Operasi biner

Dalam matematika, operasi biner atau operasi diadik adalah kalkulasi yang menggabungkan dua elemen (disebut operan) untuk menghasilkan elemen lain. Lebih formal, operasi biner adalah operasi dari aritas.

Lebih khusus lagi, operasi biner dengan himpunan adalah operasi yang dua domain dan kodomain adalah himpunan yang sama. Contohnya termasuk operasi aritmetika dari penambahan, pengurangan, perkalian. Contoh lain ditemukan di berbagai bidang matematika, seperti penjumlahan vektor, perkalian matriks dan konjugasi dalam grup.

Operasi aritas yang melibatkan beberapa himpunan terkadang disebut operasi biner. Misalnya, perkalian skalar dari ruang vektor denagn skalar dan vektor untuk menghasilkan vektor, dan produk skalar dengan dua vektor untuk menghasilkan skalar. Operasi biner tersebut hanya fungsi biner.

Operasi biner adalah batu kunci dari sebagian besar struktur aljabar, yang dipelajari di aljabar, khususnya di semigrup, monoid, grup, gelanggang, bidang, dan ruang vektor.

Terminologi

Lebih jelasnya, sebuah operasi biner pada himpunan S adalah pemetaan yang memetakan unsur-unsur dari hasil kali Cartesian S × S untuk S:^[1]^[2]^[3]

Karena hasil dari operasi pada sepasang elemen dari S adalah unsur S, operasi ini disebut operasi biner tertutup pada S (atau kadang-kadang dikatakan memiliki sifat ketertutupan).^[4] Jika f bukan fungsi, tetapi merupakan fungsi parsial, hal ini disebut operasi biner parsial. Misalnya, pembagian bilangan real adalah operasi biner parsial karena tidak bisa membagi dengan nol: a/0 tidak didefinisikan untuk setiap bilangan real a. Namun perlu dicatat bahwa di aljabar dan teori model kedua operasi biner tersebut dianggap didefinisikan pada semua S × S.

Kadang-kadang, terutama dalam sains komputer, istilah ini digunakan untuk setiap fungsi biner.

Operasi biner adalah dasar dari struktur aljabar yang dipelajari dalam aljabar abstrak: mereka sangat penting dalam definisi grup, monoid, semigrup, gelanggang, dan banyak lagi. Paling umumnya, magma adalah satu set bersama dengan operasi biner yang didefinisikan di dalamnya.

Sifat dan contoh

Contoh yang khas dari operasi biner adalah penjumlahan (+) dan perkalian (×) dari bilangan dan matrik serta komposisi fungsi pada satu set. Misalnya,

Pada himpunan bilangan real R, f(a, b) = a + b adalah operasi biner karena jumlah dari dua bilangan real adalah bilangan real.
Pada himpunan bilangan asli N, f(a, b) = a + b adalah operasi biner karena jumlah dari dua bilangan asli adalah bilangan asli. Ini adalah operasi biner yang berbeda dari yang sebelumnya karena himpunan yang berbeda.
Pada himpunan M(2,2), matriks 2 × 2 dengan entri-entri bilangan real, f(A, B) = A + B adalah operasi biner karena jumlah dari dua matriks tersebut adalah matriks 2 × 2 .
Pada himpunan M(2,2), matriks 2 × 2 dengan entri-entri bilangan real, f(A, B) = AB adalah operasi biner karena produk dari kedua matriks tersebut adalah matriks 2 × 2 .
Untuk himpunan C, misalkan S adalah himpunan semua fungsi h: C → C. Definisikan f: S × S → S dengan f(h₁, h₂)(c) = h₁ ∘ h₂ (c) = h₁(h₂(c)) untuk semua c ∈ C, komposisi dari dua fungsi h₁ dan h₂ di S. Maka f adalah operasi biner karena komposisi dari dua fungsi adalah fungsi lain pada set C (artinya, anggota dari S).

Banyak operasi biner baik di aljabar ataupun logika formal bersifat komutatif, yaitu memenuhi f(a, b) = f(b, a) untuk semua elemen-elemen a dan b di S, atau asosiatif, yaitu memenuhi f(f(a, b), c) = f(a, f(b, c)) untuk semua a, b dan c di S. Banyak juga yang memiliki elemen identitas dan elemen invers.

Tiga contoh pertama di atas adalah komutatif dan semua contoh di atas adalah asosiatif.

Pada himpunan bilangan real R, pengurangan, yaitu, f(a, b) = a − b, adalah operasi biner yang tidak komutatif karena, secara umum, a − b ≠ b − a. operasi tersebut juga tidak asosiatif, karena, secara umum, a − (b − c) ≠ (a − b) − c; misalnya, 1 − (2 − 3) = 2 tapi (1 − 2) − 3 = −4.

Pada himpunan bilangan asli N, operasi biner eksponensial, f(a,b) = a^b, tidak komutatif karena, secara umum, a^b ≠ b^a dan juga tidak asosiatif karena f(f(a, b), c) ≠ f(a, f(b, c)). Misalnya, dengan memilih a = 2, b = 3 dan c = 2, f(2³,2) = f(8,2) = 64, tetapi f(2,3²) = f(2,9) = 512. Dengan mengganti himpunan N menjadi himpunan bilangan bulat Z, operasi biner ini menjadi operasi biner parsial karena sekarang operasi tersebut tidak terdefinisi apabila a = 0 dan b adalah sembarang bilangan bulat negatif. Pada himpunan N dan Z, operasi ini memiliki identitas kanan (yaitu 1) karena f(a, 1) = a untuk semua a dalam dalam himpunan tersebut, tapi 1 bukan merupakan identitas (identitas kiri dan kanan) karena f(1, b) ≠ b pada umumnya.

Pembagian (/), sebuah operasi biner parsial pada himpunan bilangan real atau bilangan rasional, tidak komutatif atau asosiatif. Tetration (↑↑), sebagai operasi biner pada bilangan asli tidak komutatif atau asosiatif dan tidak memiliki elemen identitas.

Notasi

Operasi biner yang sering ditulis dengan menggunakan notasi infix seperti a ∗ b, a + b, a · b atau (oleh penjajaran dengan tidak ada simbol) ab dibanding dengan notasi fungsional dengan bentuk f(a, b). Pangkat biasanya juga ditulis tanpa operator, tapi dengan argumen kedua sebagai superscript.

Operasi biner kadang-kadang menggunakan prefix atau (mungkin lebih sering) notasi postfix, yang keduanya dipisahkan dengan tanda kurung. notasi itu juga disebut, masing-masing, notasi polandia dan reverse Polish notation.

Pasangan dan pasangan terurut

Sebuah operasi biner, ab, tergantung pada pasangan terurut (a, b) sehingga (ab)c (di mana kurung di sini berarti operasi pertama dilakukan pada pasangan (a, b) dan kemudian operasi selanjutnya pada hasil sebelumnya menggunakan pasangan ((ab), c)) tergantung secara umum pada pasangan ((a, b), c). Dengan demikian, secara umum, kasus non-asosiatif, operasi biner dapat direpresentasikan dengan pohon biner.

Namun:

Jika operasi asosiatif, (ab)c = a(bc), maka nilai dari (ab)c tergantung hanya pada pasangan terurut (a, b, c).
Jika operasi komutatif, ab = ba, maka nilai dari (ab)c tergantung hanya pada { {a, b}, c}, di mana tanda kurung menunjukkan multiset.
Jika operasi asosiatif dan komutatif, maka nilai dari (ab)c tergantung hanya pada multiset {a, b, c}.
Jika operasi asosiatif, komutatif dan idempotent, yaitu aa = a, maka nilai dari (ab)c tergantung hanya pada himpunan {a, b, c}.

Operasi biner sebagai relasi terner

Sebuah operasi biner f pada himpunan S dapat dilihat sebagai relasi terner di S, yaitu himpunan dari tiga pasangan (a, b, f(a,b)) di S × S × S untuk semua a dan b di S.

Operasi biner eksternal

Sebuah operasi biner eksternal adalahfungsi biner dari K × S ke S. Ini berbeda dari operasi biner dalam arti K tidak perlu menjadi S; unsur-unsurnya datang dari luar.

Contoh operasi biner eksternal adalah perkalian skalar dalam aljabar linear. Di sini K adalah suatu lapangan dan S adalah ruang vektor atas lapangan itu.

Sebuah operasi biner eksternal dapat juga dipandang sebagai suatu aksi; K beraksi pada S.

Perhatikan bahwa hasil kali titik dari dua vektor bukan operasi biner, eksternal atau sebaliknya, karena operasi tersebut memetakan S× S ke K, di mana K adalah sebuah lapangan dan S adalah ruang vektor atas K.

Lihat pula

Catatan

^ Rotman 1973, pg. 1
^ Hardy & Walker 2002, pg. 176, Definition 67
^ Fraleigh 1976, pg. 10
^ Hall 1959, pg. 1

Referensi

Fraleigh, John B. (1976), A First Course in Abstract Algebra (edisi ke-2nd), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
Hall, Jr., Marshall (1959), The Theory of Groups, New York: Macmillan
Hardy, Darel W.; Walker, Carol L. (2003), Applied Algebra: Codes, Ciphers and Discrete Algorithms, Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, ISBN 0-13-067464-8
Rotman, Joseph J. (1973), The Theory of Groups: An Introduction (edisi ke-2nd), Boston: Allyn and Bacon