Aljabar linear

Dalam ruang Euklides dimensi tiga, ketiga bidang ini mewakili solusi persamaan linear, dan perpotongannya ketiganya mewakili himpunan solusi gabungan: dalam hal ini, sebuah titik yang unik. Garis biru adalah solusi gabungan ketika hanya memperhatikan gabungan dari dua persamaan linear.

Aljabar linear adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linear seperti$${\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b,}$$pemetaan linear seperti$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n},}$$dan representasinya dalam ruang vektor maupun dengan matriks.[1][2][3]

Aljabar linear berperan penting di hampir semua bidang matematika. Sebagai contoh, aljabar linear menjadi dasar dalam menjelaskan geometri secara modern, termasuk dalam mendefinisikan objek-objek dasar seperti garis, bidang, dan rotasi. Analisis fungsional, salah satu cabang matematika analisis, dapat dianggap sebagai penerapan aljabar linear dalam ruang fungsi.

Aljabar linear juga dipakai dalam banyak bidang ilmu dan bidang teknik, karena kemampuannya memodelkan banyak fenomena alam dan mencari solusi model tersebut dengan efisien. Pada sistem nonlinear, aljabar linear sering digunakan sebagai hampiran linear (linear approximation), didasarkan pada fakta turunan dari fungsi multivariabel di suatu titik adalah pemetaan linear yang terbaik dalam menghampiri nilai fungsi disekitar titik tersebut.

Sejarah

Lihat pula: Determinan § Sejarah, dan Eliminasi Gauss § Sejarah

Menyelesaikan beberapa persamaan linear secara bersamaan menjadi bagian penting dalam aljabar linear. Prosedur dalam menyelesaikan masalah tersebut, yang sekarang dikenal sebagai eliminasi Gauss, pertama kali muncul dalam Bab Delapan: Array Persegi Panjang di buku matematika Cina kuno Sembilan Bab dalam Seni Matematika. Buku ini mengilustrasikan delapan belas masalah, masing-masing melibatkan dua sampai lima persamaan.[4]

Sistem persamaan linear berkembang di Eropa bersamaan dengan dikenalkannya konsep koordinat dalam geometri, oleh René Descartes pada tahun 1637. Faktanya, pada geometri yang sekarang dikenal sebagai geometri Kartesius ini, garis-garis dan bidang-bidang diwakilkan oleh persamaan linear, dan mendapatkan hasil perpotongan mereka sama dengan menyelesaikan sistem persamaan linear.

Pada perkembangan selanjutnya, determinan digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear secara sistematis. Metode ini pertama kali dipertimbangkan oleh Leibniz pada tahun 1693. Pada tahun 1750, Gabriel Cramer menggunakan determinan untuk menghasilkan solusi sistem linear secara eksplisit, menggunakan metode yang saat ini dikenal dengan aturan Cramer. Gauss nantinya juga menjelaskan lebih lanjut tentang metode eliminasi, yang awalnya dicatat sebagai sebuah kemajuan (advancement) dalam geodesi.[5]

Pada tahun 1844, Hermann Grassmann mempublikasikan "Theory of Extension" yang didalamnya meyertakan topik fundamental yang baru, saat ini dikenal sebagai aljabar linear. Pada tahun 1848, James Joseph Sylvester memperkenalkan istilah matrix. Aljabar linear tumbuh dengan konsep-konsep dari bidang kompleks. Sebagai contoh, dua bilangan kompleks ${\displaystyle w}$ dan ${\displaystyle z}$ memiliki selisih ${\displaystyle w-z}$ dan segmen garis ${\displaystyle {\overline {wz}}}$ dan ${\displaystyle {\overline {0(w-z)}}}$ memiliki panjang dan arah yang sama. Istilah vektor diperkenalkan untuk mewakili suatu titik ${\displaystyle v=x{\text{i}}+y{\text{j}}+z{\text{k}}}$ dalam ruang.

Arthur Cayley memperkenalkan perkalian matriks dan invers matriks pada tahun 1856. Cayley juga menggunakan satu huruf untuk menandai satu matriks, sehingga mengganggap matriks sebagai suatu gabungan dari banyak objek. Ia juga menyadari hubungan antara matriks dan determinan, dan menulis "Akan ada banyak hal untuk disampaikan tentang teori matriks ini yang, menurut saya, seharusnya mendahului teori determinan."[5]

Publikasi A Treatise on Electricity and Magnetism pada tahun 1873 memulai ilmu teori medan tentang elektromagnetik, dan memerlukan geometri diferensial untuk mengekspresikan konsep-konsepnya. Aljabar linear merupakan geometri diferensial untuk bidang datar dan berperan pada ruang tangen manifold. Simetri elektromagnetik dari ruang waktu diekspresikan lewat transformasi Lorentz, dan banyak dari sejarah aljabar linear selanjutnya juga merupakan sejarah dari transformasi Lorentz.

Definisi yang lebih pasti dan modern mengenai ruang vektor diperkenalkan oleh Peano pada tahun 1888.[5] Teori tentang transformasi linear ruang vektor dimensi hingga berkembang pada tahun 1900. Aljabar linear mendapatkan bentuk modernnya pada awal abad ke-20, ketika banyak ide dan konsep dari abad-abad sebelumnya berhasil diperumum menjadi aljabar abstrak. Perkembangan komputer memulai riset yang pesat dalam algoritme efisien untuk eliminasi Gauss dan dekomposisi matriks; dan aljabar linear menjadi alat penting untuk permodelan dan simulasi.[5]

Ruang vektor

Artikel utama: Ruang vektor

Sampai pada abad ke-19, aljabar linear diperkenalkan lewat sistem persamaan linear dan matriks. Dalam matematika modern, perkenalan lewat ruang vektor lebih disukai karena sifatnya yang lebih umum (tidak terbatas pada kasus dimensi yang berhingga) dan lebih mudah secara konseptual, walaupun lebih abstrak.

Suatu ruang vektor atas medan F (umumnya berupa medan bilangan real) adalah suatu himpunan V yang dilengkapi oleh dua operasi biner yang memenuhi aksioma-aksioma pada daftar berikut. Elemen dari V disebut vektor, dan elemen dari F disebut skalar. Opersi yang pertama, penjumlahan vektor, menggunakan sembarang dua vektor v dan w dan menghasilkan vektor v + w. Operasi yang kedua, perkalian skalar, menggunakan sembarang skalar a dan sembarang vektor v dan menghasilkan vektor av. Dalam daftar berikut, u, v, dan w adalah sembarang vektor di V, dan a dan b adalah sembarang skalar di medan F.[6]

Aksioma	Hal yang terjadi
Penjumlahan bersifat asosiasif	u + (v + w) = (u + v) + w
Penjumlahan bersifat komutatif	u + v = v + u
Penjumlahan memiliki elemen identitas	Ada suatu elemen 0 di V, disebut dengan vektor nol (terkadang cukup disebut nol), yang memenuhi v + 0 = v untuk setiap v di V.
Penjumlahan memiliki elemen invers	Untuk setiap v di V, ada elemen −v di V, disebut invers penjumlahan dari v, yang memenuhi v + (−v) = 0
Perkalian skalar bersifat distributif terhadap penjumlahan vektor	a(u + v) = au + av
Perkalian skalar bersifat distributif terhadap penjumlahan pada medan	(a + b)v = av + bv
Perkalian skalar bersifat distributif terhadap perkalian pada medan	a(bv) = (ab)v [a]
Perkalian skalar memiliki elemen invers	Untuk setiap v di V, berlaku hubungan 1v = v, dengan 1 menandakan identitas perkalian di F.

Empat aksioma yang pertama mengartikan bahwa V adalah suatu grup Abelian dalam penjumlahan.

Elemen dari suatu ruang vektor yang spesifik dapat berupa objek yang beragam. Sebagai contoh, elemen ini dapat berupa deret, fungsi, polinomial, atau matriks. Aljabar linear berfokus pada sifat-sifat objek tersebut yang sama dengan semua ruang vektor lainnya.

Peta linear

Artikel utama: Peta linear

Peta linear adalah pemetaan antara dua ruang vektor yang mengawetkan struktur dari ruang vektor. Diberikan dua ruang vektor V dan W atas medan F, suatu pet linear adalah pemetaan$${\displaystyle T:V\to W}$$yang memenuhi perkalian dan penjumlahan skalar, dengan kata lain, memenuhi$${\displaystyle T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=T(\mathbf {u} )+T(\mathbf {v} ),\quad T(a\mathbf {v} )=aT(\mathbf {v} )}$$Untuk sembarang vektor u,v di V dan skalar a di F. Hal ini mengakibatkan untuk sembarang vektor u, v di V dan skalar a, b di F, berlaku hubungan$${\displaystyle T(a\mathbf {u} +b\mathbf {v} )=T(a\mathbf {u} )+T(b\mathbf {v} )=aT(\mathbf {u} )+bT(\mathbf {v} )}$$Ketika V = W, pemetaan linear ${\displaystyle T:V\to V}$ juga disebut sebagai operator linear di V. Peta linear yang bijektif antara dua ruang vektor, yakni yang memetakan setiap elemen di satu ruang vektor dengan tepat satu elemen di ruang vektor yang lain, disebut sebagai suatu isomorfisme. Karena isomorfisme mengawetkan struktur linear, dua ruang vektor yang isomorfik "pada dasarnya sama" dalam sudut pandang aljabar linear, dalam artian mereka berdua tidak dapat dibedakan dengan menggunakan sifat-sifat ruang vektor. Satu masalah penting dalam aljabar linear adalah menentukan apakah suatu peta linear bersifat isomorfik; dan jika tidak isomorfik, menentukan citra dan himpunan dari elemen-elemen yang dipetakan ke vektor nol, yang disebut sebagai kernel dari peta tersebut. Masalah-masalah ini dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss, atau variasinya.

Subruang, span, dan basis

Artikel utama: Subruang linear, Span (aljabar linear), dan Basis (aljabar linear)

Seperti banyak struktur matematika lainnya, mempelajari subset dari ruang vektor yang juga berupa ruang vektor akibat suatu operasi adalah hal yang penting. Subset ini disebut dengan subruang linear. Secara formal, suatu subruang linear dari ruang vektor V atas lapangan F adalah suatu subset W dari V yang memenuhi u + v dan au berada di dalam W, untuk setiap u, v di W, dan setiap a di F. (Definisi tersebut cukup untuk menyimpulkan bahwa W adalah suatu ruang vektor.) Sebagai contoh, untuk pemetaan linear ${\displaystyle T:V\to W}$, citra T(V) dari V, dan invers dari citra T^−1(0) dari 0 (dikenal sebagai kernel atau ruang nol), masing-masing adalah subruang linear dari W dan V.

Cara penting yang lain untuk membentuk suatu subruang adalah dengan menggunakan kombinasi linear vektor-vektor dari himpunan S. Cara ini menghasilkan himpunan berisi vektor-vektor dengan bentuk $${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k},}$$dengan v₁, v₂, ..., v_k berada di S, dan a₁, a₂, ..., a_k berada di F. Himpunan tersebut membentuk subruang linear yang disebut span dari S. Span dari S juga merupakan irisan dari semua subruang linear yang mengandung S. Dengan kata lain, span ini adalah subruang linear terkecil (pada relasi subset) yang mengandung S.

Suatu himpunan vektor dikatakan saling bebas linear jika tidak ada vektor yang berada di span vektor-vektor yang lain. Secara ekuivalen, suatu himpunan vektor-vektor S saling bebas linear jika satu-satunya cara menyatakan vektor nol sebagai kombinasi linear vektor-vektor di S adalah dengan memilih 0 untuk setiap koefien ${\displaystyle a_{i}.}$

Suatu himpunan vektor yang menjadi merentang (span) suatu ruang vektor disebut himpunan span. Jika himpunan span S bergantung linear (yakni tidak bebas linear), maka ada vektor w di S yang berada di span vektor-vektor S yang lain, dan span dari S tidak akan berubah walau w dibuang. Langkah membuang vektor ini dapat diulangi sampai semua elemen S bebas linear. Himpunan span yang saling bebas linear yang merentang suatu ruang vektor V disebut sebagai suatu basis bagi V. Basis memiliki keunikan karena ia adalah himpunan span dari V yang terkecil sekaligus himpunan terbesar yang mengandung vektor-vektor di V. Secara lebih formal, jika S adalah himpunan yang bebas linear, dan T adalah himpunan span dengan ${\displaystyle S\subseteq T,}$ maka ada suatu basis B sedemikian sehingga ${\displaystyle S\subseteq B\subseteq T.}$

Ruang vektor V dapat memiliki beberapa basis berbeda. Sembarang dua basis dari V memiliki kardinalitas yang sama, yang disebut sebagai dimensi dari V. Lebih lanjut, dua ruang vektor atas medan F yang sama saling isomorfik jika dan hanya jika kedua raung vektor tersebut memiliki dimensi yang sama.[7] Jika salah satu basis bagi V (dan akibatnya semua basis) memiliki banyak elemen yang berhingga, V disebut ruang vektor dimensi hingga. Jika U adalah subruang dari V, maka dim U ≤ dim V. Pada kasus ketika V berdimensi hingga, persamaan dari pernyataan tersebut terjadi ketika U = V.

Jika U₁ dan U₂ adalah subruang dari V, maka

${\displaystyle \dim(U_{1}+U_{2})=\dim U_{1}+\dim U_{2}-\dim(U_{1}\cap U_{2}),}$

dengan ${\displaystyle U_{1}+U_{2}}$ menyatakan span dari ${\displaystyle U_{1}\cup U_{2}.}$[8]

Matriks

Artikel utama: Matriks (matematika)

Matriks memungkinkan manipulasi ruang vektor berdimensi hingga dan peta linear secara eksplisit. Teori tentang matriks selanjutnya menjadi bagian penting dalam aljabar linear.

Misalkan V adalah ruang vektor berdimensi hingga atas medan F, dan (v₁, v₂, ..., v_m) menjadi basis bagi V (sehingga m adalah dimensi dari V). Dengan menggunakan definisi basis, pemetaan$${\displaystyle {\begin{aligned}(a_{1},\ldots ,a_{m})&\mapsto a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots a_{m}\mathbf {v} _{m}\\F^{m}&\to V\end{aligned}}}$$

adalah suatu bijeksi dari ${\displaystyle F^{m},}$ yakni himpunan berisi barisan m elemen yang diambil dari F, ke V. Ini adalah suatu isomorfisme ruang vektor, jika ${\displaystyle F^{m}}$ dilengkapi oleh struktur ruang vektor yang standarnya, yakni dengan operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar dilakukan komponen demi komponen. Isomorfisme ini memungkinan untuk merepresentasikan suatu vektor di V dengan menggunakan vektor koordinat ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{m})}$ atau dengan vektor$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{m}\end{bmatrix}}.}$$Selanjutnya, jika W adalah ruang vektor dimensi hingga yang lain (atau mungkin yang sama), dengan basis ${\displaystyle (\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}),}$ suatu peta linear f dari W ke V terdefinisi pasti (well defined) lewat nilai-nilai fungsi pada elemen-elemen basisnya, yakni ${\displaystyle (f(\mathbf {w} _{1}),\ldots ,f(\mathbf {w} _{n})).}$ Sehingga, jika$${\displaystyle f(\mathbf {w} _{j})=a_{1,j}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{m,j}\mathbf {v} _{m},}$$untuk j = 1, ..., n, maka f dapat dinyatakan sebagai matriks dengan m baris dan n kolom$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\end{bmatrix}}.}$$Perkalian matriks didefinisikan sedemikian sehingga hasil perkalian yang didapat merepresentasikan komposisi peta-peta linear dari matriks-matriks yang bersesuaian. Sedangkan perkalian matriks dengan vektor (matriks kolom) merepresentasikan hasil dari melakukan pemetaan linear kepada vektor tersebut. Dari diskusi ini disimpulkan bahwa teori ruang vektor berdimensi hingga dan teori matriks adalah dua bahasa berbeda untuk mengekspresikan satu konsep yang sama.

Dua matriks yang mewakili pemetaan linear yang sama tapi dalam basis yang berbeda disebut matriks yang serupa. Dapat ditunjukkan bahwa dua matriks serupa jika dan hanya jika satu matriks dapat diubah menjadi matriks yang lainnya hanya dengan melakukan operasi-operasi matriks elementer. Untuk suatu matriks yang mewakili pemetaan linear dari W ke V, operasi baris elementer berkorespodensi dengan perubahan basis di V sedangkan operasi kolom elementer berkorespodensi dengan perubahan basis di W. Setiap matriks serupa dengan matriks identitas dengan mungkin tambahan beberapa kolom nol dan/atau baris nol. Dalam bahasa ruang vektor, ini mengartikan untuk semua pemetaan linear dari W ke V, ada basis sehingga sebagian basis di W dipetakan secara bijektif menjadi bagian dari basis V, sedangkan sisa basis W yang lain, jika ada, akan dipetakan ke vektor nol. Eliminasi Gauss adalah algoritme dasar untuk menentukan operasi-operasi elementer yang diperlukan, dan membuktikan hasil-hasil pada diskusi ini.

Sistem linear

Artikel utama: Sistem persamaan linear

Sebuah himpunan hingga berisi persamaan-persamaan linear, masing-masing dengan terhingga banyaknya variabel, contohnya x₁, x₂, ..., x_n atau x, y, ..., z, disebut sebagai sistem persamaan linear atau sistem linear.[9][10][11][12][13]

Sistem linear membentuk bagian penting dalam aljabar linear. Dari sisi sejarah, aljabar linear dan teori matriks dikembangkan untuk menyelesaikan sistem tersebut. Dalam perkembangan modern saat ini, dimana aljabar linear dinyatakan lewat ruang vektor dan matriks, banyak masalah dinyatakan dalam bentuk sistem linear. Sebagai contoh, misalkan

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3\end{alignedat}}}$

(S)

adalah sistem linear yang menyatakan suatu masalah. Sistem linear tersebut dapat diasosiasikan dengan matriks$${\displaystyle M=\left[{\begin{array}{rrr}2&1&-1\\-3&-1&2\\-2&1&2\end{array}}\right]}$$yang berisi semua koefisien di ruas kiri, dan vektor $${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}8\\-11\\-3\end{bmatrix}}}$$yang berisi semua nilai di ruas kanan. Misalkan juga T adalah transformasi linear yang berasosiasi dengan matriks M. Sebuah solusi dari sistem (S) adalah vektor $${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}$$yang memenuhi

${\displaystyle T(\mathbf {X} )=\mathbf {v} ,}$

yakni sebuah elemen yang menjadi pracitra dari v oleh pemetaan T.

Misalkan (S′) adalah sistem homogen yang berasosiasi dengan (S), yakni sistem persamaan linear dengan semua nilai pada ruas kanan sama dengan nol:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&0\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&0\end{alignedat}}}$

(S′)

Himpunan solusi dari (S′) adalah elemen-elemen dari kernel T, atau secara ekuivalen, kernel dari M.

Solusi dari sistem linear dapat ditemukan dengan melakukan proses eliminasi Gauss-Jordan pada matriks gabungan $${\displaystyle \left[\!{\begin{array}{c|c}M&\mathbf {v} \end{array}}\!\right]=\left[{\begin{array}{rrr|r}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right].}$$ Pross eliminasi ini adalah serangkaian operasi baris dasar yang mengubah matriks ke dalam bentuk eselon baris tereduksi. Pada contoh ini, bentuk eselon baris tereduksi-nya adalah $${\displaystyle \left[\!{\begin{array}{c|c}M&\mathbf {v} \end{array}}\!\right]=\left[{\begin{array}{rrr|r}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right],}$$ menunjukkan bahwa sistem (S) memiliki solusi unik$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=2\\y&=3\\z&=-1.\end{aligned}}}$$Interpretasi matriks dari sistem linear juga dapat diterapkan untuk menyelesaikan operasi-operasi matriks dan transformasi linear lainnya, seperti menghitung rank, kernel, dan invers matriks.

Endomorfisme dan matriks persegi

Artikel utama: Matriks persegi

Sebuah endomorfisme linear adalah peta linear yang memetakan suatu ruang vektor V ke dirinya sendiri. Jika V memiliki basis berisi n elemen, endomorfisme tersebut dapat dinyatakan oleh sebuah matriks persegi berukuran ${\displaystyle n\times n}$. Berhubungan dengan pemetaan linear secara umum, endomorfisme linear dan matriks persegi memiliki beberapa sifat khusus yang membuat mereka memainkan peran penting dalam aljabar linear.

Determinan

Artikel utama: Determinan

Determinan dari suatu matriks persegi A didefinisikan sebagai[14]

${\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{n}}(-1)^{\sigma }a_{1\sigma (1)}\cdots a_{n\sigma (n)},}$

dengan S_n adalah grup dari semua permutasi n elemen, σ adalah sebuah permutasi, dan (−1)^σ adalah paritas dari permutasi. Sebuah matriks disebut terbalikkan (invertible) jika dan hanya jika nilai determinannya dapat dibalik (diinvers), dengan kata lain, nilainya tidak sama dengan nol.

Kaidah Cramer adalah rumus yang dinyatakan dalam bentuk determinan, dan dapat digunakan untuk mencari solusi sistem linear dengan n persamaan dan n variabel. Kaidah Cramer berguna untuk menjelaskan solusi yang ditemukan, namun kecuali untuk n = 2 atau 3, kaidah tersebut jarang digunakan untuk mencari solusi. Algoritma yang lebih cepat untuk mencari solusi adalah eliminasi Gauss.

Nilai eigen dan vektor eigen

Artikel utama: Nilai dan vektor eigen

Jika f adalah endomorfisme linear dari suatu ruang vektor V atas suatu medan F, vektor eigen dari f adalah vektor tak-nol v di V sedemikian sehingga f(v) = av untuk suatu skalar a di F. Skalar a ini disebut sebagai nilai eigen dari f.

Jika dimensi dari V hingga, dan sebuah basis telah dipilih, f dan v dapat direpresentasikan masing-masing oleh sebuah matriks persegi M dan sebuah matriks kolom z; Persamaan yang mendefinisikan vektor eigen dan nilai eigen selanjutnya dapat ditulis ulang sebagai ${\displaystyle Mz=az.}$

Menggunakan matriks identitas I, matriks dengan semua elemen pada diagonal utama bernilai 1 dan semua elemen lainnya bernilai 0, persamaan tersebut dapat ditulis sebagai ${\displaystyle (M-aI)z=0.}$

Karena z bukan vektor nol, ekspresi M – aI menyatakan suatu matriks singular yang nilai determinannya, det (M − aI), sama dengan nol.

Catatan

1. Aksioma ini tidak mengartikan sifat asosiatif dari suatu operasi, karena ada dua operasi yang terjadi: perkalian skalar bv; dan perkalian pada medan ab.

Referensi

1. Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics, Texts in Statistical Science (edisi ke-1st), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388 
2. Strang, Gilbert (July 19, 2005), Linear Algebra and Its Applications (edisi ke-4th), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8 
3. Weisstein, Eric. "Linear Algebra". From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram. Diakses tanggal 16 April 2012. 
4. Hart, Roger (2010). The Chinese Roots of Linear Algebra. JHU Press. ISBN 9780801899584. 
5. Vitulli, Marie. "A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory". Department of Mathematics. University of Oregon. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2012-09-10. Diakses tanggal 2014-07-08. 
6. (Roman 2005, ch. 1, p. 27)
7. Axler (2015) p. 82, §3.59
8. Axler (2015) p. 23, §1.45
9. (Anton 1987, hlm. 2)
10. (Beauregard & Fraleigh 1973, hlm. 65)
11. (Burden & Faires 1993, hlm. 324)
12. (Golub & Van Loan 1996, hlm. 87)
13. (Harper 1976, hlm. 57)
14. (Katznelson & Katznelson 2008) pp. 76–77, § 4.4.1–4.4.6

Daftar pustaka

• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (edisi ke-5th), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0 
• Axler, Sheldon (2015), Linear Algebra Done Right, Undergraduate Texts in Mathematics (edisi ke-3rd), Springer Publishing, ISBN 978-3-319-11079-0 
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X 
• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (1993), Numerical Analysis (edisi ke-5th), Boston: Prindle, Weber and Schmidt, ISBN 0-534-93219-3 
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations, Johns Hopkins Studies in Mathematical Sciences (edisi ke-3rd), Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-5414-9 
• Halmos, Paul Richard (1974), Finite-Dimensional Vector Spaces, Undergraduate Texts in Mathematics (edisi ke-1958 2nd), Springer Publishing, ISBN 0-387-90093-4, OCLC 1251216 
• Harper, Charlie (1976), Introduction to Mathematical Physics, New Jersey: Prentice-Hall, ISBN 0-13-487538-9 
• Katznelson, Yitzhak; Katznelson, Yonatan R. (2008), A (Terse) Introduction to Linear Algebra, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4419-9 
• Roman, Steven (March 22, 2005), Advanced Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics (edisi ke-2nd), Springer, ISBN 978-0-387-24766-3