Geometri diferensial

Geometri diferensial adalah sebuah disiplin matematika yang menggunakan teknik-teknik kalkulus diferensial dan kalkulus integral, juga aljabar linear dan aljabar multilinear, hingga masalah-masalah kajian dalam geometri. Teori kurva ruang dan bidang dalam ruang euklides tiga dimensi membentuk basis untuk pengembangan geometri diferensial pada abad ke-18 dan abad ke-19. Sejak akhir abad ke-19, geometri diferensial telah berkembang menjadi sebuah lapangan yang memperhatikan secara lebih umum dengan struktur geometri pada lipatan terdiferensialkan. Geometri diferensial berhubungan dekat dengan topologi diferensial, dan dengan aspek-aspek geometri pada teori persamaan diferensial. Geometri diferensial permukaan menangkap banyak gagasan penting dan karakteristik teknik pada lapangan ini.

bagian ini kemungkinan berisi sintesis dari materi yang tidak disebutkan secara pasti atau berkaitan dengan topik utama. Diskusi terkait dapat dibaca pada the halaman pembicaraan. (Pelajari cara dan kapan saatnya untuk menghapus pesan templat ini)

Geometri diferensial muncul dan berkembang sebagai hasil dari dan sehubungan dengan analisis matematis kurva dan permukaan.^[1] Analisis matematis dari kurva dan permukaan telah dikembangkan untuk menjawab beberapa pertanyaan yang mengganggu dan tak terjawab yang muncul di kalkulus, seperti alasan hubungan antara bentuk dan kurva kompleks, deret dan fungsi analitik. Pertanyaan yang belum terjawab ini menunjukkan hubungan yang lebih besar dan tersembunyi.

Ide umum persamaan natural untuk mendapatkan kurva dari kelengkungan lokal tampaknya pertama kali dipertimbangkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1736, dan banyak contoh dengan perilaku yang cukup sederhana dipelajari pada tahun 1800.^[2]

Ketika kurva, permukaan yang dikelilingi oleh kurva, dan titik pada kurva ditemukan secara kuantitatif, dan umumnya, terkait dengan bentuk matematika, studi formal tentang sifat kurva dan permukaan menjadi bidang studi tersendiri, dengan makalah Monge pada tahun 1795, dan terutama, dengan publikasi artikelnya oleh Gauss, berjudul 'Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas', di Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores tahun 1827.^[3]

Awalnya diterapkan ke ruang Euclidean, eksplorasi lebih lanjut mengarah ke ruang non-Euclidean, dan ruang metrik dan topologi..

Geometri Riemannian mengkaji lipatan Riemannian, lipatan mulus dengan metrik Riemannian. Ini adalah sebuah konsep tentang jarak yang disajikan dalam artian bentuk bilinear simetris definit positif mulus yang terdefinisi pada ruang tangen pada tiap-tiap titik. Geometri Riemannian memperumum geometri euklides kepada ruang-ruang yang tidak harus datar/rata (flat), meskipun mereka masih menyerupai ruang euklides pada tiap-tiap titik secara infinitesimal, yaitu dalam hampiran orde satu. Berbagai konsep yang didasarkan pada panjang, seperti panjang lengkungan suatu kurva, luas suatu bidang, dan volume suatu padatan; semuanya memiliki analogi natural dalam geometri Riemannian. Gagasan tentang turunan berarah suatu fungsi dari kalkulus peubah banyak diperluas dalam geometri Riemannian menjadi gagasan turunan kovarian suatu tensor. Ada banyak konsep dan teknik analisis dan persamaan diferensial yang telah diperumum untuk berurusan dengan lipatan Riemannian.

Difeomorfisma yang mengawetkan jarak antara lipatan-lipatan Riemannian disebut isometri. Gagasan ini dapat pula didefinisikan secara lokal, yaitu untuk lingkungan titik-titik yang kecil. Dua kurva beraturan sembarang adalah isometris secara lokal. Tetapi, Theorema Egregium yang diajukan Carl Friedrich Gauss menunjukkan bahwa untuk permukaan, keujudan suatu isometri lokal memaksakan kondisi-kondisi kompatibilitas yang kuat pada metrik-metrik mereka: kurvatur Gaussian pada titik-titik yang bersesuaian pastilah sama. Dalam dimensi yang lebih tinggi, tensor kurvatur Riemann adalah suatu invarian titik-demi-titik yang penting yang berasosiasi dengan lipatan Riemannian yang mengukur seberapa dekat ia untuk dikatakan datar/rata. Sebuah kelas penting lipatan Riemannian adalah ruang simetris Riemannian, yang kurvaturnya tidak harus konstan. Hal ini adalah analog terdekat dengan bidang dan ruang "biasa" yang diperhatikan dalam geometri euklides dan non-euklides.

Geometri Riemannian semu memperumum geometri Riemannian kepada kasus di mana tensor metrik tidak harus definit positif. Sebuah kasus khusus hal ini adalah "Lipatan Lorentzian", yakni basis matematika untuk teori relativitas umum tentang gravitasi-nya Einstein.

Geometri Finsler memiliki Lipatan Finsler sebagai objek kajian utama. Ini adalah lipatan diferensial dengan suatu metrik Finsler, yaitu norma Banach yang terdefinisi pada tiap-tiap ruang tangen. Metrik Finsler adalah struktur yang jauh lebih umum daripada metrik Riemannian. Struktur Finsler pada suatu lipatan M adalah fungsi F: TM → [0,∞) sedemikian sehingga:

1. F(x, my) = |m|F(x,y) untuk setiap x, y pada TM,
2. F adalah terdiferensialkan secara tak-hingga pada TM − {0},
3. Hessian vertikal dari F² adalah definit positif.

Geometri simplektis adalah kajian tentang lipatan simplektis. Lipatan yang hampir simplektis adalah lipatan terdiferensialkan yang diperlengkapi dengan bentuk bilinear matriks asimetris non-degenerat bervariasi mulus pada tiap-tiap ruang tangen, yaitu bentuk-2 ω non-degenerat, yang disebut bentuk simplektis. Lipatan simplektis adalah lipatan yang hampir simplektis di mana bentuk simplektis ω adalah tertutup: dω = 0.

Difeomorfisma antara dua lipatan simplektis yang mengawetkan bentuk symplektis disebut simplektomorfisma. Bentuk bilinear asimetris non-degenerat hanya dapat ujud pada ruang vektor berdimensi genap, sehingga lipatan simplektis haruslah berdimensi genap. Dalam dimensi 2, lipatan simplektis hanyalah permukaan yang disertai dengan sebentuk luasan, dan simplektomorfisma adalah difeomorfisma yang mengawetkan luas. Ruang fasa suatu sistem mekanik adalah lipatan simplektis dan mereka hadir secara tersirat dalam karya Joseph Louis Lagrange tentang mekanika analitik dan kemudian dalam mekanika Hamiltonian karya Carl Gustav Jacobi dan William Rowan Hamilton.

Berbeda dengan geometri Riemannian, di mana kurvatur menyediakan invarian lokal dari lipatan Riemannian, teorema Darboux menyatakan bahwa semua lipatan simplektis adalah isomorfik secara lokal. Invarian-invarian suatu lipatan simplektis adalah global pada sifatnya dan aspek-aspek topologi menainkan peran yang penting dalam geometri simplektis. Hasil pertama dalam topologi simplektis adalah (barangkali) teorema Poincaré-Birkhoff, yang diperdugakan oleh Henri Poincaré dan kemudian dibuktikan oleh G.D. Birkhoff pada tahun 1912. Teorema ini mendaku bahwa jika suatu luasan yang mengawetkan peta dari suatu anulus melilit tiap-tiap komponen perbatasan dalam arah yang bertentangan, maka peta tersebut memiliki paling sedikit dua titik tetap.^[4]

Geometri kontak berurusan dengan lipatan tertentu yang berdimensi ganjil. Geometri kontak ini dekat dengan geometri simplektis dan seperti yang belakangan, geometri kontak mulai dipertanyakan dalam mekanika klasik. Suatu struktur kontak pada lipatan M berdimensi (2n+1) diberikan oleh sebuah lapangan bidang-hiper mulus H dalam bundel tangen, yakni sejauh mungkin berasosiasi dengan himpunan level fungsi terdiferensialkan pada M (istilah teknisnya adalah "distribusi bidang-hiper tak-terintegralkan lengkap "). Di dekat titik p, distribusi bidang-hiper ditentukan oleh bentuk-1 yang tidak menghilang di manapun ${\displaystyle \alpha }$, yang unik terhadap perkalian oleh sebuah fungsi yang tidak menghilang di manapun:

${\displaystyle H_{p}=\ker \alpha _{p}\subset T_{p}M.}$

Bentuk-1 lokal pada M adalah bentuk kontak jika batasan turunan eksterior terhadap H adalah bentuk-dua non-degenerat dan dengan demikian menginduksi struktur simplektis pada H_p di tiap-tiap titik. Jika distribusi H dapat didefinisikan oleh bentuk-satu global ${\displaystyle \alpha }$, maka bentuk ini adalah kontak jika dan hanya jika bentuk berdimensi-puncak

${\displaystyle \alpha \wedge (d\alpha )^{n}}$

adalah sebuah bentuk volume pada M, yaitu tidak menghilang di manapun. Sebuah analog kontak dari teorema Darboux menyatakan: semua struktur kontak pada lipatan berdimensi-ganjil adalah isomorfik secara lokal dan dapat dibawa ke bentuk normal lokal tertentu oleh suatu sistem koordinat terpilih yang sesuai.

Geometri diferensial kompleks adalah kajian lipatan kompleks. Suatu lipatan hampir kompleks adalah lipatan real ${\displaystyle M}$, yang diperlengkapi dengan tensor berjenis (1, 1), yaitu endomorfisma bundel vektor (disebut struktur hampir kompleks)

${\displaystyle J:TM\rightarrow TM}$, sedemikian sehingga ${\displaystyle J^{2}=-1.\,}$

Berdasarkan definisi berikut ini, suatu lipatan hampir kompleks adalah berdimensi genap.

Lipatan hampir kompleks dikatakan kompleks jika ${\displaystyle N_{J}=0}$, di mana ${\displaystyle N_{J}}$ adalah tensor berjenis (2, 1) yang berhubungan dengan ${\displaystyle J}$, yang disebut tensor Nijenhuis (atau kadang-kadang torsi). Lipatan hampir kompleks adalah kompleks jika dan hanya jika ia mengizinkan koordinat atlas holomorfik. Struktur hampir Hermitian diberikan oleh struktur hampir kompleks J, bersama-sama dengan metrik Riemannian g, memenuhi syarat kompatibilitas

${\displaystyle g(JX,JY)=g(X,Y)\,}$.

Struktur hampir Hermitian mendefinisikan secara natural suatu bentuk-dua diferensial

${\displaystyle \omega _{J,g}(X,Y):=g(JX,Y)\,}$.

Dua syarat berikut ini adalah ekivalen:

1. ${\displaystyle N_{J}=0{\mbox{ and }}d\omega =0\,}$
2. ${\displaystyle \nabla J=0\,}$

di mana ${\displaystyle \nabla }$ adalah koneksi Levi-Civita dari ${\displaystyle g}$. Dalam kasus ini, ${\displaystyle (J,g)}$ disebut struktur Kähler, dan lipatan Kähler adalah lipatan yang diperlengkapi dengan struktur Kähler. Secara khusus, lipatan Kähler adalah lipatan simplektis dan kompleks. Kelas yang lebih besar dari lipatan Kähler (kelas lipatan Hodge) diberikan oleh semua varietas projektif kompleks mulus.

Geometri CR adalah kajian geometri intrinsik dari batas-batas domain di dalam lipatan kompleks.

Topologi diferensial adalah kajian invarian geometris (global) tanpa bentuk metrik atau simplektis. Topologi diferensial bermula dari operasi-operasi natural, seperti turunan Lie dari bundel vektor natural dan diferensial de Rham dari bentuk diferensial. Selain algebroid Lie, juga algebroid Courant mulai memainkan peran yang lebih penting.

Grup Lie adalah grup di dalam kategori lipatan mulus. Di samping sifat-sifat aljabar, grup Lie juga memanfaatkan sifat-sifat geometri diferensial. Konstruksi yang paling jelas adalah bahwa aljabar Lie yakni ruang tangen pada unit yang diperlengkapi dengan kurung Lie di antara lapangan-lapangan vektor invarian-kiri. Di samping teori struktur, terdapat juga lapangan luas teori representasi.

Aparatus bundel vektor, bundel utama, dan koneksi pada berkas memainkan peran yang luar biasa penting dalam geometri diferensial modern. Lipatan halus selalu membawa bundel vektor alami, bundel tangen. Secara longgar, struktur ini dengan sendirinya cukup hanya untuk mengembangkan analisis pada manifold, saat melakukan geometri membutuhkan, sebagai tambahan, beberapa cara untuk menghubungkan ruang singgung pada titik yang berbeda, yaitu pengertian transportasi paralel. Contoh penting diberikan oleh affine connection. Untuk permukaan pada R³, bidang singgung di berbagai titik dapat diidentifikasi menggunakan paralelisme jalur-bijaksana alami yang disebabkan oleh ruang Euclidean ambien, yang memiliki definisi standar metrik dan paralelisme yang terkenal. Dalam geometri Riemannian, hubungan Levi-Civita memiliki tujuan yang sama. (Sambungan Levi-Civita mendefinisikan paralelisme jalur-bijaksana dalam hal metrik Riemannian sewenang-wenang tertentu pada). Lebih umum, geometer diferensial mempertimbangkan ruang dengan bundel vektor dan koneksi affine sewenang-wenang yang tidak didefinisikan dalam istilah metrik. Dalam fisika, manifoldnya mungkin kontinum ruang-waktu dan bundel serta koneksi terkait dengan berbagai bidang fisik.

• Wolfgang Kühnel (2002). Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds (edisi ke-2nd ed.). ISBN 0-8218-3988-8. Pemeliharaan CS1: Teks tambahan (link)
• Theodore Frankel (2004). The geometry of physics: an introduction (edisi ke-2nd ed.). ISBN 0-521-53927-7. Pemeliharaan CS1: Teks tambahan (link)
• Spivak, Michael (1999). A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (5 Volumes) (edisi ke-3rd Edition). Pemeliharaan CS1: Teks tambahan (link)
• do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces. ISBN 0-13-212589-7.  Classical geometric approach to differential geometry without tensor analysis.
• Kreyszig, Erwin (1991). Differential Geometry. ISBN 0-486-66721-9.  Good classical geometric approach to differential geometry with tensor machinery.
• do Carmo, Manfredo Perdigao (1994). Riemannian Geometry. Diterjemahkan oleh Francis Flaherty. 
• McCleary, John (1994). Geometry from a Differentiable Viewpoint. 
• Bloch, Ethan D. (1996). A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry. 
• Gray, Alfred (1998). Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica (edisi ke-2nd ed.). Pemeliharaan CS1: Teks tambahan (link)
• Burke, William L. (1985). Applied Differential Geometry. 
• ter Haar Romeny, Bart M. (2003). Front-End Vision and Multi-Scale Image Analysis. ISBN 1-4020-1507-0. 

• B. Conrad. Differential Geometry handouts, Stanford University Diarsipkan 2014-10-09 di Wayback Machine.
• Michael Murray's online differential geometry course, 1996 Diarsipkan 2013-08-01 di Wayback Machine.
• A Modern Course on Curves and Surface, Richard S Palais, 2003 Diarsipkan 2019-04-09 di Wayback Machine.
• Richard Palais's 3DXM Surfaces Gallery Diarsipkan 2019-04-09 di Wayback Machine.
• Balázs Csikós's Notes on Differential Geometry Diarsipkan 2009-06-05 di Wayback Machine.
• N. J. Hicks, Notes on Differential Geometry, Van Nostrand. Diarsipkan 2009-03-26 di Wayback Machine.
• MIT OpenCourseWare: Differential Geometry, Fall 2008 Diarsipkan 2014-05-02 di Wayback Machine.