Rank (aljabar linear)

Dalam aljabar linear, peringkat atau rank dari suatu matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ adalah dimensi dari ruang vektor yang dibangun oleh kolom-kolom matriks tersebut.[1][2][3] Hal ini berhubungan dengan banyak maksimal jumlah kolom matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ yang saling bebas linear. Terdapat beberapa definisi alternatif untuk peringkat. Peringkat adalah salah satu karakteristik hakiki dari suatu matriks.

Peringkat umumnya dinyatakan sebagai ${\displaystyle {\text{rank}}(\mathbf {A} )}$ atau ${\displaystyle {\text{rk}}(\mathbf {A} )}$;[2] terkadang tanda kurung tidak digunakan, seperti pada notasi ${\displaystyle {\text{rank}}\,\mathbf {A} }$.[i]

Definisi

Berikut adalah salah satu dari banyak definisi altenatif peringkat dari suatu matriks; lihat bagian "Definisi alternatif" untuk beberapa contoh lainnya/

Peringkat kolom (column rank) dari matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ adalah dimensi dari ruang kolom matriks tersebut, sedangkan peringkat baris (row rank) dari matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ adalah dimensi dari ruang baris matriks tersebut. Teorema fundamental dalam aljabar linear menyatakan besar peringkat kolom dan besar peringkat baris selalu sama; dua bukti untuk teorema ini diberikan pada bagian dibawah. Besar peringkat ini, baik peringkat kolom maupun peringkat baris, selanjutnya cukup disebut dengan peringkat dari ${\displaystyle \mathbf {A} }$. Sebuah matriks berukuran ${\displaystyle m\times n}$ dikatakan memiliki peringkat penuh (full rank) bila besar peringkatnya sama dengan peringkat terbesar yang mungkin dari sembarang matriks berukuran ${\displaystyle m\times n}$; yakni sama dengan ${\displaystyle \min(m,\,n)}$.

Peringkat dari sebuah peta linear atau sebuah operator ${\displaystyle \Phi }$, didefinisikan sebagai dimensi dari citranya:[4][5][6][7]$${\displaystyle \operatorname {rank} (\Phi ):=\dim(\operatorname {img} (\Phi ))}$$dengan ${\displaystyle \dim }$ menyatakan dimensi dari sebuah ruang vektor, dan ${\displaystyle \operatorname {img} }$ adalah citra (image) dari sebuah pemetaan.

Contoh

Matriks$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&1\\-2&-3&1\\3&3&0\end{bmatrix}}}$$memiliki besar peringkat 2. Hal ini didapatkan dengan mengamati bahwa dua kolom pertama matriks tersebut saling bebas linear, sehingga besar peringkat dari matriks setidaknya sama dengan 2. Tapi karena kolom ketiga adalah kombinasi linear dari dua kolom pertama (yakni kolom kedua dikurang kolom pertama), maka ketiga kolom (dan sebagai akibatnya, matriks) saling bergantung linear, sehingga peringkat dari matriks harus kurang dari 3.

Contoh lain adalah matriks$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&1&0&2\\-1&-1&0&-2\end{bmatrix}}}$$yang memiliki peringkat 1. Dalam kasus ini, matriks memiliki kolom yang tak-nol, sehingga besar peringkat lebih besar dari nol. Tapi setiap pasangan kolom-kolom saling bergantung linear, mengakibatkan peringkat matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ haruslah kurang dari 2. Serupa dengan itu, transpos matriks ini,

$${\displaystyle A^{\mathsf {T}}={\begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\\0&0\\2&-2\end{bmatrix}}}$$juga memiliki peringkat 1. Karena vektor-vektor kolom dari matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ adalah vektor-vektor baris dari matriks ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}}$, pernyataan peringkat kolom dari sebuah matriks sama dengan peringkat baris matriks tersebut, akan sama dengan pernyataan peringkat sebuah matriks sama dengan peringkat dari transpos matriks itu; dengan kata lain, ${\displaystyle {\text{rank}}(\mathbf {A} )={\text{rank}}(\mathbf {A} ^{\textsf {T}})}$.

Menghitung peringkat dari sebuah matriks

Peringkat dari bentuk eselon baris

Artikel utama: Eliminasi Gauss

Salah satu cara yang umum untuk menentukan peringkat adalah mengubah matriks menjadi bentuk yang lebih sederhana; umumnya bentuk eselon baris, dengan menggunakan operasi baris elementer. Operasi-operasi baris tidak mengubah ruang baris (sehingga tidak mengubah peringkat baris) dan bersifat invertibel (sehingga tidak mengubah peringkat kolom karena memetakan ruang kolom ke ruang lain yang isomorfik). Setelah matriks dalam bentuk eselon baris, besar peringkatnya sama dengan banyaknya baris tak-nol.

Sebagai contoh, matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ yang didefinisikan sebagai$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}}}$$dapat disusun menjadi bentuk eselon baris [tereduksi] dengan menerapkan operasi-operasi baris berikut:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}}&\xrightarrow {2R_{1}+R_{2}\to R_{2}} {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\3&5&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {-3R_{1}+R_{3}\to R_{3}} {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&-1&-3\end{bmatrix}}\\&\xrightarrow {R_{2}+R_{3}\to R_{3}} \,\,{\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {-2R_{2}+R_{1}\to R_{1}} {\begin{bmatrix}1&0&-5\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}}~.\end{aligned}}}$$Matriks terakhir yang dihasilkan memiliki dua baris tak-nol, sehingga peringkat dari matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ adalah 2.

Komputasi

Hasil perhitungan peringkat dengan eliminasi Gauss (dekomposisi LU) untuk komputasi floating point pada komputer umumnya tidak dapat andalkan. Dalam kasus ini, alternatif dekomposisi yang memberikan informasi mengenai peringkat matriks lebih banyak digunakan. Salah satu alternatif yang efektif adalah dengan menggunakan dekomposisi nilai singular (singular value decomposition, SVD). Alternatif lain yang tidak mahal (secara komputasi) adalah dekomposisi QR dengan pivot, yang masih jauh lebih baik secara numerik ketimbang eliminasi Gauss. Penentuan besar peringkat memerlukan kriteria kapan sebuah nilai, sebagai contoh nilai singular pada SVD, dapat dianggap sama dengan 0. Kriteria ini bergantung pada jenis matriks dan tujuan yang ingin dilakukan.

Penerapan

Salah satu penerapan perhitungan peringkat sebuah matriks adalah untuk menentukan banyaknya solusi sistem persamaan linear. Berdasarkan teorema Rouché–Capelli, sistem tidak konsisten jika peringkat dari matriks gabungan (augmented matrix) lebih besar dari peringkat matriks koefisien. Di sisi lain, jika peringkat kedua matriks tersebut sama, maka sistem setidaknya memiliki satu solusi. Solusi yang unik terjadi jika dan hanya jika besar peringkat sama dengan banyaknya variabel pada sistem. Selain kasus-kasus itu, sistem akan memiliki k parameter bebas, dengan k adalah selisih antara banyak variabel dan besar peringkat. Dalam kasus ini (dan mengasumsikan sistem persamaan ada atas bilangan real atau bilangan kompleks) sistem persamaan akan memiliki tak hingga banyaknya solusi.

Dalam teori kontrol, peringkat dari matriks dapat digunakan untuk menentukan sebuah sistem linear dapat dikontrol, atau dapat diobservasi.

Catatan

1. Notasi alternatif peringkat adalah ${\displaystyle \rho (\Phi )}$ berdasarkan (Katznelson & Katznelson 2008, hlm. 52, §2.5.1) dan (Halmos 1974, hlm. 90, § 50).

Referensi

1. (Axler 2015) pp. 111-112, §§ 3.115, 3.119
2. (Roman 2005) p. 48, § 1.16
3. Bourbaki, Algebra, ch. II, §10.12, p. 359
4. (Hefferon 2020) p. 200, ch. 3, Definition 2.1
5. (Katznelson & Katznelson 2008) p. 52, § 2.5.1
6. (Valenza 1993) p. 71, § 4.3
7. (Halmos 1974) p. 90, § 50

Daftar pustaka

• Axler, Sheldon (2015). Linear Algebra Done Right. Undergraduate Texts in Mathematics (edisi ke-3rd). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0. 
• Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. Finite-Dimensional Vector Spaces. Undergraduate Texts in Mathematics (edisi ke-2nd). Springer. ISBN 0-387-90093-4. 
• Hefferon, Jim (2020). Linear Algebra (edisi ke-4th). ISBN 978-1-944325-11-4. 
• Katznelson, Yitzhak; Katznelson, Yonatan R. (2008). A (Terse) Introduction to Linear Algebra. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4419-9. 
• Roman, Steven (2005). Advanced Linear Algebra. Undergraduate Texts in Mathematics (edisi ke-2nd). Springer. ISBN 0-387-24766-1. 
• Valenza, Robert J. (1993) [1951]. Linear Algebra: An Introduction to Abstract Mathematics. Undergraduate Texts in Mathematics (edisi ke-3rd). Springer. ISBN 3-540-94099-5. 

Bacaan lebih lanjut

• Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1985). Matrix Analysis. ISBN 978-0-521-38632-6. 
• Kaw, Autar K. Two Chapters from the book Introduction to Matrix Algebra: 1. Vectors [1] and System of Equations [2]
• Mike Brookes: Matrix Reference Manual. [3]