystyle 5x+3}$ adalah contoh ekspresi aljabar yang diciptakan dengan mengalikan bilangan 5 dengan variabel ${\displaystyle x}$, yang kemudian ditambahkan 3 sebagai hasil akhirnya. Contoh ekspresi aljabar lainnya adalah ${\displaystyle 32xyz}$ dan ${\displaystyle 64x_{1}^{2}+7x_{2}-c}$.[25]

Beberapa ekspresi aljabar mengambil bentuk pernyataan yang mengaitkan dua ekspresi ke suatu ekspresi yang lain. Persamaan adalah suatu pernyataan yang dibentuk dengan membandingkan dua ekspresi, katakanlah ekspresi itu sama. Kesamaan kedua ekspresi itu menggunakan lambang sama dengan (${\displaystyle =}$), seperti ${\displaystyle 5x^{2}+6x=3y+4}$. Pertidaksamaan melibatkan jenis perbandingan, katakanlah dua ruas sisi berbeda. Ketidaksamaan tersebut menggunakan lambang kurang dari (${\displaystyle <}$), lebih dari (${\displaystyle >}$), dan lambang tidak sama dengan (${\displaystyle \neq }$). Tidak seperti ekspresi lainnya, pernyataan dapat benar atau salah, dan nilai kebenarannya biasanya bergantung pada nilai variabel. Sebagai contoh, pernyataan ${\displaystyle x^{2}=4}$ benar jika ${\displaystyle x}$ bernilai 2 atau −2, tetapi pernyataan sebaliknya salah.[26] Persamaan dengan variabel dapat dibagi menjadi persamaan identitas dan persamaan bersyarat. Persamaan identitas adalah benar untuk semua nilai yang dapat ditetapkan dengan variabel, seperti persamaan ${\displaystyle 2x+5x=7x}$. Sementara itu, persamaan bersyarat adalah benar untuk suatu nilai; sebagai contoh, persamaan ${\displaystyle x+4=9}$ adalah benar apabila ${\displaystyle x}$ bernilai 5.[27]

Tujuan utama aljabar elementer adalah menentukan nilai bila suatu pernyataan itu benar. Ini didapatkan dengan mengubah dan memanipulasi pernyataan menurut hukum-hukum tertentu. Prinsip utama yang menuntun proses tersebut adalah operasis apapun yang diterapkan ke sebelah ruas suatu persamaan harus diterapkan juga ke ruas lainnya. Sebagai contoh, jika seseorang mengurangi 5 dari ruas kiri suatu persamaan, maka seseorang juga mengurangi 5 dari ruas kanan supaya kedua ruas menjadi seimbang nilainya. Tujuan dari langkah-langkah ini biasanya mengisolasikan suatu variabel pada sebelah ruas persamaan. Sebagai contoh, persamaan ${\displaystyle x-7=4}$ dapat diselesaikan untuk ${\displaystyle x}$ dengan menambahkan 7 pada kedua ruas, sehingga mengisolasikan ${\displaystyle x}$ pada ruas kiri dan hasilnya menjadi ${\displaystyle x=11}$.[28]

Ada banyak teknik lain yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan. Penyederhanaan (simplification) digunakan untuk menggantikan ekspresi yang sulit bentuknya menjadi ekspresi yang lebih mudah. Sebagai contoh, ekspresi ${\displaystyle 7x-3x}$ dapat diganti dengan ${\displaystyle 4x}$ karena ${\displaystyle 7x-3x=(7-3)x=4x}$ menurut sifat distributif.[29] Untuk pernyataan dengan beberapa variabel, substitusi adalah teknik umum untuk menggantikan suatu variabel dengan suatu ekspresi ekuivalen yang tidak menggunakan variabel tersebut. Sebagai contoh, jika ${\displaystyle y=3x}$ maka ekspresi ${\displaystyle 7xy}$ dapat disubstitusikan sehingga hasilnya menjadi ${\displaystyle 21x^{2}}$. Dengan cara yang sama, jika seseorang tahu nilai suatu variabel, maka seseorang dapat menggunakan variabel itu untuk menentukan nilai dari variabel yang lain.[30]

Persamaan aljabar dapat digunakan untuk menjelaskan gambaran geometri. Semua nilai untuk ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$ yang menyelesaikan persamaan dapat dipandang sebagai titik. Kumpulan titik tersebut pada akhirnya digambarkan sebagai garis merah pada grafik ini.

Persamaan aljabar dapat dipandang secara geometris untuk membentuk gambaran spasial dalam bentuk grafik. Caranya adalah variabel yang berbeda di dalam persamaan dapat dipandang sebagai koordinat dan nilai yang menyelesaikan persamaan dipandang sebagai titik suatu grafik. Sebagai contoh, jika ${\displaystyle x}$ ditetapkan bernilai nol dalam persamaan ${\displaystyle y=0.5x-1}$, maka ${\displaystyle y}$ pasti bernilai −1 supaya persamaan itu menjadi benar. Ini berarti bahwa pasangan ${\displaystyle (x,y)}$ bernilai ${\displaystyle (0,-1)}$ menjadi bagian dari grafik persamaan. Sebaliknya, pasangan ${\displaystyle (x,y)}$ bernilai ${\displaystyle (0,7)}$ tidak menyelesaikan persamaan dan bukan bagian dari grafik. Grafik meliputi totalitas dari pasangan ${\displaystyle (x,y)}$ yang menyelesaikan suatu persamaan.[31]

Polinomial

Artikel utama: Polinomial

Polinomial adalah suatu ekspresi yang terdiri dari satu suku atau lebih yang ditambahkan atau dikurangi dari suku yang lain, contohnya seperti ${\displaystyle x^{4}+3xy^{2}+5x^{3}-1}$. Tiap-tiap suku dapat berupa konstanta, variabel, atau hasil kali dari konstanta dan variabel. Tiap-tiap variabel dapat dinaikkan ke dalam perpangkatan bilangan bulat positif. Monomial adalah polinomial dengan satu suku, sedangkan polinomial dengan dua dan tiga suku disebut binomial dan trinomial. Derajat polinomial adalah nilai maksimum (di antara sukunya) dari penjumlahan perpangakatan variabel (contoh yang di atas adalah polinomial berderajat 4).[32] Polinomial berderajat satu (atau dengan polinomial dengan derajat satu) disebut polinomial linear. Aljabar linear mengkaji sistem polinomial linear.[33] Suatu polinomial dikatakan univariat atau multivariat, tergantung apakah polinomial itu menggunakan satu variabel atau lebih.[34]

Faktorisasi adalah metode menyederhanakan polinomial, sehingga terlihat mudah untuk menganalisisnya dan menentukan nilai dengan cara mengevaluasi polinomial bernilai nol. Faktorisasi berarti menulis ulang suatu polinomial sebagai hasi kali dari beberapa faktor. Sebagai contoh, polinomial ${\displaystyle x^{2}-3x-10}$ dapat difaktorkan sebagai ${\displaystyle (x+2)(x-5)}$. Polinomial secara keseluruhan berniai nol jika dan hanya jika salah satu dari faktornya bernilai nol, yaitu ${\displaystyle x}$ bernilai −2 atau 5.[35] Sebelum abad ke-19, studi aljabar lebih berfokus pada persamaan polinomial, yaitu persamaan yang diperoleh dengan menyamakan suatu polinomial menjadi nol. Cobaan pertama menyelesaikan persamaasn polinomial adalah dengan mengekpresikan solusi dalam bentuk akar. Solusi persamaan dengan derajat dua dalam bentuk ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ dinyatakan dalam bentuk rumus kuadrat[36]$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.}$$Solusi untuk polinomial dengan derajat 3 dan 4 dinyatakan dalam bentuk rumus kubik dan rumus kuartik. Akan tetapi, tidak ada solusi umum yang derajatnya yang lebih tinggi, sebagaimana dibuktikan menurut teorema Abel–Ruffini pada abad ke-19.[37] Bahkan ketika solusi umum tidak ada, solusi pendekatan dapat ditemukan dengan menggunakan alat-alat numerik seperti metode Newton–Raphson.[38]

Teorema dasar aljabar menyatakan bahwa setiap persamaan polinomial univariat berderajat positif dengan koefisien real ataupun kompleks stidaknya memiliki satu buah solusi kompleks. Akibatnya, setiap polinomial berderajat positif dapat difaktorkan menjadi polinomial linear. Teorema ini dibuktikan pada awal abad ke-19, tetapi hal itu tidak menutupi permasalahan karena teorema tersebut tidak menyediakan cara menghitung solusi.[39]

Aljabar linear

Artikel utama: Aljabar linear

Aljabar linear mempelajari kajian sistem persamaan linear.[40] Suatu persamaan adalah linear jika persamaan itu dapat dituliskan sebagai ${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}=b}$, dengan ${\displaystyle a_{1}}$, ${\displaystyle a_{2}}$, ..., ${\displaystyle a_{n}}$ adalah ${\displaystyle b}$ adalah konstanta. Contohnya seperti ${\displaystyle x_{1}-7x_{2}+3x_{3}=0}$ dan ${\textstyle {\frac {1}{4}}x-y=4}$. Suatu sistem persamaan linear berarti kumpulan persamaan linear yang memiliki solusi yang sama.[41]

Matriks adalah susunan nilai dalam bentuk persegi panjang. Matriks pada awalnya diperkenalkan dengan tujuan sebagai notasi yang kompak dan sintetik untuk sistem persamaan linear.[42] Sebagai contoh, sistem persamaan$${\displaystyle {\begin{aligned}9x_{1}+3x_{2}-13x_{3}&=0\\2.3x_{1}+7x_{3}&=9\\-5x_{1}-17x_{2}&=-3\end{aligned}}}$$dapat ditulis sebagai$${\displaystyle AX=B,}$$dengan ${\displaystyle A,X}$ dan ${\displaystyle B}$ adalah matriks yang dinyatakan sebagai$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}9&3&-13\\2.3&0&7\\-5&-17&0\end{bmatrix}},\quad X={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}0\\9\\-3\end{bmatrix}}.}$$Matriks dapat ditambahkan, dikalikan, dan terkadang diinvers di bawah kondisi jumlah baris dan kolom. Semua metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dapat dinyatakan sebagai manipulasi matriks melalui operasi-operasi tersebut. Sebagai contoh, ketika menghitung matriks invers ${\displaystyle A^{-1}}$, maka terdapat sifat bahwa ${\displaystyle A^{-1}A=I,}$ disini ${\displaystyle I}$ adalah matriks identitas. Ketika mengalikan kedua ruas pada persamaan di atas di sebelah kiri anggota oleh ${\displaystyle A^{-1},}$ maka sifat invers itu berlaku dan sistem persamaan linear menjadi[43]$${\displaystyle X=A^{-1}B.}$$

Metode menyelesaikan sistem persamaan linear yang berkisar dari teknik pengenalan seperti substitusi[44] dan eliminasi,[45] hingga teknik yang lebih sulit menggunakan matriks seperti aturan Cramer, eliminasi Gauss, dekomposisi LU.[46] Suatu sistem persamaan adalah inkonsisten, yang berarti tidak adalah solusi karena persamaan saling kontradiksi dengan yang lain.[47][f] Sistem persamaan linear adalah konsisten jika mereka memiliki satu solusi tunggal atau tak berhingga banyaknya solusi.[48][g]

Kajian ruang vektor dan pemetaan linear merupakan konsep bagian aljabar linear yang penting. Ruang vektor adalah struktur aljabar yang dibentuk oleh himpunan dengan operasi penambahan yang membentuk grup abelian dan perkalian skalar yang kompatibel dengan operasi penambahan. Pemetaan linear adalah suatu fungsi di antara ruang vektor yang kompatibel dengan operasi penambahan dan perkalian skalar. Pada kasus ruang vektor berdimensi hingga, vektor-vektor dan pemetaan linear dapat dinyatakan dalam bentuk matriks. Dengan demikian, teori-teori mengenai matriks dan ruang vektor berdimensi hingga pada awalnya sama. Penjelasan spesifiknya, ruang vektor menyediakan cara ketiga untuk mengekpresikan serta memanipulasi sistem persamaan linear.[49] Dari sudut pandang tersebut, matriks dapat diartikan sebagai representasi pemetaan linear. Artinya, jika seseorang memilih suatu basis tertentu untuk menjelaskan vektor-vektor yang sedang ditransformasikan, maka entri-entri di dalam matriks memberikan hasil menerapkan pemetaan linear ke vektor basis.[50]

Secara geometris, persamaan linear dengan dua variabel dapat digambarkan sebagai garis. Solusi persamaan linear tersebut adalah titik yang merupakan perpotongan dari kedua garis.

Sistem persamaan linear dapat digambarkan secara geometris. Untuk sistem persamaan dengan dua variabel, tiap-toap persamaan mewakili suatu garis di dalam ruang berdimensi dua. Titik yang merupakan perpotongan dua garis adalah solusi dari seluruh sistem persamaan, sebab titik tersebut adalah satu-satunya solusi untuk baik persamaan pertama maupun persamaan kedua. Akan tetapi untuk sistem persamaan yang tak konsisten, dua garis malah saling sejajar, yang artinya tidak ada solusi sama sekali karena kedua garis itu tidak pernah berpotongan. Andaikata kedua persamaan itu tidak independen maka mereka menggambarkan garis yang sama, yang artinya setiap solusi dari satu persamaan juga merupakan solusi dari persamaan yang lain. Kaitan tersebut memberikan kemungkinan mencari solusi secara grafis dengan menggambarkan persamaan-persamaan dan menentukan titik mana yang mereka saling berpotongan.[51] Prinsip yang sama juga berlaku untuk sistem persamaan yang terdiri dari banyak variabel, tetapi yang membedakannya mereka tidak menggambarkan garis, melainkan bangunan yang berdimensi lebih tinggi. Sebagai contoh, sistem persamaan yang memiliki tiga variabel digambarkan sebagai bidang di dalam ruang berdimensi tiga, dan titik yang merupakan perpotongan dari semua bidang merupakan solusi dari sistem persamaan tersebut.[52]

Aljabar abstrak

Artikel utama: Aljabar abstrak

Aljabar abstrak adalah kajian struktur aljabar.[53] Struktur aljabar dapat diartikan sebagai kerangka awal mula pemahaman operasi pada objek matematika, seperti penambahan dari bilangan-bilangan. Kalau aljabar elementer dan aljabar membatasi struktur aljabar khusus, kajian aljabar abstrak lebih berfokus pada pendekatan lebih umum yang membandingkan bagaimana struktur aljabar berbeda dengan yang lain serta struktur aljabar itu merupakan jenis apa: grup, gelanggang, dan lapangan.[54] Poin penting dari perbedaan jenis struktur aljabar terletak pada jumlah operasi yang digunakan dan hukum yang dipenuhi.[55] Dalam pendidikan matematika, aljabar abtrak mengacu pada kursus sarjana yang sebagian mahasiswa ambil setelah menyelesaikan kursus aljabar linear.[56]

Banyak struktur aljabar mengandalkan operasi biner, yang mengambil dua objek sebagai input dan kemudian menggabungkannya menjadi satu objek, yaitu output; contohnya seperti penambahan dan perkalian.

Dalam tingkat yang formal, struktur aljabar adalah suatu himpunan[h] dari objek matematika, yang disebut himpunan pendasar (underlying set), bersamaan dengan satu atau beberapa operasi.[i] Aljabar abstrak lebih berfokus pada operasi biner,[j] yang megambil sebarang dua objek dari himpunan pendasar sebagai input dan kemudian memetakannya ke objek lain ke himpunan itu sebagai output.[60] Sebagai contoh, struktur aljabar ${\displaystyle \langle \mathbb {N} ,+\rangle }$ memiliki bilangan asli (${\displaystyle \mathbb {N} }$) sebagai himpunan pendasarnya serta penambahan (${\displaystyle +}$) sebagai operasi binernya.[58] Himpunan pendasar dapat mengandung objek matematika selain bilangan, dan operasi tidak dibatasi ke operasi aritmetika pada biasanya.[61] Sebagai contoh, himpunan pendasar grup simetri dari suatu ojek geometris dibentuk dari transformasi geometris seperti rotasi, yang berarti setiap objek yang ditransformasi tetap tidak berubah. Operasi binernya adalah komposisi fungsi, yang mengambil dua transformasi sebagai input dan memiliki hasil transformasi yang didapatkan dengan menerapkan transformasi pertama yang kemudian menerapkan transformasi kedua sebagai output-nya.[62]

Teori grup

Artikel utama: Teori grup

Aljabr abstrak mengklasifikasi struktur aljabar berdasarkan hukum atau aksioma yang dipatuhi operasi-operasinya beserta jumlah operasi yang digunakan. Jenis struktur aljabar yang paling mendasar adalah grup, yang memiliki satu operasi serta syarat bahwa operasi itu asosiatif, memiliki anggota identitas dan anggota invers. Suatu operasi adalah asosiatif jika urutan dari beberapa operasi tidak diperhatikan, dalam artian ${\displaystyle (a\circ b)\circ c}$[k] sama saja dengan ${\displaystyle a\circ (b\circ c)}$ untuk semua anggota. Suatu operasi memiliki anggota identitas jika terdapat suatu anggota ${\displaystyle e}$ yang tidak berubah nilainya dari anggota yang lain, dalam artian jika ${\displaystyle a\circ e=e\circ a=a}$. Suatu operasi memiliki anggota invers jika untuk sebarang anggota ${\displaystyle a}$ maka terdapat anggota timbal balik (reciprocal element) ${\displaystyle a^{-1}}$ yang membatalkan ${\displaystyle a}$. Jika suatu anggota mengoperasi pada inversnya maka hasilnya menjadi anggota identitas ${\displaystyle e}$, yang diekpresikan secara formal sebagai ${\displaystyle a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e}$. Setiap struktur aljabar yang memenuhi semua syarat tersebut dapat dikatakan sebagai grup.[64] Sebagai contoh, ${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,+\rangle }$ adalah grup yang dibentuk oleh himpunan dari bilangan bulat terhadap operasi penambahan. Anggota identitasnya adalah 0 dan anggota inversnya dari sebarang bilangan ${\displaystyle a}$ adalah ${\displaystyle -a}$.[65] Sementara itu, himpunan bilangan asli terhadap operasi penambahan tidak merupakan grup karena hanya mempunyai bilangan bulat positif, sehingga tidak ada anggota invers.[66]

Teori grup mempelajari kealamian grup, yang memiliki teorema dasar seperti teorema dasar grup abelian hingga dan teorema Feit–Thompson.[67] Teirema terakhir adalah langkah awal penting dalam salah satu pencapaian matematika terpenting pada abad ke-20. Pencapaian tersebut mebawa upaya kolaboratif, yang menerbitkan 10.000 jurnal kebanyakan di antara tahun 1960 dan 2004. Akibatnya, karya-karya tersebut melengkapi klasifikasi grup sederhana hingga.[68]

Teori gelanggang dan teori lapangan

Artikel utama: Teori gelanggang dan Lapangan (matematika)

Gelanggang adalah struktur aljabar dengan dua operasi yang kerjanya sama seperti operasi penambahan dan perkalian dari bilangan, serta dinamai dan dilambangkan dengan cara yang serupa pada umumnya. Gelanggang adalah grup komutatif terhadap operasi penambahan. Artinya penambahan dari gelanggang bersifat asosiatif, komutatif, serta memiliki anggota identitas dan invers. Perkaliannya bersifat asosiatif dan distributif terhadap operasi penambahan, dalam artian ${\displaystyle a(b+c)=ab+ac}$ and ${\displaystyle (b+c)a=ba+ca.}$ Lebih lanjut, perkalian bersifat asosiatif dan memiliki anggota identitas yang umumnya dilambangkan 1.[69][l] Perkalian tidak harus komutatif, karena kalau komutatif, maka gelanggang itu juga komutatif.[71] Gelanggang bilangan bulat (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) adalah gelanggang komutatif paling sederhana.[72]

Lapangan adalah gelanggang komutatif sehingga ${\displaystyle 1\neq 0}$ dan masing-masing anggota tak nol memiliki invers perkalian.[73] Gelanggang bilangan bulat tidak membentuk suatu lapangan karena kekurangan invers perkalian. Sebagai contoh, invers perkalian dari ${\displaystyle 7}$ adalah ${\displaystyle {\tfrac {1}{7}}}$, yang bukan merupakan bilangan bulat. Bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks masing-masing membentuk lapangan dengan operasi penambahan dan perkalian.[74]

Teori gelanggang mengkaji gelanggang, dan menjelajahi konsep seperti subgelanggang, gelanggang kuosien, gelanggang polinomial, dan ideal, serta juga teorema seperti teorema basis Hilbert.[75] Teori lapangan bersangkutan dengan lapangan, mempelajari ekstensi lapangan, klosur aljabar, dan lapangan hingga.[76] Teori Galois mempelajari kaitan antara teori lapangan dan teori grup, yang mengandalkan teorema dasarnya.[77]

Teori interrelasi di antara struktur-struktur

Diagram mengenai kaitan antara struktur aljabar. Sebagai contoh, bagian di atas kanan menunjukkan bahwa magma menjadi semigrup jika operasinya bersifat asosiatif.

Selain grup, gelanggang, dan lapangan, terdapat banyak struktur aljabar lainnya yang dikaji dalam aljabar. Struktur aljabar tersebut meliputi magma, semigrup, monoid, grup abelian, gelanggang komutatif, modul, lattice, ruang vektor, aljabar atas lapangan, serta aljabar asosiatif dan non-asosiatif. Struktur aljabar tersebut berbeda satu sama lain dalam hal jenis objek yang dijelaskan dan syarat-syarat yang harus dipenuhi operasinya. Banyak struktur yang berkaitan dengan satu sama lain dalam hal tersebut dengan menambahkan beberapa syarat, sebuah struktur dasar yang dapat diubah menjadi struktur lebih lanjut.[55] Sebagai contoh, suatu magma menjadi suatu semigrup jika operasinya bersifat asosiatif.[78]

Homomorfisma adalah alat menguji tampilan struktur dengan membandingkan dua struktur aljabar.[79] Suatu homomorfisma adalah suatu fungsi yang dipetakan dari himpunan pendasar suatu struktur aljabar ke himpunan pendasar suatu struktur aljabar lainnya sehingga mempertahankan karakteristik struktural tertentu. Secara formal, jika dua buah struktur aljabar menggunakan operasi biner, yang ditulis dalam bentuk ${\displaystyle \langle A,\circ \rangle }$ dan ${\displaystyle \langle B,\star \rangle }$, maka fungsi ${\displaystyle h:A\to B}$ adalah homomorfisma apabila memenuhi syarat bahwa ${\displaystyle h(x\circ y)=h(x)\star h(y)}$. Keberadaan homomorfisma memperlihatkan bahwa operasi ${\displaystyle \star }$ pada struktur aljabar yang kedua memainkan peran yang sama seperti operasi ${\displaystyle \circ }$ pada struktur aljabar yang pertama.[80] Isomorfisma adalah jenis homomorfisma khusus yang mengindikasikan tingkat kesamaan yang lebih tinggi di antara dua struktur aljabar. Suatu isomorfisma adalah homomorfisma bijektif, yang berarti homomorfisma yang membangun kaitan korespondensi satu-satu di antara anggota dari dua buah struktur aljabar. Hal ini menyiratkan bahwa setiap anggota dari struktur aljabar pertama dipetakan ke anggota tunggal di dalam struktru aljabar kedua tanpa adanya sebarang anggota yang tidak dipetakan di dalam struktur aljabar kedua.[81]

Subaljabar membatasi operasinya ke subhimpunan dari himpunan pendasar struktur aljabar asalnya.

Alat perbandingan lainnya adalah kaitan antara struktur aljabar dan subaljabarnya.[82] Struktur aljabar dan subaljabarnya menggunakan operasi yang sama,[m] yang mengikuti aksioma yang sama. Perbedaannya adalah himpunan pendasar subaljabar adalah subhimpunan dari struktur aljabar.[n] Semua operasi di dalam subaljabar memiliki syarat bahwa mereka bersifat tertutup di dalam himpunan pendasarnya, yang berarti mereka hanya menghasilkan anggota yang juga merupakan himpunan pendasar itu.[82] Sebagai contoh, himpunan dari bilangan bulat genap bersama dengan operasi penambahan merupakan subaljabar dari himpunan bilangan bulat yang penuh bersama dengan operasi penambahan. Ini dikarenakan penjumlahan dari dua bilangan genap hasilnya tetap bilangan genap. Beda halnya dengan himpunan bilangan bulat ganjil bersama dengan operasi penambahan, yang bukan merupakan subaljabar, karena tidak ada sifat ketertutupan. Artinya, dua bilangan ganjil yang dijumlahkan menghasilkan bilangan genap, tetapi bilangan itu tidak ada pada subhimpunan tersebut.[83]

Aljabar universal mengkaji struktur aljabar yang umum, dalam artian tidak melibatkan anggota spesifik yang membangun himpunan pendasar dan meganggap operasi dengan lebih dari dua input, seperti operasi ternary. Aljabar universal menyediakan suatu kerangka supaya mempelajari struktur apakah yang menampilkan kesamaan struktur aljabar yang berbeda.[85][o] Salah satu tampilan struktur-struktur trsebut tersebut melibatkan identitas the identitas yang benar di dalam struktur aljabar yang berbeda. Identitas yang dimaksud disini adalah persamaan universal equation atau persamaan yang benar untuk semua anggota dari himpunan pendasar. Sebagai contoh, komutativitas merupakan persamaan universal yang menyatakan bahwa ${\displaystyle a\circ b}$ identik dengan ${\displaystyle b\circ a}$ untuk semua anggota.[87] Varietas adalah kelas dari semua struktur aljabar yang memenuhi identitas-identitas tertentu. Sebagai contoh, jika dua struktur aljabar memenuhi sifat komutativitas, maka mereka bagian dari varietas yang sama.[88][p][q]

Teori kategori menguji cara objek matematika berkaitan satu dengan yang lain menggunakan konsep kategori. Kategori disini berarti suatu koleksi objek bersamaan dengan koleksi morfisma atau "panah" di antara objek-objek tersebut. Kedua koleksi tersebut harus memenuhi syarat-syarat tertentu. Sebagai contoh, morfisma dapat digabung, atau dikomposisi. Maksudnya adalah jika terdapat suatu morfisma dari objek ${\displaystyle a}$ ke objek ${\displaystyle b}$, dan terdapat suatu morfisma yang lain dari objek ${\displaystyle b}$ ke objek ${\displaystyle c}$, maka pastinya ada satu morfisma juga dari objek ${\displaystyle a}$ ke objek ${\displaystyle c}$. Komposisi dari morfisma tersebut dharus asosiatif, dan pasti ada "mordisma identitas" untuk tiap objek.[92] Kategori sering kali digunakan dalam matematika kontemporer karena menyediakan suatu kerangka satuan yang dapat menjelaskan dan menganalisis banyak konsep matematika dasar. Sebagai contoh, himpunan dapat dijelaskan dengan kategori himpunan, dan sebarang grup dapat dipandang sebagai morfisma dari suatu kategori yang hanya satu objek.[93]

Sejarah

Papirus Matematika Rhind adalah salah satu tulisan tertua yang membahas permasalahan aljabar.

Awal mula aljabar berasal dari konsepnya yang bertujuan memecahkan permasalahan matematika yang melibatkan perhitungan aritmetika dan kuantitas yang tidak diketahui. Pengembangan tersebut terjadi di Babilonia, Mesir, Yunani, Tiongkok, dan India. Salah satu catatan tertua mengenai permasalahan aljabar dapat ditemukan dari Mesir Kuno, Papirus Matematika Rhind, yang ditulis sekitar 1650 SM.[r] Papirus ini mendiskusikan solusi persamaan linear, yang diekspresikan ke dalam bentuk permasalahan seperti "Sebuah kuantitas; kuantitas keempatnya ditambahkn ke dia. Hasilnya lima belas. Apa itu kuantitas?" Lauh tanah liat orang Babilonia yang berasal dari waktu yang sama menjelaskan metode menyelesaikan persamaan linear dan persamaan polinomial kuadratik, seperti metode menyelesaikan bentuk kuadrat.[95]

Banyak wawasan tersebut dapat ditemukan dari Yunani Kuno. Dimulai pada abad ke-6 SM, ketertarikan mereka adalah geometri ketimbang aljabar, tetapi mereka menggunakan metode aljabar untuk memecahkan permasalahan geometri. Sebagai contoh, mereka mempelajari bangunan geometri selagi menganggap panjang dan luas bangunan tersebut sebagai kuantitas tidak diketahui yang akan dinyatakan kemudian, seperto yang disederhanakan dalam perumusan Pythagoras mengenai metode selisih dua bilangan kuadrat dan kemudian di dalam Elemen Euklides.[96] Pada abad ke-3 SM, Diophantus menyediakan cara yang lebih detail mengenai menyelesaikan solusi persamaan aljabar dalam kumpulan bukunya yang berjudul Arithmetica. Diophantus adalah orang pertama yang bereksperimen dengan notasi simbol untuk mengekpresikan polinomial.[97] Karya Diophantus berdampak pada pengembahgan aljabar di Arab, dengan banyak metode Diophantus mencerminkan konsep dan teknik yang digunakan dalamm aljabar Arab pada abad pertengahan.[98] Di Tiongkok Kuno, Jiuzhang Suanshu, sebuah buku yang disusun di anatara abad ke-10 SM hingga abad ke-2 M,[99] membahas berbagai teknik untuk memecahkan persamaan alajbar, di antaranya kegunaan konstruksi berupa matriks.[100]

Tidak ada persetujuan mengenai apakah pengembangan-pengembangan tersebut merupakan bagian aljabar atau hanya pendahulu sebelum awal mulanya konsep aljabar. Pengembangan tersebut menawarkan solusi permasalahan aljabar, tetapi tidak menggambarkannya dalam bentuk pemahaman umum dan abstrak; alih-alih hanya bertujuan pada kasus-kasus spesifik serta penerapan.[101] Hal tersebut berubah ketika matematikawan Persia al-Khwarizmi[s] menerbitkan karyanya Al-jabr pada 825 SM, yang pertama kali menyajikan perlakuan detail mengenai metode umum yang dapat memanipulasi persamaan linear dan persamaan kuadrat dengan "mengurangi" dan "menyeimbangkan" kedua ruas persamaan.[103] Beberapa kontribusi yang berdampak pada aljabar berasal dari matematikawan Arab Thābit ibn Qurra pada abad ke-9 dan matematikawan Persia Omar Khayyam pada abad ke-11 dan ke-12.[104]

Di India, Brahmagupta mempelajari bagaimana cara memecahkan persamaan kuadrat beserta persamasan dengan beberap variabel pada abad ke-7 SM. Di antara penemuannya Brahmagupta adalah orang yang menggunakan angka nol dan bilangan negatif di dalam persamaan aljabar.[105] Matematikawan India Mahāvīra pada abad ke-9 dan Bhāskara II pada abad ke-12 kemudian memperbaiki metode dan konsep Brahmagupta.[106] Pada tahun 1247, the matematikawan Tiongkok Qin Jiushao menulis Shushu Jiuzhang, yang menyertakan sebuah algoritma untuk evaluasi polinomial secara numerik, di antaranya polinomial dengan derajat yang lebih tinggi.[107]

François Viète (kiri) dan René Descartes (kanan) adalah penemu notasi simbol matematika untuk mengekpresikan persamaan secara abstrak dan singkat.

Ide dan teknik al-Kwarizmi dibawa oleh matematikawan Italia Fibonacci ke Eropa dalam buku-bukunya, terutama Liber Abaci.[108] Pada tahun 1545, polimatik Italia Gerolamo Cardano menerbitkan bukunya berjudul Ars Magna, yang meliputi banyak topik dalam aljabar, membahas bilangan imajiner dan juga yang pertama kali menyajikan metode umum untuk memecahkan persamaan kubik dan persamaan kuartik.[109] Pada abad ke-16 dan ke-17, matematikawan Prancis François Viète dan René Descartes memperkenalkan huruf dan simbol untuk melambangkan variabel dan operasi, yang memungkinkan untuk mengekpresikan persamaan secara abstrak dan singkat. Matematikawan pendahulu masih mengandalkan penjelasan secara verbal untuk permasalahan dan solusi.[110] Beberapa sejarawan mengamati pengembangan ini sebagai kunci utama dalam sejarah aljabar, sekaligus menganggap sebelum adanya ide huruf dan simbol tersebut sebagai prasejarah aljabar karena kurangnya kealamian abstrak yang berdasarkan manipulasi simbolik.[111]

Pada abad ke-17 dan ke-18, banyak matematikawan mencoba mencari penyelesaian umum untuk polinomial dengan derajat lima dan yang lebih tinggi, tetapi semuanya gagal.[37] Pada akhir abad ke-18, matematikawan Jerman Carl Friedrich Gauss membuktikan teorema dasar aljabar, yang menjelaskan keberadaan akar polinomial dengan sebarang derajat tanpa menyediakan solusi umum.[19] Pada awal abad ke-19, matematikawan Italia Paolo Ruffini dan matematikawan Norwegia Niels Henrik Abel dapat menunjukkan bahwa tidak ada solusi umum untuk polinomial dengan derajat lima atau yang lebih tinggi.[37] Sebagai balasan sekaligus setelah penemuan dari kedua matematikawan itu, matematikawan Prancis Évariste Galois mengembangkan teori yang dikenal sebagai teori Galois, yang menawarkan analisis yang lebih dalam mengenai solusi polinomial selagi juga menyertakan dasar-dasar teori grup.[20] Matematikawan kemudian menyadari keterkaitan teori grup dengan cabang lain dan menerapkannya ke dalam kedisiplinan cabang matematika seperti geometri dan teori bilangan.[112]

Dimulai pada pertengahan abad ke-19, ketertarikan dalam aljabar berubah dari kajian polinomial yang dikaitkan dengan aljabar elementer yang mengacu pada pertanyaan lebhi umum menjadi struktur aljabar. Hal ini menandakan kehadiran aljabar abstrak. Pendekatan ini mengkaji basis aksiomatik mengenai operasi aljabar sebarang.[113] Penemuan sistem aljabar baru berdasarkan operasi yang berbeda dan anggota menyertai pengembangan tersebut, seperti aljabar Boole, aljabar vektor, dan aljabar matriks.[114] Pengembangan awal yang berdampak dalam aljabar abstrak dibuat oleh matematikawan Jerman David Hilbert, Ernst Steinitz, dan Emmy Noether serta juga matematikawan Austria Emil Artin. Mereka meneliti bentuk struktur aljabar yang berbeda dan mengaktegorikannya berdasarkan struktur aljabar di bawah aksioma menjadi grup, gelanggang, dan lapangan.[115]

Garrett Birkhoff mengembangkan banyak konsep dasar mengenai aljabar universal.

Gagasan pendekatan yang lebih umum, yang dikaitkan dengan aljabar universal dirancang oleh matematikawan Inggris Alfred North Whitehead dalam bukunya A Treatise on Universal Algebra pada tahun 1898. Dimulai pada tahun 1930-an, matematikawan Amerika Serikat Garrett Birkhoff memperluas gagasan tersebut dan mengembangkan banyak konsep dasar bidang tersebut.[116] Penemuan aljabar universal mengarah pada kehadiran berbagai cabang baru yang berfokus pada aljabarisasi matematika—maksudnya penerapan metode aljabar ke cabang matematika lain. Aljabar topologis muncul pada awal abad ke-20 yang mempelajari struktur aljabar seperti grup topologis dan grup Lie.[117] Pada tahun 1940-an dan 1950-an, aljabar homologi muncul, yang menggunakan teknik aljabar untuk mempelajari homologi.[118] Di waktu yang sama, teori kategori dikembangkan dan memainkan peran penting dalam fondasi matematika.[119] Beberapa pengembangannya adalah formulasi teori model dan kajian aljabar bebas.[120]

Aplikasi

Lihat pula: Matematika terapan

Aljabar memberikan banyak dampak di dalam matematika dan penerapannya di bidang lain.[121] Aljabarisasi matematika (algebraization of mathematics) berarti proses mengaplikasikan metode dan prinsip-prinsip aljabar ke cabang matematika yang lain, seperti geometri, topologi, teori bilangan, dan kalkulus. Penerapan tersebut menggunakan simbol berupa variabel untuk mengekpresikan penjelasan secara matematis pada tingkat yang lebih umum, yang memungkinkan matematikawan mengembangkan model secara formal yang menjelaskan bagaimana cara objek-objek berinteraksi dan berkaitan satu sama lain.[122]

Persamaan aljabar ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$ menggambarkan bola berjari-jari 1 di titik awal.

Salah satu penerapan aljabar ditemukan dalam geometri, yang menggunakan pernyataan aljabar untuk menjelaskan gambaran geometris. Sebagai contoh, persamaan ${\displaystyle y=3x-7}$ menggambarkan suatu garis di dalam ruang berdimensi dua, sedangkan persamaan ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$ menggambarkan bola dalam ruang berdimensi tiga. Beberapa cabang minat khusus geometri aljabar adalah varietas aljabar,[t] yang merupakan solusi untuk sistem persamaan polinomial yang dapat digunakan untuk menjelaskan gambaran geometris yang lebih kompleks.[124] Selain itu, penalaran aljabar dapat memecahkan permasalashan geometris. Sebagai contoh, seseorang dapat menentukan apakah dan dimanakah garis yang dinyatakan sebagai ${\displaystyle y=x+1}$ berpotongan dengan lingkaran yang dinyatakan sebagai ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=25}$ dengan memecahkan sistem persamaan dari kedua persamaan tersebut.[125] Topologi mengkaji sifat-sifat bangunan geometris atau ruang topologis yang dipertahankan di bawah operasi deformasi kontinu. Topologi aljabar mengandalkan teori-teori aljabar seperti teori grup untuk mengklasifikasi ruang-ruang topologis. Sebagai contoh, grup homotopi mengklasifikasi ruang-ruang topologis berdasarkan keberadaan loop atau lubang di dalamnya.[126]

Teori bilangan melibatkan sifat-sifat dan hubungan antara bilangan bulat. Teori bilangan aljabar applies menerapkan metode dan prinsip aljabar ke cabang teori bilangan. Contoh-contohnya berupa penggunaan ekspresi aljabar untuk menjelaskan hukum yang umum seperti Teorema Terakhir Fermat, dan pengunaan struktur aljabar untuk menganalisis perilaku bilangan seperti gelanggang bilangan bulat.[127] Kaitan cabang lainnya adalah kombinatorik, yang menggunakan teknik aljabar untuk menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan pencacahan, penyusunan, dan kombinasi dari objek-objek yang diskret. Contohnya seperti kombinatorik aljabar yang merupakan penerapan teori grup untuk menganalisis graf dan simetri.[128] Pemahaman aljabar yang relevan dengan kalkulus, yang menggunakan ekrepsi matematika untuk menguji laju perubahan dan akumulasi. Kalkulus mengandalkan aljabar, contohnya seperti memahami bagaimana ekspresi-ekspresinya dapat diubah dan variabel mana yang akan dimainkan.[129] Logika aljabar menggunakan metode aljabar untuk menjelaskan dan menganalisis struktur dan pola yang mendasari penalaran secara logika,[130] menjelajahi struktur matematika yang berkaitan dan penerapannya terhadap permasalahan logika yang konkret.[131] Logika lajabar juga mencakup kajian aljabar Boole untuk menjelaskan logika proporsisional[132] serta formulasi dan analisis struktur aljabar yang korespodensi dengan sistem logika yang lebih kompleks.[133]

Sisi dari kubus Rubik dapat diputar, yang dapat mengubah susunan patch yang berwarna. Permutasi yang dihasilkan membentuk suatu grup yang dikenal sebagai grup Kubus Rubik.[134]

Metode aljabar sering kali digunakan di dalam cabang lain, seperti ilmu alam. Sebagai contoh, metode aljabar digunakan untuk mengekspresikan hukum-hukum ilmiah dan menyelesaikan permasalahan di dalam fisika, kimia, dan biologi.[135] Penerapan yang mirip juga ditemukan di dalam cabang ekonomi, geografi, rekayasa (yaitu elektronik dan robotik), serta ilmu komputer untuk mengekspresikan kaitan, menyelesaikan permasalashan, dan memodelkan sistem.[136] Aljabar lienar memainkan peran penting di dalam kecerdasan buatan dan machine learning, contohnya dengan memungkinkan proses dan analisis secara efisien mengenai dataset yang cukup besar.[137] Berbagai cabang yang mengandalkan struktur aljabar juga dipelajari oleh aljabar abstrak. Sebagai contoh, krsitalografi dan mekanika kuantum membuat pengunaan teori grup yang ekstensif,[138] yang juga digunakan untuk mengkaji teka-teki seperti Sudoku dan kubus Rubik,[139] serta origami.[140] Teori pengodean dan kriptologi mengandalkan aljabar abstrak untuk memecahkan permasalahan yang berkaitan dengan transmisi data, seperti menghindari efek derau dan menjaga keamanan data.[141]

Pendidikan

Lihat pula: Pendidikan matematika

Hampir semua aljabar berfokus pada aljabar elementer. Cabang ini biasanya tidak diperkenalkan hingga pendidikan menengah karena membutuhkan pemahaman akan dasar-dasar aritmetika selagi menyajikan tantangan kognitif baru yang dikaitkan dengan penalran dan perumuman.[142] Cabang tersebut ditujukan untuk murid-murid yang mengenal matematika dalam bentuk formal dengan membantu mereka memahami simbol matematika, seperti bagaimana variabel dapat digunakan untuk melambangkan kuantitas yang tak diketahui. Tidak seperti perhitungan aritmetika, kesulitan lain bagi murid-murid memahami cabang tersebut karena ekspresi aljabar sering kali sulit untuk dikerjakan secara langsung. Malahan, murid-murid perlu mempelajari cara mengubah ekspresi aljabar tersebut menurut hukum-hukum yang ada, yang umumnya memiliki tujuan untuk mencari kuantitas yang tak diketahui.[143]

Skala timbangan digunakan di dalam pendidikan alajbar untuk membantu murid-murid bagaimana persamaan dapat berubah menjadi nilai-nilai tak diketahui yang akan ditentukan.[144]

Beberapa alat untuk memperkenalkan murid-murid di dalam pendidikan mengenai aljabar secara abstrak yang mengandalkan model konkret dan visualisasi persamaan di antaranya adalah analogi geometris, manipulasi yang menyertakan stik atau gelas, dan "mesin fungsi" yang merepresentasikan persamaan sebagai diagram alir. Salah satu metode yang digunakan adalah skala timbangan sebagai pendekatan ilustrasi untuk membantu murid-murid memahami masalah-masalah aljabar yang dasar. Massa objek pada timbangan yang tidak diketahui menggunakan variabel sebagai kuantitas yang tak diketahui. Menyelesaikan persamaan dapat dianggap seperti menambahkan atau menghilangkan objek pada kedua sisi timbangan sehingga menjadi seimbang hingga hanya ada satu objek yang tersisa pada satu sisi timbangan itu, yaitu objek yang tak diketahui massanya.[145] Masalah kata adalah alat lain untuk memperlihatkan cara aljabar diterapkan di kehidupan nyata. Sebagai contoh, murid-murid dapat menyajikan suatu permasalahan berikut: diketahui adik Nanang memiliki dua kali lebih banyak apel yang dimiliki Nanang. Jika diketahui bahwa jumlah apel yang dimiliki Nanang beserta adiknya adalah dua belas, murid-murid kemudian ditanyakan untuk mencari suatu persamaan aljabar yang menggambarkan keadaan tersebut (${\displaystyle 2x+x=12}$) dan kemudian menentukan berapa apel yang dimiliki Nanang (${\displaystyle x=4}$).[146]

Ketika pada tahap universitas, mahasiswa menghadapi topik aljabar lebih lanjut, yang dimulai dari aljabar linear dan aljabar abstrak. Mahasiswa yang menjenjang di awal sarjana mempelajari aljabar linear yang berfokus pada matriks, ruang vektor, dan pemetaan linear. Setelah mempelajarinya, mahasiswa biasanya diperkenalkan dengan aljabar abstrak, yang mempelajari struktur aljabar seperti grup, gelanggang,dan lapangan, serta kaitan di antara struktur-struktur tersebut. Kurikulum yang digunakan biasanya meliputi contoh-contoh struktur aljabar yang spesifik, seperti siste bilangan rasional, bilangan real, dan polinomial.[147]

Referensi

Catatan

1. Ketika dijelaskan dalam pengertian lebih luas lagi, operasi aljabar dapat diartikan sebagai suatu fungsi yang dipetakan dari hasil kali Cartesius dari sutau himpunan ke himpunan tersebut, yang diekspresikan secara formal sebagai ${\displaystyle \omega :A^{n}\to A}$. Penambahan dari bilangan real adalah contoh operasi aljabar, karena operasi tersebut mengambil dua bilangan sebagai input, dan hasil dari operasi tersebut sebagai output. Operasi tersebut ditulis sebagai ${\displaystyle +:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$.[3]
2. Aljabar diliputi oleh divisi 512 di dalam Dewey Decimal Classification[5] dan subkelas QA 150-272.5 di dalam Library of Congress Classification.[6] Aljabar juga meliputi beberapa cabang di dalam Mathematics Subject Classification.[7]
3. Pengertian yang lebih akurat dari istilah al-jabr dalam karya-Khwarizmi masih diperdebatkan. Ada yang mengatakan bahwa istilah tersebut mengekpresikan kuantitas yang dikecilkan melalui pengurangan dikembalikan ke nilai asalnya, serupa dengan cara bonesetter mengembalikan tulang-tulang yang retak dengan menyusunnya kembali dengan baik.[17]
4. Perubahan tersebut dipicu oleh penemuan mengenai banyaknya permasalahan alajar lebih lama telah terpecahkan. Sebagai contoh, pembuktian teorema dasar aljabar mendemonstrasikan keberadaan dari solusi polinomial berupa kompleks[19] dan pengenalan teori Galois yang mengkarakterisasi polinomial yang memiliki solusi yang lebih umum.[20]
5. Konstanta melambangkan bilangan yang nilainya tetap, dan tidak berubah dalam mengkaji permasalahan.[24]
6. Sebagai contoh, persamaan ${\displaystyle x_{1}-3x_{2}=0}$ dan ${\displaystyle x_{1}-3x_{2}=7}$ saling kontradiksi satu sama lain, karena tidak ada nilai dari ${\displaystyle x_{1}}$ dan ${\displaystyle x_{2}}$ untuk menyelesaikan kedua persamaan itu di waktu yang sama.[47]
7. Sistem persamaan konsisten yang memiliki solusi tunggal atau tidak tergantung pada jumlah variabel dan persamaan independen. Beberapa persamaan adalah independen dengan yang lain jika mereka tidak menyediakan informasi yang sama dan tidak dapat diturunkan satu sama lain. Suatu solusi tunggal itu ada jika jumlah variabelnya sama dengan jumlah persamaan independen. Sebaliknya, sistem kekurangan persamaan (underdetermined systems) memiliki jumlah variabel yang lebih banyak daripada jumlah persamaan independen serta memiliki tak berhingga jumlah solusinya jika persamaannya konsisten.[48]
8. Himpunan adalah kumpulan dari anggota yang berbeda yang tidak terurut. Anggota disini contohnya seperti bilangan, vektor, atau himpunan lain. Teori himpunan menjelaskan hukum dan sifat-sifat himpunan.[57]
9. Menurut beberapa definisi, struktur aljabar menyertakan anggota yang berbeda sebagai komponen tambahan, seperti pada anggota identitas dalam perkalian.[58]
10. Beberapa struktur aljabar dikaji oleh aljabar abstrak, yang mencakup operasi uner selain operasi biner. Sebagai contoh, ruang vektor bernorma memiliki norma, sebuah operasi uner yang digunakan untuk mengaitkan vektor beserta panjangnya.[59]
11. Simbol ${\displaystyle \circ }$ dan ${\displaystyle \star }$ digunakan di artikel ini untuk melambangkan sebarang operasi yang mungkin atau tidak menyerupai operasi aritmetika.[63]
12. Beberapa penulis tidak mensyaratkan keberadaan anggota identitas perkalian. Gelanggang tanpa identitas perkalian terkadang disebutrng.[70]
13. Menurut beberapa definisi, subaljabar juga dapat memiliki beberapa operasi.[83]
14. Ini berarti semua anggota dari himpunan pertama juga merupakan anggota dari himpunan kedua, tetapi anggota dari himpunan kedua belum tentu ditemukan di dalam himpunan pertama.[84]
15. Pemahaman yang sedikit berbeda mengenai aljabar universal adalah cabang ini mempelajari satu jenis struktur aljabar yang dikenal sebagai aljabar universal. Aljabar universal didefinisikan secara umum untuk menyertakan hampir semua struktur aljabar lainnya. Sebagai contoh, grup dan gelanggang merupakan jenis aljabar universal spesial.[86]
16. Tidak setiap jenis struktur aljabar membentuk varietas. Sebagai contoh, grup dan gelanggang membentuk varietas, sedangkan lapangan tidak.[89]
17. Selain identitas, aljabar universal juga tertarik dalam tampilan struktur yang dikaitkan dengan quasi-identities. Quasi-identity berarti identitas yang hanya cukup ada menurut syarat-syarat tertentu (yang membentuk klause Horn[90]). Identitas ini merupakan bentuk umum, yang berarti setiap identitas adalah quasi-identity tetapi tidak setiap quasi-identity adalah identitas. quasivariety adalah kelas dari semua struktur aljabar yang memenuhi quasi-identities tertentu.[91]
18. Mengenai awal mulanya papirus ini dibuat masih diperdebatkan, dan beberapa sejarawan menyarankannya di sekitar 1550 SM.[94]
19. Beberapa sejawaran menganggap al-Khawarzmi sebagai "bapa aljabar", tetapi julukan itu dipakai sejawaran lain kepada Diophantus.[102]
20. Varietas aljabar mengkaji di dalam geometri berbeda dengan varietas lebih umum yang dikaji di dalam aljabar universal.[123]

Catatan kaki

1. • Merzlyakov & Shirshov 2020, Lead section
   • Gilbert & Nicholson 2004, hlm. 4
2. • Fiche & Hebuterne 2013, hlm. 326
   • Merzlyakov & Shirshov 2020, § The Subject Matter of Algebra, Its Principal Branches and Its Connection with Other Branches of Mathematics.
   • Gilbert & Nicholson 2004, hlm. 4
3. Baranovich 2023, Lead section
4. • Pratt 2022, Lead section, § 1. Elementary Algebra, § 2. Abstract Algebra, § 3. Universal Algebra
   • Merzlyakov & Shirshov 2020, § The Subject Matter of Algebra, Its Principal Branches and Its Connection with Other Branches of Mathematics.
5. Higham 2019, hlm. 296
6. Library of Congress, hlm. 3
7. zbMATH Open 2024
8. • Maddocks 2008, hlm. 129
   • Burgin 2022, hlm. 45
9. • Romanowski 2008, hlm. 302–303
   • HC Staff 2022
   • MW Staff 2023
   • Bukhshtab & Pechaev 2020
10. • Maddocks 2008, hlm. 129–130
    • Pratt 2022, Lead section, § 1. Elementary Algebra
    • Wagner & Kieran 2018, hlm. 225
11. • Maddocks 2008, hlm. 131–132
    • Pratt 2022, Lead section, § 2. Abstract Algebra
    • Wagner & Kieran 2018, hlm. 225
12. • Pratt 2022, § 3. Universal Algebra
    • Grillet 2007, hlm. 559
    • Denecke & Wismath 2018, hlm. v
    • Cohn 2012, hlm. xiii
13. • Cresswell 2010, hlm. 11
    • OUP Staff
    • Menini & Oystaeyen 2017, hlm. 722
14. • Weisstein 2003, hlm. 46
    • Walz 2016, Algebra
15. • Weisstein 2003, hlm. 46
    • Brešar 2014, hlm. xxxiii
    • Golan 1995, hlm. 219–227
16. EoM Staff 2017
17. • Oaks & Alkhateeb 2007, hlm. 45–46, 58
    • Gandz 1926, hlm. 437
18. • Cresswell 2010, hlm. 11
    • OUP Staff
    • Menini & Oystaeyen 2017, hlm. 722
    • Hoad 1993, hlm. 10
19. • Tanton 2005, hlm. 10
    • Kvasz 2006, hlm. 308
    • Corry 2024, § The Fundamental Theorem of Algebra
20. • Kvasz 2006, hlm. 314–345
    • Merzlyakov & Shirshov 2020, § Historical Survey
    • Corry 2024, § Galois Theory, § Applications of Group Theory
21. • Tanton 2005, hlm. 10
    • Corry 2024, § Structural Algebra
    • Hazewinkel 1994, hlm. 73–74
22. • Arcavi, Drijvers & Stacey 2016, hlm. 2
    • Benson 2003, hlm. 111–112
23. • Maddocks 2008, hlm. 129
    • Berggren 2015, Lead section
    • Pratt 2022, § 1. Elementary Algebra
    • Merzlyakov & Shirshov 2020, § 1. Historical Survey
24. Sobolev 2015
25. • Maddocks 2008, hlm. 129–130
    • Young 2010, hlm. 999
    • Majewski 2004, hlm. 347
    • Pratt 2022, § 1. Elementary Algebra
    • Sorell 2000, hlm. 19
26. • Maddocks 2008, hlm. 129–130
    • Tsokos & Wooten 2015, hlm. 451
    • Mishra 2016, hlm. 1.2
27. • Musser, Peterson & Burger 2013, hlm. 16
    • Goodman 2001, hlm. 5
    • Williams 2022
28. • Maddocks 2008, hlm. 130
    • McKeague 1986, hlm. 51–54
    • Pratt 2022, § 1. Elementary Algebra
    • Merzlyakov & Shirshov 2020, § 1. Historical Survey
29. • Tan, Steeb & Hardy 2012, hlm. 306
    • Lamagna 2019, hlm. 150
30. • Berggren 2015, § Solving Systems of Algebraic Equations
    • McKeague 2014, hlm. 386
    • McKeague 1986, hlm. 148
31. • Maddocks 2008, hlm. 130–131
    • Rohde et al. 2012, hlm. 89
    • Walz 2016, Algebra
32. • Bracken & Miller 2014, hlm. 386–387
    • Kaufmann & Schwitters 2011, hlm. 220
    • Markushevich 2015
33. • Sahai & Bist 2002, hlm. 21
    • Maddocks 2008, hlm. 131
    • Barrera-Mora 2023, hlm. ix, 1–2
34. Geddes, Czapor & Labahn 2007, hlm. 46
35. • Lukas 2022, hlm. 47–49
    • Berggren 2015, § Algebraic Expressions, § Solving Algebraic Equations
36. • Berggren 2015, § Solving algebraic equations
    • Corry 2024, § Classical algebra
37. • Tanton 2005, hlm. 10
    • Merzlyakov & Shirshov 2020, § Historical Survey
    • Corry 2024, § Impasse with Radical Methods
38. Igarashi et al. 2014, hlm. 103
39. • Berggren 2015, § Solving algebraic equations
    • Tanton 2005, hlm. 10
    • Kvasz 2006, hlm. 308
    • Corry 2024, § The Fundamental Theorem of Algebra
40. • Maddocks 2008, hlm. 131
    • Barrera-Mora 2023, hlm. ix, 1–2,
41. • Anton & Rorres 2013, hlm. 2–3
    • Maddocks 2008, hlm. 131
    • Voitsekhovskii 2011
42. • Saikia 2008, hlm. 1
    • Lal 2017, hlm. 31
    • Mirakhor & Krichene 2014, hlm. 107
43. • Brown 2015, hlm. 30–31
    • Waerden 2003, hlm. 70–72
44. • Young 2010, hlm. 697–698
    • Maddocks 2008, hlm. 131
    • Sullivan 2010, hlm. 53–54
45. • Anton & Rorres 2013, hlm. 7–8
    • Sullivan 2010, hlm. 55–56
    • Atanasiu & Mikusinski 2019, hlm. 75
46. • Maddocks 2008, hlm. 131
    • Anton & Rorres 2013, hlm. 7–8, 11, 491
47. • Anton & Rorres 2013, hlm. 3–7
    • Mortensen 2013, hlm. 73–74
    • Young 2023, hlm. 714–715
48. • Maddocks 2008, hlm. 131
    • Harrison & Waldron 2011, hlm. 464
    • Anton 2013, hlm. 255
49. • Valenza 2012, hlm. vii
    • Chahal 2018, § 1.1 What is Linear Algebra?
    • Solomon 2014, hlm. 57–58, 61–62
    • Ricardo 2009, hlm. 389
50. • Solomon 2014, hlm. 57
    • Ricardo 2009, hlm. 395–396
51. • Anton & Rorres 2013, hlm. 3–5
    • Young 2010, hlm. 696–697
    • Sneyd, Fewster & McGillivray 2022, hlm. 211
52. • Anton & Rorres 2013, hlm. 3–5
    • Young 2010, hlm. 713
    • Sneyd, Fewster & McGillivray 2022, hlm. 211
53. • Gilbert & Nicholson 2004, hlm. 1
    • Dominich 2008, hlm. 19
54. • Maddocks 2008, hlm. 131–132
    • Pratt 2022, Lead section, § 2. Abstract Algebra
    • Gilbert & Nicholson 2004, hlm. 1–3
    • Dominich 2008, hlm. 19
55. • Pratt 2022, Lead section, § 2. Abstract Algebra
    • Merzlyakov & Shirshov 2020, The Subject Matter of Algebra, Its Principal Branches and Its Connection with Other Branches of Mathematics.
    • Bourbaki 1998, hlm. 428–430, 446
56. Hausberger 2020, Abstract Algebra Teaching and Learning
57. • Tanton 2005, hlm. 460
    • Murthy 2012, hlm. 1.3
58. Ovchinnikov 2015, hlm. 27
59. Grillet 2007, hlm. 247
60. • Whitelaw 1995, hlm. 61
    • Nicholson 2012, hlm. 70
    • Fiche & Hebuterne 2013, hlm. 326
    • Pratt 2022, Lead section, § 2. Abstract Algebra
61. • Maddocks 2008, hlm. 131–132
    • Pratt 2022, Lead section, § 2. Abstract Algebra
62. • Olver 1999, hlm. 55–56
    • Abas & Salman 1994, hlm. 58–59
    • Häberle 2009, hlm. 640
63. Gilbert & Nicholson 2004, hlm. 4
64. • Kargapolov & Merzlyakov 2016, § Definition
    • Khattar & Agrawal 2023, hlm. 4–6
    • Maddocks 2008, hlm. 131–132
    • Pratt 2022, Lead section, § 2. Abstract Algebra
    • Neri 2019, hlm. 258
65. • Khattar & Agrawal 2023, hlm. 6–7
    • Maddocks 2008, hlm. 131–132
    • Adhikari & Adhikari 2013, hlm. 72
66. • McWeeny 2002, hlm. 6
    • Kramer & Pippich 2017, hlm. 49
67. • Tanton 2005, hlm. 242
    • Bhattacharya, Jain & Nagpaul 1994, hlm. 141
    • Weisstein 2003, hlm. 1020
68. • Elwes 2006
    • Wilson 2009, hlm. 2
69. • Weisstein 2003, hlm. 2579
    • Maxwell 2009, hlm. 73–74
    • Pratt 2022, § 2.3 Rings
70. Silverman 2022, hlm. 64
71. Geddes, Czapor & Labahn 2007, hlm. 24
72. Smith 2015, hlm. 161
73. • Geddes, Czapor & Labahn 2007, hlm. 24
    • Weisstein 2003, hlm. 1047, 2579
    • Pratt 2022, § 2.4 Fields
74. • Irving 2004, hlm. 77, 236
    • Weisstein 2003, hlm. 1047, 2579
    • Hohn 2013, hlm. 83–84
75. • Serovajsky 2020, § Room 4B.5 Rings
    • Kleiner 2007, hlm. 63
    • Kline 1990, hlm. 1153
76. • Waerden 2003, hlm. 110–114, 231, 246
    • Karpilovsky 1989, hlm. 45
    • Kleiner 2007, hlm. 63
77. • Lang 2005, hlm. 261–262
    • Cox 2012, hlm. 161–162
78. Cooper 2011, hlm. 60
79. • Rowen 2006, hlm. 12
    • Pratt 2022, § 3.3 Birkhoff's Theorem
    • Grätzer 2008, hlm. 34
80. • Pratt 2022, § 3.3 Birkhoff's Theorem
    • Rowen 2006, hlm. 12
    • Gowers, Barrow-Green & Leader 2010, hlm. 27–28
    • Adhikari 2016, hlm. 5–6
81. • Neri 2019, hlm. 278–279
    • Ivanova & Smirnov 2012
    • Deo 2018, hlm. 295
    • Ono 2019, hlm. 84
82. • Indurkhya 2013, hlm. 217–218
    • Pratt 2022, § 3.3 Birkhoff's Theorem
    • Grätzer 2008, hlm. 34
83. Indurkhya 2013, hlm. 217–218
84. Efimov 2014
85. • Pratt 2022, § 3. Universal Algebra
    • Cohn 2012, hlm. xiii
86. • Smirnov 2020
    • Grätzer 2008, hlm. 7–8
    • Bahturin 2013, hlm. 346
87. • Pratt 2022, § 3.2 Equational Logic
    • Mal’cev 1973, hlm. 210–211
88. • Mal’cev 1973, hlm. 210–211
    • Cohn 2012, hlm. 162
    • Rosen 2012, hlm. 779
    • Hazewinkel 1994, hlm. 406
89. Cohn 1995, hlm. 8
90. Mal’cev 1973, hlm. 211
91. • Mal’cev 1973, hlm. 210–211
    • Pratt 2022, § 3. Universal Algebra
    • Artamonov 2003, hlm. 873
92. • Weisstein 2003, hlm. 347–348
    • Gowers, Barrow-Green & Leader 2010, hlm. 6, 165
    • Cheng 2023, hlm. 102
93. • Gowers, Barrow-Green & Leader 2010, hlm. 6, 165
    • Borceux 1994, hlm. 20
    • Laos 1998, hlm. 100
    • Cheng 2023, hlm. 128–131
94. • Corry 2024, § Problem Solving in Egypt and Babylon
    • Brezinski, Meurant & Redivo-Zaglia 2022, hlm. 34
95. • Tanton 2005, hlm. 9
    • Kvasz 2006, hlm. 290
    • Corry 2024, § Problem Solving in Egypt and Babylon
96. • Tanton 2005, hlm. 9
    • Kvasz 2006, hlm. 290
    • Corry 2024, § The Pythagoreans and Euclid
97. • Merzlyakov & Shirshov 2020, § Historical Survey
    • Sialaros 2018, hlm. 55
    • Corry 2024, § Diophantus
98. • Hettle 2015, hlm. 139–141, 160–161
    • Christianidis & Megremi 2019, hlm. 16–17
99. Burgin 2022, hlm. 10
100. Higgins 2015, hlm. 89
101. • Kvasz 2006, hlm. 290–291
     • Sialaros 2018, hlm. 55
     • Boyer & Merzbach 2011, hlm. 161
     • Derbyshire 2006, hlm. 31
102. • Boyer & Merzbach 2011, hlm. 161
     • Derbyshire 2006, hlm. 31
103. • Tanton 2005, hlm. 10
     • Kvasz 2006, hlm. 291–293
     • Merzlyakov & Shirshov 2020, § Historical Survey
104. • Waerden 2013, hlm. 3, 15–16, 24–25
     • Jenkins 2010, hlm. 82
     • Pickover 2009, hlm. 90
105. • Tanton 2005, hlm. 9–10
     • Corry 2024, § The Equation in India and China
106. • Seshadri 2010, hlm. 156
     • Emch, Sridharan & Srinivas 2005, hlm. 20
107. • Smorynski 2007, hlm. 137
     • Zwillinger 2002, hlm. 812
108. • Waerden 2013, hlm. 32–35
     • Tanton 2005, hlm. 10
     • Kvasz 2006, hlm. 293
109. • Tanton 2005, hlm. 10
     • Kvasz 2006, hlm. 293
     • Corry 2024, § Cardano and the Solving of Cubic and Quartic Equations
     • Miyake 2002, hlm. 268
110. • Tanton 2005, hlm. 10
     • Kvasz 2006, hlm. 291–292, 297–298, 302
     • Merzlyakov & Shirshov 2020, § Historical Survey
     • Corry 2024, § Viète and the Formal Equation, § Analytic Geometry
111. • Hazewinkel 1994, hlm. 73
     • Merzlyakov & Shirshov 2020, § Historical Survey
112. • Corry 2024, § Applications of Group Theory
     • Bueno & French 2018, hlm. 73–75
113. • Merzlyakov & Shirshov 2020, § Historical Survey
     • Tanton 2005, hlm. 10
     • Corry 2024, § Structural Algebra
     • Hazewinkel 1994, hlm. 73–74
114. • Merzlyakov & Shirshov 2020, § Historical Survey
     • Tanton 2005, hlm. 10
     • Corry 2024, § Matrices, § Quaternions and Vectors
115. • Merzlyakov & Shirshov 2020, § Historical Survey
     • Corry 2024, § Hilbert and Steinitz, § Noether and Artin
     • Hazewinkel 1994, hlm. 73–74
116. • Grätzer 2008, hlm. vii
     • Chang & Keisler 1990, hlm. 603
     • Knoebel 2011, hlm. 5
     • Hazewinkel 1994, hlm. 74–75
117. • Hazewinkel 1994, hlm. 74–75
     • Kleiner 2007, hlm. 100
     • Carlson 2024, § History of topology
118. • Hazewinkel 1994, hlm. 74–75
     • Weibel 1995, hlm. xi, 4
119. • Krömer 2007, hlm. 61
     • Laos 1998, hlm. 100
120. • Hazewinkel 1994, hlm. 74–75
     • Pratt 2022, § 6. Free Algebras
121. • Houston 2004, hlm. 319
     • Neri 2019, hlm. xii
     • Lidl & Pilz 1997, hlm. vii–viii
122. • Kleiner 2007, hlm. 100
     • Pratt 2022, § 5. Algebraization of Mathematics
     • Maddocks 2008, hlm. 130
     • Pratt 2022, § 5. Algebraization of Mathematics
     • Mancosu 1999, hlm. 84–85
123. • Pratt 2022, § 1.4 Cartesian geometry, § 3. Universal Algebra
     • Danilov 2006, hlm. 174
124. • Pratt 2022, § 5.1 Algebraic Geometry
     • Danilov 2006, hlm. 172, 174
125. Vince 2007, hlm. 133
126. • Pratt 2022, § 5.3 Algebraic Topology
     • Rabadan & Blumberg 2019, hlm. 49–50
     • Nakahara 2018, hlm. 121
     • Weisstein 2003, hlm. 52–53
127. • Pratt 2022, § 5.2 Algebraic Number Theory
     • Jarvis 2014, hlm. 1
     • Viterbo & Hong 2011, hlm. 127
128. • Gowers, Barrow-Green & Leader 2010, hlm. 550, 561
     • Godsil 2017, hlm. viii
     • Betten et al. 2013, hlm. ix
129. • Kilty & McAllister 2018, hlm. x, 347, 589
     • Bressoud 2021, hlm. 64
130. • Halmos 1956, hlm. 363
     • Burris & Legris 2021, § 1. Introduction
131. Andréka, Németi & Sain 2001, hlm. 133–134
132. • Andréka, Madarász & Németi 2020, § Concrete Algebraic Logic
     • Pratt 2022, § 5.4 Algebraic Logic
     • Plotkin 2012, hlm. 155–156
     • Jansana 2022, Lead section
133. • Andréka, Madarász & Németi 2020, § Abstract Algebraic Logic
     • Jansana 2022, § 4. Algebras
134. Joyner 2008, hlm. 92
135. • Houston 2004, hlm. 319
     • Neri 2019, hlm. xii
     • Anton & Rorres 2010, hlm. 327
136. • Neri 2019, hlm. xii
     • Aleskerov, Ersel & Piontkovski 2011, hlm. 1–9
     • Straffin 1980, hlm. 269
     • Menini & Oystaeyen 2017, hlm. v
     • Lovett 2015, hlm. ix
     • Lidl & Pilz 1997, hlm. vii–viii
137. • Wheeler 2023, hlm. 29, 36–37
     • Gallier & Quaintance 2020, hlm. 1–2
138. • Klimov 2014, hlm. ix
     • Bengtsson & Życzkowski 2017, hlm. 313–353
139. Terras 2019, hlm. 63–64, 142
140. Hull 2021, hlm. 180
141. • Lidl & Pilz 1997, hlm. 183–184, 239–240
     • Carstensen, Fine & Rosenberger 2011, hlm. 326–327
142. • Arcavi, Drijvers & Stacey 2016, hlm. xiii
     • Dekker & Dolk 2011, hlm. 69
143. • Arcavi, Drijvers & Stacey 2016, hlm. 2–5
     • Drijvers, Goddijn & Kindt 2011, hlm. 8–10, 16–18
144. • Kieran 2006, hlm. 15
     • Kaput 2018, hlm. 186
     • Gardella & DeLucia 2020, hlm. 19–22
145. • Kieran 2006, hlm. 15
     • Kaput 2018, hlm. 186
     • Gardella & DeLucia 2020, hlm. 19–22
     • Star et al. 2015, hlm. 16–17
146. • Arcavi, Drijvers & Stacey 2016, hlm. 58–59
     • Drijvers, Goddijn & Kindt 2011, hlm. 13
147. Hausberger, Zandieh & Fleischmann 2021, hlm. 147–148

Pustaka

• Abas, Syed Jan; Salman, Amer Shaker (1994). Symmetries Of Islamic Geometrical Patterns (dalam bahasa Inggris). World Scientific. ISBN 978-981-4502-21-4. Diakses tanggal March 12, 2024. 
• Adhikari, Mahima Ranjan (2016). Basic Algebraic Topology and its Applications (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-81-322-2843-1. Diakses tanggal August 5, 2024. 
• Adhikari, Mahima Ranjan; Adhikari, Avishek (2013). Basic Modern Algebra with Applications (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-81-322-1599-8. Diakses tanggal August 5, 2024. 
• Aleskerov, Fuad; Ersel, Hasan; Piontkovski, Dmitri (2011). Linear Algebra for Economists (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-3-642-20570-5. Diakses tanggal March 11, 2024. 
• Andréka, H.; Madarász, J. X.; Németi, I. (2020). "Algebraic Logic". Encyclopedia of Mathematics. Springer. Diarsipkan dari versi asli tanggal January 24, 2024. Diakses tanggal October 23, 2023.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Andréka, H.; Németi, I.; Sain, I. (2001). "Algebraic Logic". Handbook of Philosophical Logic (dalam bahasa Inggris). Springer. doi:10.1007/978-94-017-0452-6_3. ISBN 978-94-017-0452-6. Diarsipkan dari versi asli tanggal January 24, 2024. Diakses tanggal January 24, 2024.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Anton, Howard (2013). Elementary Linear Algebra (dalam bahasa Inggris). John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-67730-8. Diakses tanggal January 18, 2024. 
• Anton, Howard; Rorres, Chris (2010). Elementary Linear Algebra: Applications Version (dalam bahasa Inggris). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-43205-1. 
• Anton, Howard; Rorres, Chris (2013). Elementary Linear Algebra: Applications Version (dalam bahasa Inggris). John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-47422-8. Diakses tanggal January 18, 2024. 
• Arcavi, Abraham; Drijvers, Paul; Stacey, Kaye (2016). The Learning and Teaching of Algebra: Ideas, Insights and Activities (dalam bahasa Inggris). Routledge. ISBN 978-1-134-82077-1. Diakses tanggal January 24, 2024. 
• Artamonov, V. A. (2003). "Quasivarieties". Dalam Hazewinkel, M. Handbook of Algebra (dalam bahasa Inggris). Elsevier. ISBN 978-0-08-053297-4. Diakses tanggal January 21, 2024. 
• Atanasiu, Dragu; Mikusinski, Piotr (2019). A Bridge To Linear Algebra (dalam bahasa Inggris). World Scientific. ISBN 978-981-12-0024-3. Diakses tanggal March 12, 2024. 
• Bahturin, Y. (2013). Basic Structures of Modern Algebra (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-94-017-0839-5. Diakses tanggal August 30, 2024. 
• Baranovich, T. M. (2023). "Algebraic Operation". Encyclopedia of Mathematics. Springer. Diarsipkan dari versi asli tanggal August 23, 2023. Diakses tanggal January 11, 2023.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Barrera-Mora, Fernando (2023). Linear Algebra: A Minimal Polynomial Approach to Eigen Theory (dalam bahasa Inggris). Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-3-11-113591-5. Diakses tanggal January 18, 2024. 
• Bengtsson, Ingemar; Życzkowski, Karol (2017). Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement (edisi ke-2nd). Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-02625-4. 
• Benson, Donald C. (2003). A Smoother Pebble: Mathematical Explorations (dalam bahasa Inggris). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-514436-9. Diakses tanggal January 16, 2024. 
• Berggren, John L. (2015). "Elementary Algebra". Encyclopædia Britannica (dalam bahasa Inggris). Diarsipkan dari versi asli tanggal January 14, 2024. Diakses tanggal January 14, 2024.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Betten, Anton; Kohnert, Axel; Laue, Reinhard; Wassermann, Alfred, ed. (2013). Algebraic Combinatorics and Applications (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-3-642-59448-9. 
• Bhattacharya, P. B.; Jain, S. K.; Nagpaul, S. R. (1994). Basic Abstract Algebra (dalam bahasa Inggris). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46629-5. 
• Borceux, Francis (1994). Handbook of Categorical Algebra: Basic category theory (dalam bahasa Inggris). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-44178-0. 
• Bourbaki, N. (1998). Algebra I: Chapters 1-3 (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-3-540-64243-5. 
• Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (2011). A History of Mathematics (dalam bahasa Inggris). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-63056-3. Diakses tanggal January 27, 2024. 
• Bracken, Laura J.; Miller, Edward S. (2014). Elementary Algebra. Cengage Learning. ISBN 978-0-618-95134-5. 
• Bressoud, David M. (2021). Calculus Reordered: A History of the Big Ideas (dalam bahasa Inggris). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-21878-6. Diakses tanggal September 4, 2024. 
• Brezinski, Claude; Meurant, Gérard; Redivo-Zaglia, Michela (2022). A Journey through the History of Numerical Linear Algebra (dalam bahasa Inggris). SIAM. ISBN 978-1-61197-723-3. Diakses tanggal August 12, 2024. 
• Brešar, Matej (2014). Introduction to Noncommutative Algebra (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-3-319-08693-4. Diakses tanggal June 14, 2024. 
• Brown, Jonathon D. (2015). Linear Models in Matrix Form: A Hands-On Approach for the Behavioral Sciences (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-3-319-11734-8. 
• Bueno, Otávio; French, Steven (2018). Applying Mathematics: Immersion, Inference, Interpretation (dalam bahasa Inggris). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-881504-4. Diakses tanggal July 28, 2024. 
• Bukhshtab, A. A.; Pechaev, V. I. (2020). "Arithmetic". Encyclopedia of Mathematics. Springer. Diarsipkan dari versi asli tanggal October 4, 2009. Diakses tanggal October 23, 2023.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Burgin, Mark (2022). Trilogy Of Numbers And Arithmetic – Book 1: History Of Numbers And Arithmetic: An Information Perspective (dalam bahasa Inggris). World Scientific. ISBN 978-981-12-3685-3. Diakses tanggal January 13, 2024. 
• Burris, Stanley; Legris, Javier (2021). "The Algebra of Logic Tradition". The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University. Diarsipkan dari versi asli tanggal January 29, 2024. Diakses tanggal January 22, 2024.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Carlson, Stephan C. (2024). "Topology – Homology, Cohomology, Manifolds". Encyclopædia Britannica (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2 October 2024. 
• Carstensen, Celine; Fine, Benjamin; Rosenberger, Gerhard (2011). Abstract Algebra: Applications to Galois Theory, Algebraic Geometry, and Cryptography (dalam bahasa Inggris). Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-025008-4. 
• Chahal, J. S. (2018). Fundamentals of Linear Algebra (dalam bahasa Inggris). CRC Press. ISBN 978-0-429-75810-2. Diakses tanggal August 29, 2024. 
• Chang, C. C.; Keisler, H. J. (1990). Model Theory (dalam bahasa Inggris). Elsevier. ISBN 978-0-08-088007-5. Diakses tanggal January 27, 2024. 
• Cheng, Eugenia (2023). The Joy of Abstraction. Cambridge University Press. doi:10.1017/9781108769389. ISBN 978-1-108-47722-2. 
• Christianidis, Jean; Megremi, Athanasia (2019). "Tracing the Early History of Algebra: Testimonies on Diophantus in the Greek-speaking World (4th–7th Century CE)". Historia Mathematica. 47: 16–38. doi:10.1016/j.hm.2019.02.002. 
• Cohn, P. M. (1995). Skew Fields: Theory of General Division Rings (dalam bahasa Inggris). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-43217-7. 
• Cohn, P. M. (2012). Universal Algebra (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-94-009-8399-1. Diakses tanggal June 14, 2024. 
• Cooper, Ellis D. (2011). Mathematical Mechanics: From Particle to Muscle (dalam bahasa Inggris). World Scientific. ISBN 978-981-4289-70-2. Diakses tanggal January 20, 2024. 
• Corry, Leo (2024). "Algebra". Encyclopædia Britannica (dalam bahasa Inggris). Diarsipkan dari versi asli tanggal January 19, 2024. Diakses tanggal January 25, 2024.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Cox, David A. (2012). Galois Theory (dalam bahasa Inggris). John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-21842-6. 
• Cresswell, Julia (2010). Oxford Dictionary of Word Origins (dalam bahasa Inggris). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-954793-7. Diakses tanggal January 27, 2024. 
• Danilov, V. I. (2006). "II. Algebraic Varieties and Schemes". Algebraic Geometry I: Algebraic Curves, Algebraic Manifolds and Schemes (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-3-540-51995-9. Diakses tanggal January 24, 2024. 
• Dekker, Truus; Dolk, Maarten (2011). "3. From Arithmetic to Algebra". Dalam Drijvers, Paul. Secondary Algebra Education: Revisiting Topics and Themes and Exploring the Unknown (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-94-6091-334-1. Diakses tanggal January 24, 2024. 
• Denecke, Klaus; Wismath, Shelly L. (2018). Universal Algebra and Applications in Theoretical Computer Science (dalam bahasa Inggris). CRC Press. ISBN 978-1-4822-8583-3. Diakses tanggal August 30, 2024. 
• Deo, Satya (2018). Algebraic Topology: A Primer (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-981-10-8734-9. Diakses tanggal August 5, 2024. 
• Derbyshire, John (2006). "2. The Father of Algebra". Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra (dalam bahasa Inggris). National Academies Press. ISBN 978-0-309-09657-7. Diakses tanggal January 27, 2024. 
• Dominich, Sándor (2008). The Modern Algebra of Information Retrieval (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-3-540-77659-8. Diakses tanggal January 20, 2024. 
• Drijvers, Paul; Goddijn, Aad; Kindt, Martin (2011). "1. Algebra Education: Exploring Topics and Themes". Dalam Drijvers, Paul. Secondary Algebra Education: Revisiting Topics and Themes and Exploring the Unknown (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-94-6091-334-1. Diakses tanggal January 24, 2024. 
• Efimov, B. A. (2014). "Set theory". Encyclopedia of Mathematics. Springer. Diarsipkan dari versi asli tanggal November 29, 2022. Diakses tanggal January 11, 2023.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Elwes, Richard (December 2006). "An enormous theorem: the classification of finite simple groups". Plus Magazine. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2009-02-02. Diakses tanggal 2011-12-20.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Emch, Gerard G.; Sridharan, R.; Srinivas, M. D. (2005). Contributions to the History of Indian Mathematics (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-93-86279-25-5. Diakses tanggal January 27, 2024. 
• EoM Staff (2017). "Algebra". Encyclopedia of Mathematics. Springer. Diarsipkan dari versi asli tanggal November 29, 2022. Diakses tanggal January 11, 2023.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Fiche, Georges; Hebuterne, Gerard (2013). Mathematics for Engineers (dalam bahasa Inggris). John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-62333-6. Diakses tanggal January 13, 2024. 
• Gallier, Jean H.; Quaintance, Jocelyn (2020). Linear Algebra And Optimization With Applications To Machine Learning – Volume Ii: Fundamentals Of Optimization Theory With Applications To Machine Learning (dalam bahasa Inggris). World Scientific. ISBN 978-981-12-1658-9. 
• Gandz, Solomon (1926). "The Origin of the Term "Algebra"". The American Mathematical Monthly. 33 (9): 437–440. doi:10.2307/2299605. JSTOR 2299605. 
• Gardella, Francis; DeLucia, Maria (2020). Algebra for the Middle Grades (dalam bahasa Inggris). IAP. ISBN 978-1-64113-847-5. Diakses tanggal January 24, 2024. 
• Geddes, Keith O.; Czapor, Stephen R.; Labahn, George (2007). Algorithms for Computer Algebra (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-0-585-33247-5. 
• Gilbert, William J.; Nicholson, W. Keith (2004). Modern Algebra with Applications (dalam bahasa Inggris). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-46989-6. Diakses tanggal January 13, 2024. 
• Godsil, Chris (2017). Algebraic Combinatorics (dalam bahasa Inggris). Routledge. ISBN 978-1-351-46750-6. 
• Golan, Jonathan S. (1995). "Algebras Over A Field". Foundations of Linear Algebra. Kluwer Texts in the Mathematical Sciences (dalam bahasa Inggris). 11. Springer. hlm. 219–227. doi:10.1007/978-94-015-8502-6_18. ISBN 978-94-015-8502-6. Diarsipkan dari versi asli tanggal January 12, 2024. Diakses tanggal January 13, 2024.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Goodman, A. W. (2001). Algebra From A To Z (dalam bahasa Inggris). 1. World Scientific. ISBN 978-981-310-266-8. Diakses tanggal March 11, 2024. 
• Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre, ed. (2010). The Princeton Companion to Mathematics (dalam bahasa Inggris). Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-3039-8. 
• Grätzer, George (2008). Universal Algebra (dalam bahasa Inggris) (edisi ke-2). Springer. ISBN 978-0-387-77487-9. Diakses tanggal January 27, 2024. 
• Grillet, Pierre Antoine (2007). "Universal Algebra". Abstract Algebra. Graduate Texts in Mathematics (dalam bahasa Inggris). 242. Springer. hlm. 559–580. doi:10.1007/978-0-387-71568-1_15. ISBN 978-0-387-71568-1. Diarsipkan dari versi asli tanggal January 12, 2024. Diakses tanggal January 13, 2024.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Häberle, L. (2009). "On Classification of Molecules and Species of Representation Rings". Dalam Fink, Andreas; Lausen, Berthold; Seidel, Wilfried; Ultsch, Alfred. Advances in Data Analysis, Data Handling and Business Intelligence (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-3-642-01044-6. Diakses tanggal March 12, 2024. 
• Halmos, Paul R. (1956). "The Basic Concepts of Algebraic Logic". The American Mathematical Monthly. 63 (6): 363–387. doi:10.2307/2309396. ISSN 0002-9890. JSTOR 2309396. 
• Harrison, Michael; Waldron, Patrick (2011). Mathematics for Economics and Finance (dalam bahasa Inggris). Routledge. ISBN 978-1-136-81921-6. Diakses tanggal January 18, 2024. 
• Hausberger, Thomas (2020). "Abstract Algebra Teaching and Learning". Dalam Lerman, Stephen. Encyclopedia of Mathematics Education (edisi ke-2). Springer. ISBN 9783030157883. 
• Hausberger, Thomas; Zandieh, Michelle; Fleischmann, Yael (2021). "Abstract and Linear Algebra". Dalam Durand-Guerrier, Viviane; Hochmuth, Reinhard; Nardi, Elena; Winsløw, Carl. Research and Development in University Mathematics Education: Overview Produced by the International Network for Didactic Research in University Mathematics (dalam bahasa Inggris). Routledge. ISBN 978-1-000-36924-3. 
• Hazewinkel, Michiel (1994). Encyclopaedia of Mathematics (Set) (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-1-55608-010-4. Diakses tanggal January 27, 2024. 
• HC Staff (2022). "Arithmetic". American Heritage Dictionary. HarperCollins. Diarsipkan dari versi asli tanggal November 8, 2023. Diakses tanggal October 19, 2023.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Hettle, Cyrus (2015). "The Symbolic and Mathematical Influence of Diophantus's Arithmetica". Journal of Humanistic Mathematics. 5 (1): 139–166. doi:10.5642/jhummath.201501.08 . 
• Higgins, Peter M. (2015). Algebra: A Very Short Introduction (dalam bahasa Inggris). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-104746-6. Diakses tanggal January 27, 2024. 
• Higham, Nicholas J. (2019). Handbook of Writing for the Mathematical Sciences (dalam bahasa Inggris) (edisi ke-3). SIAM. ISBN 978-1-61197-610-6. Diakses tanggal March 17, 2024. 
• Hoad, T. F. (1993). The Concise Oxford Dictionary of English Etymology. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-283098-2. 
• Hohn, Franz E. (2013). Elementary Matrix Algebra (dalam bahasa Inggris). Dover Publications. ISBN 978-0-486-14372-9. 
• Houston, Stephen D. (2004). The First Writing: Script Invention as History and Process (dalam bahasa Inggris). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83861-0. 
• Hull, Thomas C. (2021). Origametry: Mathematical Methods in Paper Folding. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-47872-4. Diakses tanggal August 7, 2024. 
• Igarashi, Yoshihide; Altman, Tom; Funada, Mariko; Kamiyama, Barbara (2014). Computing: A Historical and Technical Perspective (dalam bahasa Inggris). CRC Press. ISBN 978-1-4822-2741-3. Diakses tanggal January 29, 2024. 
• Indurkhya, Bipin (2013). "6.5 Algebras and Structures". Metaphor and Cognition: An Interactionist Approach (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-94-017-2252-0. Diakses tanggal January 21, 2024. 
• Irving, Ronald S. (2004). Integers, Polynomials, and Rings: A Course in Algebra (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-0-387-40397-7. Diakses tanggal January 20, 2024. 
• Ivanova, O. A.; Smirnov, D. M. (2012). "Isomorphism". Encyclopedia of Mathematics. Springer. Diarsipkan dari versi asli tanggal August 6, 2024. Diakses tanggal March 11, 2024.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Jansana, Ramon (2022). "Algebraic Propositional Logic". The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University. Diarsipkan dari versi asli tanggal December 20, 2016. Diakses tanggal January 22, 2024.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Jarvis, Frazer (2014). Algebraic Number Theory (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-3-319-07545-7. Diakses tanggal January 24, 2024. 
• Jenkins, Everett (2010). The Muslim Diaspora (Volume 1, 570-1500): A Comprehensive Chronology of the Spread of Islam in Asia, Africa, Europe and the Americas (dalam bahasa Inggris). McFarland. ISBN 978-0-7864-4713-8. Diakses tanggal January 28, 2024. 
• Joyner, David (2008). Adventures in Group Theory: Rubik's Cube, Merlin's Machine, and Other Mathematical Toys (edisi ke-2). Johns Hopkins University Press. ISBN 978-0-8018-9012-3. 
• Kaput, James J. (2018). "Linking Representations in the Symbol Systems of Algebra". Dalam Wagner, Sigrid; Kieran, Carolyn. Research Issues in the Learning and Teaching of Algebra: the Research Agenda for Mathematics Education, Volume 4 (dalam bahasa Inggris). Routledge. ISBN 978-1-135-43414-4. Diakses tanggal August 8, 2024. 
• Kargapolov, M. I.; Merzlyakov, Yu. I. (2016). "Group". Encyclopedia of Mathematics. Springer. Diarsipkan dari versi asli tanggal December 5, 2022. Diakses tanggal January 11, 2023.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Karpilovsky, G. (1989). Topics in Field Theory (dalam bahasa Inggris). Elsevier. ISBN 978-0-08-087266-7. 
• Kaufmann, Jerome E.; Schwitters, Karen L. (2011). Elementary Algebra. Cengage Learning. ISBN 978-1-4390-4917-4. 
• Khattar, Dinesh; Agrawal, Neha (2023). Group Theory (dalam bahasa Inggris). Springer and Ane Books Pvt. Ltd. ISBN 978-3-031-21307-6. Diakses tanggal January 20, 2024. 
• Kieran, Carolyn (2006). "Research on the Learning and Teaching of Algebra". Dalam Gutiérrez, Angel; Boero, Paolo. Handbook of Research on the Psychology of Mathematics Education: Past, Present and Future (dalam bahasa Inggris). Sense Publishers. ISBN 978-90-77874-19-6. Diakses tanggal August 8, 2024. 
• Kilty, Joel; McAllister, Alex (2018). Mathematical Modeling and Applied Calculus (dalam bahasa Inggris). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-255813-8. Diakses tanggal January 24, 2024. 
• Kleiner, Israel (2007). A History of Abstract Algebra (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-0-8176-4685-1. 
• Klimov, D. M. (2014). Group-Theoretic Methods in Mechanics and Applied Mathematics (dalam bahasa Inggris). CRC Press. ISBN 978-1-4822-6522-4. 
• Kline, Morris (1990). Mathematical Thought From Ancient to Modern Times: Volume 3 (dalam bahasa Inggris). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-506137-6. 
• Knoebel, Arthur (2011). Sheaves of Algebras Over Boolean Spaces (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-0-8176-4218-1. Diakses tanggal January 27, 2024. 
• Kramer, Jürg; Pippich, Anna-Maria von (2017). From Natural Numbers to Quaternions (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-3-319-69429-0. Diakses tanggal January 20, 2024. 
• Krömer, Ralph (2007). Tool and Object: A History and Philosophy of Category Theory (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-3-7643-7524-9. 
• Kvasz, L. (2006). "The History of Algebra and the Development of the Form of Its Language". Philosophia Mathematica. 14 (3): 287–317. doi:10.1093/philmat/nkj017 . ISSN 1744-6406. 
• Lal, Ramji (2017). Algebra 2: Linear Algebra, Galois Theory, Representation Theory, Group Extensions and Schur Multiplier (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-981-10-4256-0. 
• Lamagna, Edmund A. (2019). Computer Algebra: Concepts and Techniques (dalam bahasa Inggris). CRC Press. ISBN 978-1-351-60583-0. Diakses tanggal January 16, 2024. 
• Lang, Serge (2005). Algebra (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-0-387-95385-4. 
• Laos, Nicolas K. (1998). Topics in Mathematical Analysis and Differential Geometry (dalam bahasa Inggris). World Scientific. ISBN 978-981-02-3180-4. 
• Library of Congress. Library of Congress Classification: Class Q - Science (PDF). Library of Congress. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal April 5, 2024. Diakses tanggal March 17, 2024.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Lidl, Rudolf; Pilz, Günter (1997). Applied Abstract Algebra (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-0-387-98290-8. 
• Lovett, Stephen (2015). Abstract Algebra: Structures and Applications (dalam bahasa Inggris). CRC Press. ISBN 978-1-4822-4891-3. Diakses tanggal July 27, 2024. 
• Lukas, Andre (2022). The Oxford Linear Algebra for Scientists (dalam bahasa Inggris). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-258347-5. 
• Maddocks, J. R. (2008). "Algebra". Dalam Lerner, Brenda Wilmoth; Lerner, K. Lee. The Gale Encyclopedia of Science (edisi ke-4th). Thompson Gale. ISBN 978-1-4144-2877-2. Diarsipkan dari versi asli tanggal January 12, 2024. Diakses tanggal January 13, 2024.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Majewski, Miroslaw (2004). MuPAD Pro Computing Essentials (edisi ke-2). Springer. ISBN 978-3-540-21943-9. 
• Mal’cev, A. I. (1973). "Quasivarieties". Algebraic Systems (dalam bahasa Inggris). Springer. hlm. 210–266. doi:10.1007/978-3-642-65374-2_5. ISBN 978-3-642-65374-2. Diarsipkan dari versi asli tanggal June 18, 2018. Diakses tanggal January 21, 2024.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Mancosu, Paolo (1999). Philosophy of Mathematics and Mathematical Practice in the Seventeenth Century (dalam bahasa Inggris). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-513244-1. Diakses tanggal January 24, 2024. 
• Markushevich, A. I. (2015). "Polynomial". Encyclopedia of Mathematics. Springer. Diarsipkan dari versi asli tanggal August 6, 2024. Diakses tanggal January 11, 2023.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Maxwell, E. A. (2009). Algebraic Structure and Matrices Book 2 (dalam bahasa Inggris). Syracuse University Press. ISBN 978-0-521-10905-5. Diakses tanggal January 20, 2024. 
• McKeague, Charles P. (1986). Elementary Algebra (dalam bahasa Inggris). Academic Press. ISBN 978-1-4832-6384-7. 
• McKeague, Charles P. (2014). Intermediate Algebra: A Text/Workbook (dalam bahasa Inggris). Academic Press. ISBN 978-1-4832-1417-7. Diakses tanggal January 16, 2024. 
• McWeeny, R. (2002). Symmetry: An Introduction to Group Theory and Its Applications (dalam bahasa Inggris). Courier Corporation. ISBN 978-0-486-42182-7. Diakses tanggal January 20, 2024. 
• Menini, Claudia; Oystaeyen, Freddy Van (2017). Abstract Algebra: A Comprehensive Treatment (dalam bahasa Inggris). CRC Press. ISBN 978-1-4822-5817-2. Diakses tanggal January 27, 2024. 
• Merzlyakov, Yu. I.; Shirshov, A. I. (2020). "Algebra(2)". Encyclopedia of Mathematics. Springer. Diarsipkan dari versi asli tanggal April 7, 2023. Diakses tanggal January 11, 2023.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Mirakhor, Abbas; Krichene, Noureddine (2014). Introductory Mathematics and Statistics for Islamic Finance (dalam bahasa Inggris). John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-77972-9. Diakses tanggal August 7, 2024. 
• Mishra, Sanjay (2016). Fundamentals of Mathematics: Algebra (dalam bahasa Inggris). Pearson India. ISBN 978-93-325-5891-5. 
• Miyake, Katsuya (2002). "Some Aspects on Interactions between Algebraic Number Theory and Analytic Number Theory". Dalam Kanemitsu, Shigeru; Jia, Chaohua. Number Theoretic Methods: Future Trends. Springer. ISBN 978-1-4419-5239-4. Diakses tanggal August 7, 2024. 
• Mortensen, C. E. (2013). Inconsistent Mathematics (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-94-015-8453-1. Diakses tanggal January 18, 2024. 
• Murthy, Swamy and (2012). Algebra: Abstract and Modern (dalam bahasa Inggris). Pearson Education India. ISBN 978-93-325-0993-1. Diakses tanggal August 5, 2024. 
• Musser, Gary L.; Peterson, Blake E.; Burger, William F. (2013). Mathematics for Elementary Teachers: A Contemporary Approach (dalam bahasa Inggris). John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-48700-6. Diakses tanggal March 11, 2024. 
• MW Staff (2023). "Definition of Arithmetic". Merriam-Webster (dalam bahasa Inggris). Diarsipkan dari versi asli tanggal November 14, 2023. Diakses tanggal October 19, 2023.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Nakahara, Mikio (2018). Geometry, Topology and Physics (dalam bahasa Inggris). Taylor & Francis. ISBN 978-1-4200-5694-5. Diakses tanggal January 24, 2024. 
• Neri, Ferrante (2019). Linear Algebra for Computational Sciences and Engineering (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-3-030-21321-3. Diakses tanggal January 24, 2024. 
• Nicholson, W. Keith (2012). Introduction to Abstract Algebra (dalam bahasa Inggris). John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-13535-8. Diakses tanggal August 30, 2024. 
• Oaks, Jeffrey A.; Alkhateeb, Haitham M. (2007). "Simplifying equations in Arabic algebra". Historia Mathematica. 34 (1): 45–61. doi:10.1016/j.hm.2006.02.006. 
• Olver, Peter J. (1999). Classical Invariant Theory (dalam bahasa Inggris). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55821-1. Diakses tanggal March 12, 2024. 
• Ono, Hiroakira (2019). Proof Theory and Algebra in Logic (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-981-13-7997-0. 
• OUP Staff. "Algebra". Lexico. Oxford University Press. Diarsipkan dari versi asli tanggal November 20, 2013.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Ovchinnikov, Sergei (2015). Number Systems (dalam bahasa Inggris). American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-2018-5. Diakses tanggal January 20, 2024. 
• Pickover, Clifford A. (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics (dalam bahasa Inggris). Sterling Publishing Company, Inc. ISBN 978-1-4027-5796-9. Diakses tanggal January 28, 2024. 
• Plotkin, B. (2012). Universal Algebra, Algebraic Logic, and Databases (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-94-011-0820-1. Diakses tanggal January 24, 2024. 
• Pratt, Vaughan (2022). "Algebra". The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University. Diarsipkan dari versi asli tanggal January 29, 2024. Diakses tanggal January 11, 2024.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Rabadan, Raul; Blumberg, Andrew J. (2019). Topological Data Analysis for Genomics and Evolution: Topology in Biology (dalam bahasa Inggris). Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-15954-9. Diakses tanggal January 24, 2024. 
• Ricardo, Henry (2009). A Modern Introduction to Linear Algebra (dalam bahasa Inggris). CRC Press. ISBN 978-1-4398-9461-3. Diakses tanggal August 29, 2024. 
• Rohde, Ulrich L.; Jain, G. C.; Poddar, Ajay K.; Ghosh, A. K. (2012). Introduction to Differential Calculus: Systematic Studies with Engineering Applications for Beginners (dalam bahasa Inggris). John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-13014-8. Diakses tanggal January 16, 2024. 
• Romanowski, Perry (2008). "Arithmetic". Dalam Lerner, Brenda Wilmoth; Lerner, K. Lee. The Gale Encyclopedia of Science (edisi ke-4th). Thompson Gale. ISBN 978-1-4144-2877-2. Diarsipkan dari versi asli tanggal November 1, 2023. Diakses tanggal January 13, 2024.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Rosen, Kenneth (2012). Discrete Maths and Its Applications Global Edition 7e (dalam bahasa Inggris). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-715151-5. 
• Rowen, Louis Halle (2006). Graduate Algebra: Commutative View: Commutative View (dalam bahasa Inggris). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0570-1. Diakses tanggal June 14, 2024. 
• Sahai, Vivek; Bist, Vikas (2002). Linear Algebra (dalam bahasa Inggris). CRC Press. ISBN 978-0-8493-2426-0. 
• Saikia, Promode Kumar (2008). Linear Algebra (dalam bahasa Inggris). Pearson Education India. ISBN 978-81-317-4276-1. Diakses tanggal August 5, 2024. 
• Serovajsky, Simon (2020). Architecture of Mathematics (dalam bahasa Inggris). CRC Press. ISBN 978-0-429-89353-7. 
• Seshadri, C. S. (2010). Studies in the History of Indian Mathematics (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-93-86279-49-1. Diakses tanggal January 27, 2024. 
• Sialaros, Michalis (2018). Revolutions and Continuity in Greek Mathematics (dalam bahasa Inggris). Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-3-11-056527-0. Diakses tanggal January 27, 2024. 
• Silverman, Joseph H. (2022). Abstract Algebra: An Integrated Approach (dalam bahasa Inggris). American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-6860-6. 
• Smirnov, D. M. (2020). "Universal Algebra". Encyclopedia of Mathematics. Springer. Diarsipkan dari versi asli tanggal March 1, 2024. Diakses tanggal August 30, 2024.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Smith, Jonathan D. H. (2015). Introduction to Abstract Algebra (dalam bahasa Inggris). CRC Press. ISBN 978-1-4987-3162-1. Diakses tanggal June 14, 2024. 
• Smorynski, Craig (2007). History of Mathematics: A Supplement (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-0-387-75481-9. Diakses tanggal January 27, 2024. 
• Sneyd, James; Fewster, Rachel M.; McGillivray, Duncan (2022). Mathematics and Statistics for Science (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-3-031-05318-4. 
• Sobolev, S. K. (2015). "Constant". Encyclopedia of Mathematics. Springer. Diarsipkan dari versi asli tanggal January 24, 2024. Diakses tanggal October 23, 2023.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Solomon, Bruce (2014). Linear Algebra, Geometry and Transformation (dalam bahasa Inggris). CRC Press. ISBN 978-1-4822-9930-4. Diakses tanggal August 29, 2024. 
• Sorell, Tom (2000). Descartes: A Very Short Introduction (dalam bahasa Inggris). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-285409-4. Diakses tanggal March 11, 2024. 
• Star, Jon R.; Foegen, Anne; Larson, Matthew R.; McCallum, William G.; Porath, Jane; Zbiek, Rose Mary (2015). Teaching Strategies for Improving Algebra Knowledge in Middle and High School Students. U.S. Department of Education / Institute of Education Sciences. OCLC 5867417164. 
• Straffin, Philip D. (1980). "Linear Algebra in Geography: Eigenvectors of Networks". Mathematics Magazine. 53 (5): 269–276. doi:10.2307/2689388. ISSN 0025-570X. JSTOR 2689388. 
• Sullivan, Michael (2010). Finite Mathematics: An Applied Approach (dalam bahasa Inggris). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-87639-8. Diakses tanggal January 18, 2024. 
• Tan, Kiat Shi; Steeb, Willi-Hans; Hardy, Yorick (2012). SymbolicC++:An Introduction to Computer Algebra Using Object-Oriented Programming: An Introduction to Computer Algebra Using Object-Oriented Programming (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-1-4471-0405-6. Diakses tanggal January 16, 2024. 
• Tanton, James (2005). Encyclopedia of Mathematics. Facts On File. ISBN 978-0-8160-5124-3. 
• Terras, Audrey (2019). Abstract Algebra with Applications. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-16407-9. 
• Tsokos, Chris P.; Wooten, Rebecca D. (2015). The Joy of Finite Mathematics: The Language and Art of Math (dalam bahasa Inggris). Academic Press. ISBN 978-0-12-802985-5. 
• Valenza, Robert J. (2012). Linear Algebra: An Introduction to Abstract Mathematics (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-1-4612-0901-0. Diakses tanggal August 29, 2024. 
• Vince, John (2007). Vector Analysis for Computer Graphics (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-1-84628-803-6. Diakses tanggal August 5, 2024. 
• Viterbo, Emanuele; Hong, Yi (2011). "3.4 Algebraic Number Theory". Dalam Hlawatsch, Franz; Matz, Gerald. Wireless Communications Over Rapidly Time-Varying Channels (dalam bahasa Inggris). Academic Press. ISBN 978-0-08-092272-0. Diakses tanggal January 24, 2024. 
• Voitsekhovskii, M. I. (2011). "Linear Equation". Encyclopedia of Mathematics. Springer. Diarsipkan dari versi asli tanggal November 23, 2023. Diakses tanggal January 10, 2024.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Waerden, Bartel L. van der (2003). Algebra. 1. Springer. ISBN 0-387-40624-7. 
• Waerden, Bartel L. van der (2013). A History of Algebra: From al-Khwārizmī to Emmy Noether (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-3-642-51599-6. Diakses tanggal January 27, 2024. 
• Wagner, Sigrid; Kieran, Carolyn (2018). Research Issues in the Learning and Teaching of Algebra: The Research Agenda for Mathematics Education (dalam bahasa Inggris). 4. Routledge. ISBN 978-1-135-43421-2. Diakses tanggal January 13, 2024. 
• Walz, Guido (2016). "Algebra". Lexikon der Mathematik: Band 1: A bis Eif [Encyclopedia of Mathematics: Volume 1: A to Eif] (dalam bahasa Jerman). Springer. ISBN 978-3-662-53498-4. Diarsipkan dari versi asli tanggal January 12, 2024. Diakses tanggal January 13, 2024.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Weibel, Charles A. (1995). An Introduction to Homological Algebra (dalam bahasa Inggris). Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-64307-8. 
• Weisstein, Eric W. (2003). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics (edisi ke-2nd). Chapman & Hall/CRC. ISBN 978-1-58488-347-0. 
• Wheeler, Jeffrey Paul (2023). An Introduction to Optimization with Applications in Machine Learning and Data Analytics (dalam bahasa Inggris). CRC Press. ISBN 978-1-003-80359-1. 
• Whitelaw, T. A. (1995). Introduction to Abstract Algebra, Third Edition (dalam bahasa Inggris). CRC Press. ISBN 978-0-7514-0147-9. 
• Williams, G. Arnell (2022). Algebra the Beautiful: An Ode to Math's Least-Loved Subject (dalam bahasa Inggris). Basic Books. ISBN 978-1-5416-0070-6. Diakses tanggal March 11, 2024. 
• Wilson, Robert A. (2009). The Finite Simple Groups. Graduate Texts in Mathematics. 251. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-84800-988-2. ISBN 978-1-84800-987-5. Zbl 1203.20012. 
• Young, Cynthia Y. (2010). Precalculus (dalam bahasa Inggris). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-75684-2. Diakses tanggal January 16, 2024. 
• Young, Cynthia Y. (2023). Precalculus (dalam bahasa Inggris). John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-86940-5. Diakses tanggal January 18, 2024. 
• zbMATH Open (2024). "Classification". zbMATH Open (dalam bahasa Inggris). Mathematical Reviews and zbMATH Open. Diarsipkan dari versi asli tanggal July 19, 2020. Diakses tanggal March 17, 2024.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Zwillinger, Daniel (2002). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae (dalam bahasa Inggris). CRC Press. ISBN 978-1-4200-3534-6. Diakses tanggal January 27, 2024. 

Pranala luar

• Khan Academy: Konseptual video dan contoh bekerja
• Khan Academy: asal-Usul Aljabar, online gratis micro kuliah Diarsipkan 2013-05-09 di Wayback Machine.
• Algebrarules.com: open source sumber daya untuk belajar dasar-dasar Aljabar
• 4000 Tahun dari Aljabar Diarsipkan 2007-10-04 di Wayback Machine., kuliah oleh Robin Wilson, di Gresham College, 17 oktober 2007 (tersedia untuk MP3 dan MP4 download, juga sebagai file teks).
• (Inggris) Entri Algebra^[pranala nonaktif permanen] di Stanford Encyclopedia of Philosophy