Sifat komutatif

Sebuah operasi ${\displaystyle \circ }$ adalah komutatif jika dan hanya jika ${\displaystyle x\circ y=y\circ x}$ untuk setiap ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$. Gambar ini mengilustrasikan sifat ini dengan konsep dari sebuah operasi sebagai suatu "mesin kalkulasi". Hasil dari ${\displaystyle x\circ y}$ atau ${\displaystyle y\circ x}$ tidak dipengaruhi oleh urutan dari argumen ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$ – hasil akhirnya sama.

Dalam matematika, suatu operasi biner memiliki sifat komutatif jika mengubah urutan operan tidak mengubah hasilnya. Ini adalah sifat fundamental dari banyak operasi biner, dan banyak pembuktian matematika bergantung pada sifat ini. Sifat ini paling dikenal sebagai nama sifat yang mengatakan "3 + 4 = 4 + 3" atau "2 × 5 = 5 × 2". Sifat ini juga dapat digunakan dalam situasi yang lebih rumit. Nama ini diperlukan karena ada operasi, seperti pembagian dan pengurangan, yang tidak memilikinya (misalnya, "3 − 5 ≠ 5 − 3"); operasi semacam itu tidak bersifat komutatif, dan demikian disebut sebagai operasi nonkomutatif. Gagasan bahwa operasi sederhana, seperti perkalian dan penjumlahan bilangan, bersifat komutatif telah diasumsikan secara implisit selama bertahun-tahun. Dengan demikian, properti ini tidak dinamai sampai abad ke-19, ketika matematika mulai menjadi formal.[1][2] Sifat yang terkait ada untuk relasi biner; suatu relasi biner dikatakan simetris jika relasi berlaku terlepas dari urutan operannya; misalnya, kesamaan bersifat simetris karena dua objek matematika yang sama adalah sama terlepas dari urutannya.[3]

Penggunaan umum

Properti komutatif (atau hukum komutatif ) adalah properti yang umumnya terkait dengan operasi biner dan fungsi. Jika properti komutatif berlaku untuk sepasang elemen di bawah operasi biner tertentu, maka kedua elemen tersebut dikatakan ngelaju di bawah operasi.

Definisi Matematika

Informasi lebih lanjut: Fungsi simetris

Istilah "komutatif" digunakan dalam beberapa pengertian terkait.[4][5]

1. Operasi biner ${\displaystyle *}$ pada himpunan S disebut komutatif jika:

   ${\displaystyle x*y=y*x\qquad {\mbox{for all }}x,y\in S}$

   Operasi yang tidak memenuhi properti di atas disebut non-komutatif.
2. Seseorang mengatakan bahwa x perjalanan dengan y di bawah ${\displaystyle *}$ jika:

   ${\displaystyle x*y=y*x}$

3. Fungsi biner ${\displaystyle f\colon A\times A\to B}$ disebut komutatif jika:
   ${\displaystyle f(x,y)=f(y,x)\qquad {\mbox{for all }}x,y\in A}$

Contoh

Operasi komutatif

Penambahan vektor bersifat komutatif, karena ${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}}$.

Dua contoh operasi biner komutatif yang terkenal:[4]

• Penambahan dari bilangan real bersifat komutatif, karena

${\displaystyle y+z=z+y\qquad {\mbox{for all }}y,z\in \mathbb {R} }$

Misalnya 4 + 5 = 5 + 4, karena ekspresi sama dengan 9.

• Perkalian dari bilangan real adalah komutatif, karena

${\displaystyle yz=zy\qquad {\mbox{dari semua }}y,z\in \mathbb {R} }$

Misalnya, 3 × 5 = 5 × 3, karena kedua ekspresi sama dengan 15.

Sebagai konsekuensi langsung dari ini, itu juga berlaku bahwa ekspresi pada bentuk y% dari z dan y% dari z% adalah komutatif untuk semua bilangan real y dan z.[6] Misalnya 64% dari 50 = 50% dari 64, karena kedua ekspresi sama dengan 32, dan 30% dari 50% = 50% dari 30%, karena kedua ekspresi tersebut sama dengan 15%.

• Beberapa biner fungsi kebenaran juga komutatif, karena tabel kebenaran untuk fungsi-fungsinya sama ketika seseorang mengubah urutan operan.

Misalnya, fungsi biconditional logis p ↔ q ekivalen dengan q ↔ p. Fungsi ini juga ditulis sebagai p IFF q, atau sebagai p ≡ q, atau sebagai Epq.

Bentuk terakhir adalah contoh notasi paling ringkas dalam artikel tentang fungsi kebenaran, yang mencantumkan enam belas kemungkinan fungsi kebenaran biner yang delapan diantaranya adalah komutatif: Vpq = Vqp; Apq (ATAU) = Aqp; Dpq (NAND) = Dqp; Epq (IFF) = Eqp; Jpq = Jqp; Kpq (DAN) = Kqp; Xpq (MAUPUN) = Xqp; Opq = Oqp.

• Contoh lebih lanjut dari operasi biner komutatif termasuk penambahan dan perkalian bilangan kompleks, penjumlahan dan perkalian skalar dari vektor, dan persimpangan dan persatuan dari himpunan.

Operasi nonkomutatif

Beberapa operasi biner nonkomutatif:[7]

Pembagian dan pengurangan

Pembagian adalah nonkomutatif, sejak ${\displaystyle 1\div 2\neq 2\div 1}$.

Pengurangan bersifat nonkomutatif, karena ${\displaystyle 0-1\neq 1-0}$. Namun itu diklasifikasikan lebih tepatnya sebagai anti-komutatif, karena ${\displaystyle 0-1=-(1-0)}$.

Fungsi kebenaran

Beberapa fungsi kebenaran adalah nonkomutatif, karena tabel kebenaran untuk fungsi berbeda ketika seseorang mengubah urutan operan. Misalnya, tabel kebenaran untuk (A ⇒ B) = (¬A ∨ B) dan (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B) adalah

A	B	A ⇒ B	B ⇒ A
F	F	T	T
F	T	T	F
T	F	F	T
T	T	T	T

Komposisi fungsi fungsi linier

Komposisi fungsi dari fungsi linier dari bilangan real ke bilangan real hampir selalu nonkomutatif. Misalnya, misalkan ${\displaystyle f(x)=2x+1}$ dan ${\displaystyle g(x)=3x+7}$. Kemudian

${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=2(3x+7)+1=6x+15}$

dan

${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=3(2x+1)+7=6x+10}$

Ini juga berlaku lebih umum untuk linier dan transformasi affine dari ruang vektor ke dirinya sendiri (lihat di bawah untuk representasi Matriks).

Perkalian matriks

Matriks perkalian matriks kuadrat hampir selalu nonkomutatif, misalnya:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}}$

Produk vektor

Produk vektor (atau perkalian silang) dari dua vektor dalam tiga dimensi adalah anti-komutatif; yaitu, b × a = −(a × b).

Sejarah dan etimologi

Penggunaan istilah pertama yang diketahui dalam Jurnal Prancis yang diterbitkan pada tahun 1814

Rekaman penggunaan implisit dari properti komutatif kembali ke zaman kuno. Para Mesir ian menggunakan properti komutatif dari perkalian untuk menyederhanakan komputasi produk.[8][9] Euklides diketahui telah mengasumsikan properti komutatif perkalian dalam bukunya Elemen .[10] Penggunaan formal properti komutatif muncul pada akhir abad ke-18 dan awal abad ke-19, ketika ahli matematika mulai mengerjakan teori fungsi. Saat ini properti komutatif adalah properti terkenal dan dasar yang digunakan di sebagian besar cabang matematika.

Penggunaan istilah komutatif yang tercatat pertama kali dalam sebuah memoar oleh François Servois pada tahun 1814,[1][11] yang menggunakan kata komutatif saat mendeskripsikan fungsi yang memiliki apa yang sekarang disebut properti komutatif. Kata tersebut merupakan kombinasi dari kata Perancis commuter yang berarti "mengganti atau mengganti" dan sufiks -ative yang berarti "cenderung ke" sehingga kata tersebut secara harfiah berarti "cenderung mengganti atau beralih". Istilah tersebut kemudian muncul dalam bahasa Inggris pada tahun 1838[2] dalam artikel Duncan Farquharson Gregory berjudul "Tentang sifat sebenarnya dari aljabar simbolik" yang diterbitkan pada tahun 1840 di Transaksi Royal Society of Edinburgh.[12]

Logika proposisional

Templat:Kaidah transformasi

Kaidah penggantian

Dalam logika proposisional riil-fungsional, pergantian,[13][14] atau komutatif[15] mengacu pada dua valid kaidah penggantian. Kaidah memungkinkan untuk mengubah urutan variabel proposisional dalam ekspresi logika dalam bukti logis. Rumusnya adalah:

${\displaystyle (P\lor Q)\Leftrightarrow (Q\lor P)}$

and

${\displaystyle (P\land Q)\Leftrightarrow (Q\land P)}$

dimana "${\displaystyle \Leftrightarrow }$" adalah metalogika dari simbol yang menggunakan "bukti dengan formal".

Konektor fungsional riil

Komutatifita adalah sifat dari beberapa koneksi logika fungsi riil logika proposisional. Persamaan logika berikut menunjukkan bahwa komutativitas adalah sifat dari penghubung tertentu. Berikut ini adalah riil-fungsional tautologi.

Komutatifitas konjungsi

${\displaystyle (P\land Q)\leftrightarrow (Q\land P)}$

Komutatifitas disjungsi

${\displaystyle (P\lor Q)\leftrightarrow (Q\lor P)}$

Komutatifitas implikasi (disebut juga hukum permutasi)

${\displaystyle (P\to (Q\to R))\leftrightarrow (Q\to (P\to R))}$

Komutatifitas kesetaraan (disebut juga hukum ekuivalen komutatif kompleks)

${\displaystyle (P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow (Q\leftrightarrow P)}$

Teori himpunan

Dalam grup dan teori himpunan, struktur aljabar disebut sebagai komutatif ketika operan tertentu memenuhi sifat komutatif. Dalam cabang matematika yang lebih tinggi, yaitu analisis dan aljabar linear komutatifitas operasi terkenal (yaitu penambahan dan perkalian pada bilangan riil dan kompleks) sering digunakan (atau diasumsikan secara implisit) dalam pembuktian.[16][17][18]

Struktur matematika dan komutatif

• Semigrup komutatif adalah himpunan dengan operasi total dari asosiatif dan komutatif.
• Jika operasi menggunakan elemen identitas maka elemen tersebut adalah monoid komutatif
• Grup abelian, atau grup komutatif adalah grup dimana operasi grupnya adalah sifat komutatif.[17]
• Gelanggang komutatif adalah gelanggang dimana perkalian adalah komutatif.[19]
• Dalam bidang penjumlahan dan perkalian adalah sifat komutatif.[20]

Sifat terkait

Asosiatif

Artikel utama: Sifat asosiatif

Sifat asosiatif terkait erat dengan sifat komutatif. Sifat asosiatif dari ekspresi yang berisi dua atau lebih dari operasi yang sama; bahwa operasi urutan dilakukan tidak dipengaruhi hasil akhir, sebagai urutan persyaratan yang tidak dapat diubah. Sebaliknya, sifat komutatif; bahwa urutan suku tidak mempengaruhi hasil akhir.

Sebagian besar operasi komutatif yang ditemukan dalam praktik bersifat asosiatif. Namun, komutativitas tidak menyiratkan asosiatif. Sebuah contoh luar adalah fungsi

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x+y}{2}},}$

yang jelas sifat komutatif (mengganti x dan y tidak mempengaruhi hasil), tetapi tidak asosiatif (misalnya, ${\displaystyle f(-4,f(0,+4))=-1}$ but ${\displaystyle f(f(-4,0),+4)=+1}$). Contoh lainnya dapat ditemukan di magma non-asosiatif komutatif.

Distributif

Artikel utama: Sifat distributif

Simetri

Grafik yang menunjukkan kesimetrian fungsi penjumlahan

Artikel utama: Simetri dalam matematika

Beberapa bentuk simetri dapat langsung dikaitkan dengan komutatifitas. Ketika operasi komutatif ditulis sebagai fungsi biner maka fungsi yang dihasilkan adalah simetris dengan melintasi garis y = x. Sebagai contoh, jika fungsi f menggunakan penjumlahan (operasi komutatif) sehingga f(x,y) = x + y, maka f adalah fungsi simetris yang dapat dilihat pada gambar di sebelahnya.

Untuk relasi, relasi simetri adalah analogi dengan operasi komutatif, dimana jika relasi R simetris, maka ${\displaystyle aRb\Leftrightarrow bRa}$.

Operator non-komuter dalam mekanika kuantum

Artikel utama: Hubungan pergantian kanonis

Dalam mekanika kuantum seperti yang dirumuskan oleh Schrödinger, variabel fisik diwakili oleh operator linier seperti x (artinya dikalikan dengan x), dan ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$. Kedua operator ini tidak bolak-balik seperti yang terlihat dengan mempertimbangkan efek komposisi mereka ${\displaystyle x{\frac {d}{dx}}}$ dan ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x}$ (juga disebut produk operator) pada fungsi gelombang satu dimensi ${\displaystyle \psi (x)}$:

${\displaystyle x\cdot {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\psi =x\cdot \psi '\ \neq \ \psi +x\cdot \psi '={\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left(x\cdot \psi \right)}$

Menurut prinsip ketidakpastian dari Heisenberg, jika dua operator yang mewakili sepasang variabel tidak bolak-balik, maka pasangan variabel itu saling komplementer, yang artinya tidak dapat diukur atau diketahui secara bersamaan. Misalnya, posisi dan momentum linier dalam arah x sebuah partikel diwakili oleh operator ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$, masing-masing (di mana ${\displaystyle \hbar }$ adalah konstanta Planck tereduksi). Ini adalah contoh yang sama kecuali konstanta ${\displaystyle -i\hbar }$, jadi sekali lagi operator tidak bolak-balik dan arti fisiknya adalah bahwa posisi dan momentum linear dalam arah tertentu saling melengkapi.

Lihat pula

• Properti antikomutatif
• Pemusat dan penormal (juga disebut komutan)
• Diagram komutatif
• Komutatif (neurofisiologi)
• Pembalik
• Hukum genjang
• Statistik partikel (untuk komutatifitas dalam fisika)
• Properti kuasi-komutatif
• Jejak monoid
• Kemungkinan perjalanan

Catatan

1. Cabillón and Miller, Commutative and Distributive
2. Flood, Raymond; Rice, Adrian; Wilson, Robin, ed. (2011). Mathematics in Victorian Britain. Oxford University Press. hlm. 4. 
3. (Inggris) Weisstein, Eric W. "Symmetric Relation". MathWorld. 
4. Krowne, p.1
5. Weisstein, Commute, p.1
6. "Compatible Numbers to Simplify Percent Problems". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2020-07-14. Diakses tanggal 2020-07-17. 
7. Yark, p.1.
8. Lumpkin, p.11
9. Gay and Shute, p.?
10. O'Conner and Robertson, Real Numbers
11. O'Conner and Robertson, Servois
12. D. F. Gregory (1840). "On the real nature of symbolical algebra". Transactions of the Royal Society of Edinburgh. 14: 208–216. 
13. Moore and Parker
14. Copi, Irving M.; Cohen, Carl (2005). Introduction to Logic. Prentice Hall. 
15. Hurley, Patrick (1991). A Concise Introduction to Logic 4th edition. Wadsworth Publishing. 
16. Axler, p.2
17. Gallian, p.34
18. p. 26,87
19. Gallian p.236
20. Gallian p.250

Referensi

Buku

• Axler, Sheldon (1997). Linear Algebra Done Right, 2e. Springer. ISBN 0-387-98258-2. 

Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book.

• Copi, Irving M.; Cohen, Carl (2005). Introduction to Logic. Prentice Hall. 
• Gallian, Joseph (2006). Contemporary Abstract Algebra, 6e. Boston, Mass.: Houghton Mifflin. ISBN 0-618-51471-6. 

Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.

• Goodman, Frederick (2003). Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e. Prentice Hall. ISBN 0-13-067342-0. 

Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book.

• Hurley, Patrick (1991). A Concise Introduction to Logic 4th edition. Wadsworth Publishing. 

Artikel

• https://web.archive.org/web/20070713072942/http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf Lumpkin, B. (1997). The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter. Unpublished manuscript.

Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.

• Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 0-7141-0944-4

Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus.

Sumber berbasis online

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Commutativity", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Krowne, Aaron, Commutative di PlanetMath., Accessed 8 August 2007.

Definition of commutativity and examples of commutative operations

• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Commute". MathWorld. , Accessed 8 August 2007.

Explanation of the term commute

• Yark. Examples of non-commutative operations di PlanetMath., Accessed 8 August 2007

Examples proving some noncommutative operations

• O'Conner, J J and Robertson, E F. MacTutor history of real numbers, Accessed 8 August 2007

Article giving the history of the real numbers

• Cabillón, Julio and Miller, Jeff. Earliest Known Uses Of Mathematical Terms, Accessed 22 November 2008

Page covering the earliest uses of mathematical terms

• O'Conner, J J and Robertson, E F. MacTutor biography of François Servois Diarsipkan 2009-09-02 di Wayback Machine., Accessed 8 August 2007

Biography of Francois Servois, who first used the term