Lapangan (matematika)

Struktur aljabar
Sejenis grup Grup Semigrup / Monoid Rak dan ganjal Grup semu dan gelung Grup abelian Magma Grup Lie Teori grup
Sejenis gelanggang Gelanggang Semigelanggang Gelanggang dekat Gelanggang komutatif Ranah integral Medan Gelanggang pembagian Teori gelanggang
Sejenis kekisi Kekisi Semikekisi Kekisi dikomplemenkan Urutan total Aljabar Heyting Aljabar boolean Peta kekisi Teori kekisi
Sejenis modul Modul Grup dengan operator Ruang vektor Aljabar linear
Sejenis aljabar Aljabar Asosiatif Non-asosiatif Aljabar komposisi Aljabar Lie Bertingkat Bialjabar
l b s

Struktur aljabar → Teori gelanggang Teori gelanggang
Konsep dasar Gelanggang • Subgelanggang • Ideal • Gelanggang hasil bagi • Ideal pecahan • Gelanggang hasil bagi total • Gelanggang produk • Produk bebas dari aljabar asosiatif • Produk tensor gelanggang Gelanggang homomorfisme • Kernel • Keautomorfan dalam • Endomorfisme Frobenius Struktur aljabar • Modul • Aljabar asosiatif • Gelanggang bergradasi • Gelanggang involutif • Kategori gelanggang • Gelanggang initial ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • Gelanggang terminal ${\displaystyle 0=\mathbb {Z} _{1}}$ Struktur terkait • Medan • Medan hingga • Gelanggang non-asosiatif • Gelanggang Lie • Gelanggang Jordan • Semigelanggang • Semimedan
Aljabar komutatif Gelanggang komutatif • Ranah integral • Ranah tertutup secara integral • Ranah GCD • Ranah faktorisasi unik • Ranah ideal utama • Ranah Euklides • Medan • Medan hingga • Gelanggang komposisi • Gelanggang polinomial • Gelanggang deret kuasa/pangkat formal Teori bilangan aljabar • Medan bilangan aljabar • Gelanggang bilangan bulat • Kebebasan aljabar • Teori bilangan transendental • Derajat transendensi Teori bilangan dan desimal p-adik • Limit langsung/Limit invers • Gelanggang nol ${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}}$ • Bilangan modulo pn ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ • Prüfer gelanggang-p ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$ • Base-p gelanggang lingkaran ${\displaystyle \mathbb {T} }$ • Base-p bilangan bulat ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • Rasional p-adik ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$ • Base-p bilangan real ${\displaystyle \mathbb {R} }$ • Bilangan bulatp-adik ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ • Bilangan p-adik ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • Salenoid p-adik ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ Geometri aljabar • Variasi Afin
Aljabar nonkomutatif Gelanggang nonkomutatif • Gelanggang pembagian • Gelanggang semiprimitif • Gelanggang sederhana • Komutator Geometri aljabar nonkomutatif Aljabar bebas Aljabar Clifford • Aljabar geometris Operasi aljabar
l b s

Lapangan atau medan (juga disebut bidang) dalam matematika adalah suatu struktur aljabar dengan operasi seperti penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian yang memenuhi aksioma tertentu. Lapangan yang kerap kali dijumpai adalah lapangan bilangan riil, lapangan bilangan kompleks dan bilangan rasional.

Medan yang paling dikenal adalah medan bilangan rasional, bidang bilangan riil dan medan bilangan kompleks. Terdapat medan lainnya, seperti medan fungsi rasional, medan fungsi aljabar, medan bilangan aljabar, dan Medan p-adik umumnya digunakan dan dipelajari dalam matematika, terutama dalam teori bilangan dan geometri aljabar. Sebagian besar protokol kriptografi mengandalkan Medan hingga, yaitu bidang dengan banyak elemen.

Relasi dua medan diekspresikan dengan gagasan tentang ekstensi medan. Teori Galois yang diprakarsai oleh Évariste Galois pada tahun 1830-an, dikhususkan untuk memahami kesimetrian perluasan medan. Di antara hasil lainnya, teori ini menunjukkan bahwa segitiga tiga sudut dan mengkuadratkan lingkaran tidak dapat dilakukan dengan kompas dan garis lurus. Selain itu, ini menunjukkan bahwa persamaan kuintik, secara umum, tidak berpenyelesaian secara aljabar.

Medan berfungsi sebagai gagasan dasar dalam beberapa ranah matematika. Ini mencakup berbagai cabang analisis matematika yang didasarkan pada medan dengan struktur tambahan. Teorema dasar dalam analisis bergantung pada sifat struktural medan bilangan riil. Yang terpenting untuk tujuan aljabar, medan yang digunakan sebagai skalar untuk ruang vektor, yang merupakan konteks umum standar untuk aljabar linear. Medan bilangan bagian dari medan bilangan rasional, dipelajari secara mendalam di teori bilangan. Medan fungsi dapat membantu mendeskripsikan sifat objek geometris.

Contoh sebuah lapangan adalah himpunan bilangan rasional Q. Dalam Q terdapat empat operasi dasar: penjumlahan bersama dengan pengurangan, dan perkalian dengan pembagian. Secara intuitif, suatu lapangan adalah himpunan bilangan yang memiliki empat operasi seperti itu. Agar memenuhi syarat sebagai lapangan, operasi-operasi tersebut harus memenuhi aksioma tertentu.

Sebuah lapangan adalah sebuah himpunan, misalkan dinamakan F, bersama dengan dua operasi biner, yang biasanya dinamakan sebagai penambahan dan perkalian, masing-masing dilambangkan sebagai + dan ·, sehingga aksioma berikut berlaku:

Tertutup terhadap penambahan dan perkalian

Untuk semua a, b anggota F, baik a + b dan a · b ada dalam F (atau, dengan rumusan lebih formal, + dan . adalah operasi biner terhadap F).

Sifat asosiatif penambahan dan perkalian

Untuk semua a, b, and c dalam F, persamaan berikut berlaku:

a + (b + c) = (a + b) + c dan a · (b · c) = (a · b) · c.

Sifat komutatif penjumlahan dan perkalian

Untuk semua a dan b dalam F, kesamaan berikut berlaku:

a + b = b + a dan a · b = b · a.

Unsur identitas dalam penambahan dan perkalian

Terdapat anggota atau unsur F, yang dinamakan unsur identitas penambahan yang dilambangkan sebagai 0, sehingga untuk semua a dalam F,

a + 0 = a. Begitu pula, terdapat anggota, yang dinamakan sebagai unsur identitas perkalian yang dilambangkan dengan 1, sehingga untuk semua a dalam F, a · 1 = a. Unsur identitas penambahan dan perkalian disyaratkan berbeda, untuk alasan teknis.

Invers penambahan dan perkalian

Untuk setiap a dalam F, terdapat sebuah anggota, -a dalam F, sehingga

a + (−a) = 0. Dengan cara yang sama, untuk setiap a dalam F selain 0, terdapat anggota a⁻¹ in F,sehingga a · a⁻¹ = 1. (Unsur a + (−b) dan a · b⁻¹ masing-masing dinamakan a − b and a/b) Dengan kata lain, terdapat operasi pengurangan dan pembagian.

Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

Untuk semua a, b dan c dalam F, kesamaan berikut berlaku:

a · (b + c) = (a · b) + (a · c).

Bilangan rasional telah banyak digunakan jauh sebelum elaborasi konsep lapangan. Itu adalah bilangan yang dapat ditulis sebagai pecahan a/b, dimana a dan b adalah bilangan bulat, dan b ≠ 0. Kebalikan aditif dari pecahan tersebut adalah −a/b, dan pembalikan perkalian (asalkan a ≠ 0) adalah b/a, yang bisa dilihat sebagai berikut:

${\displaystyle {\frac {b}{a}}\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {ba}{ab}}=1.}$

Aksioma bidang yang diperlukan secara abstrak direduksi menjadi sifat standar bilangan rasional. Misalnya hukum distributivitas dapat dibuktikan sebagai berikut:^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}+{\frac {e}{f}}\right)\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}\cdot {\frac {f}{f}}+{\frac {e}{f}}\cdot {\frac {d}{d}}\right)\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {cf}{df}}+{\frac {ed}{fd}}\right)={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {cf+ed}{df}}\\[6pt]={}&{\frac {a(cf+ed)}{bdf}}={\frac {acf}{bdf}}+{\frac {aed}{bdf}}={\frac {ac}{bd}}+{\frac {ae}{bf}}\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}+{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {e}{f}}.\end{aligned}}}$

Bilangan riil R, dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang biasa, juga membentuk bidang. Bilangan kompleks C terdiri dari ekspresi

a + bi, dengan a, b,

dimana i adalah unit imajiner, yaitu bilangan (non-nyata) memuaskan i² = −1. Penjumlahan dan perkalian bilangan real didefinisikan sedemikian rupa sehingga ekspresi jenis ini memenuhi semua aksioma medan dan karenanya berlaku untuk C. Misalnya, penegakan hukum distributif

(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bdi² = ac−bd + (bc + ad)i.

Ini langsung bahwa ini lagi-lagi merupakan ekspresi dari tipe di atas, dan bilangan kompleks membentuk bidang. Bilangan kompleks dapat direpresentasikan secara geometris sebagai titik dalam bidang. dengan koordinat kartesius yang diberikan oleh bilangan real dari ekspresi yang mendeskripsikannya, atau sebagai panah dari asal ke titik-titik ini, ditentukan oleh panjangnya dan sudut tertutup dengan beberapa. Penambahan kemudian sesuai dengan penggabungan panah ke jajaran genjang intuitif (menambahkan koordinat Kartesius), dan perkaliannya, kurang intuitif, menggabungkan putaran dan skala panah (menambahkan sudut dan mengalikan panjangnya). Bidang bilangan real dan kompleks digunakan di seluruh matematika, fisika, teknik, statistik, dan banyak disiplin ilmu lainnya.

Di zaman kuno, beberapa masalah geometris menyangkut kelayakan (dalam) konstruksi bilangan tertentu dengan kompas dan garis lurus. Misalnya, orang Yunani tidak mengetahui bahwa secara umum tidak mungkin untuk membagi dua sudut tertentu dengan cara ini. Masalah ini dapat diselesaikan dengan menggunakan bidang bilangan konstruksibel.^[2] Bilangan konstruktif riil, menurut definisi, adalah panjang segmen garis yang dapat dibangun dari titik 0 dan 1 dalam banyak langkah tak terhingga hanya dengan menggunakan kompas dan garis lurus. Angka-angka ini, diberkahi dengan operasi bidang bilangan real, terbatas pada bilangan yang dapat dibangun, membentuk bidang, yang mencakup bidang Q of angka rasional. Ilustrasi menunjukkan konstruksi akar kuadrat dari bilangan yang dapat dibangun, tidak harus terkandung di dalamnya Q. Menggunakan label dalam ilustrasi, buat segmen AB, BD, dan setengah lingkaran berakhir AD (pusatkan di titik tengah C), yang memotong garis tegak lurus melalui B pada satu titik F, pada jarak tepat ${\displaystyle h={\sqrt {p}}}$ dari B jika BD memiliki panjang satu.

Tidak semua bilangan real dapat dibangun. Dapat ditunjukkan bahwa ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ bukanlah bilangan yang dapat dibangun, yang menyiratkan bahwa tidak mungkin untuk membangun dengan kompas dan meluruskan panjang sisi sebuah kubus dengan volume 2, masalah lain yang ditimbulkan oleh orang Yunani kuno.

Penambahan	Perkalian
+ O I A B O O I A B I I O B A A A B O I B B A I O	· O I A B O O O O O I O I A B A O A B I B O B I A

Selain sistem bilangan yang sudah dikenal seperti rasio, ada contoh bidang lain yang kurang langsung. Contoh berikut adalah bidang yang terdiri dari empat elemen yang disebut O, I, A, dan B. Notasi O memainkan peran elemen identitas aditif (dilambangkan 0 dalam aksioma di atas), dan I adalah identitas perkalian (dilambangkan 1 dalam aksioma di atas). Aksioma medan dapat diverifikasi dengan menggunakan beberapa teori medan lagi, atau dengan perhitungan langsung. Sebagai contoh,

A · (B + A) = A · I = A, yang sama dengan A · B + A · A = I + B = A, seperti yang dipersyaratkan oleh distribusi.

Bidang ini disebut bidang hingga dengan empat elemen, dan dilambangkan F₄ or GF(4).^[3] Bagian terdiri dari O and I (disorot dengan warna merah pada tabel di sebelah kanan) juga merupakan bidang, yang dikenal sebagai bidang biner F₂ atau GF(2). Dalam konteks ilmu komputer dan Aljabar Boolean, O dan I masing-masing sering dilambangkan dengan false dan true , penambahan kemudian dilambangkan XOR (eksklusif atau), dan perkalian dilambangkan AND. Dengan kata lain, struktur bidang biner adalah struktur dasar yang memungkinkan dilakukannya komputasi dengan bit.

Dalam bagian ini, F menunjukkan medan sembarang dan a, serta b elemen sembarang dari F.

Satu memiliki a · 0 = 0 dan −a = (−1) · a. Secara khusus, seseorang dapat menyimpulkan kebalikan aditif dari setiap elemen segera setelah dia mengetahui –1.^[1]

Jika ab = 0 kemudian a atau b harus 0, karena, jika a ≠ 0, kemudian b = (a^–1a)b = a^–1(ab) = a^–1⋅0 = 0. Ini berarti bahwa setiap bidang adalah domain integral.

Selain itu, properti berikut ini berlaku untuk semua elemen a dan b:

−0 = 0

1⁻¹ = 1

(−(−a)) = a

(a^–1)⁻¹ = a

(–a) · b = a · (−b) = −(a · b)

Aksioma sebuah medan F adalah grup abelian di bawah tambahan. Grup ini disebut grup aditif pada bidang, dan terkadang dilambangkan dengan (F, +) ketika hanya menandai sebagai F yang hanya membingungkan.

Demikian pula, elemen bukan nol dari F membentuk grup abelian dalam perkalian yang disebut grup perkalian, dan dilambangkan dengan (F \ {0}, ·) untuk F \ {0} atau F^*.

Medan didefinisikan sebagai himpunan F dengan dua operasi yang dilambangkan sebagai penjumlahan dan perkalian sehingga F adalah grup abelian dalam penjumlahan, F \ {0} adalah grup abelian dalam perkalian,^{[catatan 1]} dan perkalian adalah distributif di atas penjumlahan.^{[nb 1]} Oleh karena itu, beberapa pernyataan dasar tentang medan diperoleh dengan menerapkan fakta umum grup. Misalnya, penjumlahan dan perkalian inversi −a dan a⁻¹ ditentukan secara unik oleh a.

Persyaratan yang mengikuti 1 ≠ 0, karena 1 adalah elemen identitas grup tidak berisi 0.^[4] Jadi, gelanggang trivial yang terdiri dari satu elemen adalah bukan medan.

Setiap subgrup hingga dari grup perkalian sebuah bidang adalah siklik (lihat Akar kesatuan § Grup siklik).

Selain perkalian dua elemen F, dimungkinkan untuk mendefinisikan produk n ⋅ a dari elemen arbitrer a dari F dengan bilangan bulat positif n sebagai jumlah lipat-n

a + a + ⋅⋅⋅ + a (yang merupakan elemen dari F.)

Jika tidak ada bilangan bulat positif, maka

n ⋅ 1 = 0,

maka F dikatakan memiliki karakteristik 0.^[5] Misalnya medan bilangan rasional Q memiliki karakteristik 0 karena tidak ada bilangan bulat positif n adalah nol. Sebaliknya, jika adalah bilangan bulat positif n yang memenuhi persamaan ini, bilangan bulat positif terkecil dapat ditampilkan sebagai bilangan prima. Biasanya dilambangkan dengan p dan kemudian medan dikatakan memiliki karakteristik p. Misalnya, medan F₄ memiliki karakteristik 2 dalam^{[catatan 2]} I + I = O.

Jika F memiliki karakteristik p, maka p⋅a=0 untuk semua a dalam F. Ini menjelaskan

(a + b)^p = a^p + b^p,

karena semua koefisien binomial lainnya yang muncul dalam rumus binomial habis dibagi p. Maka, a^p := a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a (faktor p) adalah kuasa-p, yaitu, hasil kali lipat-p dari elemen a. Oleh karena itu, peta Frobenius

Fr: F → F, x ⟼ x^p

kompatibel dengan penambahan dalam F (dan juga dengan perkalian), dan merupakan homomorfisme medan.^[6] Adanya homomorfisme ini membuat medan dengan karakteristik p sangat berbeda dengan bidang dengan karakteristik 0.

Sebuah submedan E dari medan F adalah himpunan bagian dari F yang merupakan medan yang terkait dengan operasi medan dari F. Setara dengan E adalah himpunan bagian dari F yang merupakan 1, dan sebagai penutupan dengan penjumlahan, perkalian, aditif invers dan perkalian invers dari elemen bukan nol. Maka 1 ∊ E, untuk semua a, b ∊ E kedua a + b dan a · b adalah E, dan untuk semua a ≠ 0 dal5 E, kedua –a dan 1/a adalah E.

Medan hingga (juga disebut medan Galois) adalah medan dengan elemen hingga dimana jumlahnya yang disebut sebagai urutan medan. Contoh pengantar di atas F₄ adalah medan dengan empat elemen. Submedan F₂ adalah medan terkecil, karena menurut definisi medan memiliki setidaknya dua elemen berbeda 1 ≠ 0.

Kolom hingga yang sederhana, dengan tatanan utama langsung diakses menggunakan aritmetika modular. Untuk bilangan bulat positif tetap n, aritmetika "modulo n" artinya melakukan dengan angka

Z/nZ = {0, 1, ..., n − 1}.

Penambahan dan perkalian pada himpunan ini dilakukan dengan melakukan operasi yang dimaksud himpunan bilangan bulat Z, membagi dengan n dan mengambil sisanya sebagai hasil. Konstruksi ini menghasilkan bidang persis jika n adalah bilangan prima. Misalnya mengambil bilangan prima n = 2 hasil di bidang yang disebutkan di atas F₂. Untuk n = 4 dan secara lebih umum, untuk setiap bilangan komposit (yaitu, bilangan apa pun n yang dapat diekspresikan sebagai produk n = r⋅s dari dua bilangan asli yang lebih kecil), Z/nZ bukan bidang: produk dari dua elemen bukan nol adalah nol karena r⋅s = 0 pada Z/nZ, yang, seperti yang dijelaskan di atas, dengan Z/nZ dari menjadi lapangan. Lapangan Z/pZ dengan p elemen (p menjadi prima) dibangun dengan cara ini biasanya dilambangkan dengan F_p.

Setiap bidang terbatas yang dimiliki F adalah q = pⁿ elemen, di mana p adalah bilangan prima dan n ≥ 1. Pernyataan ini berlaku karena F dapat dilihat sebagai ruang vektor di atas bidang utamanya. dimensi dari ruang vektor ini harus terbatas, katakanlah n , yang menyiratkan pernyataan yang ditegaskan.^[7]

Bidang dengan q = pⁿ elemen dapat dibuat sebagai bidang pemisah dari polinomial

f(x) = x^q − x.

Bidang pemisahan seperti itu merupakan perpanjangan dari F_p di mana polinomial f memiliki q nol. Ini berarti f memiliki angka nol sebanyak mungkin karena derajat dari f adalah q. Untuk q = 2² = 4, itu dapat diperiksa kasus per kasus menggunakan tabel perkalian di atas yang keempat elemennya F₄ memenuhi persamaan x⁴ = x, jadi mereka adalah nol f. Sebaliknya, pada F₂, f hanya memiliki dua angka nol (yaitu 0 dan 1), jadi f tidak dibagi menjadi faktor linier dalam bidang yang lebih kecil ini. Menguraikan lebih lanjut pengertian teori medan dasar, dapat ditunjukkan bahwa dua bidang berhingga dengan urutan yang sama adalah isomorfik.^[8] Oleh karena itu, adalah kebiasaan untuk menyebut bidang berhingga dengan elemen q , dilambangkan dengan F_q atau GF(q).

Secara historis, tiga disiplin ilmu aljabar mengarah pada konsep bidang: soal menyelesaikan persamaan polinomial, teori bilangan aljabar, dan geometri aljabar.^[9] Langkah pertama menuju gagasan bidang dibuat pada tahun 1770 oleh Joseph-Louis Lagrange, yang mengamati bahwa mengubah angka nol x₁, x₂, x₃ dari polinomial kubik dalam pernyataan tersebut

(x₁ + ωx₂ + ω²x₃)³

(dengan ω menjadi akar persatuan ketiga) hanya menghasilkan dua nilai. Dengan cara ini, Lagrange secara konseptual menjelaskan metode solusi klasik Scipione del Ferro dan François Viète, yang melanjutkan dengan mengurangi persamaan kubik untuk x yang tidak diketahui menjadi persamaan kuadrat untuk x³.^[10] Bersama dengan pengamatan serupa untuk persamaan derajat 4, Lagrange menghubungkan apa yang akhirnya menjadi konsep bidang dan konsep grup.^[11] Vandermonde, juga pada tahun 1770, dan secara lebih luas, Carl Friedrich Gauss, dalam karyanya Disquisitiones Arithmeticae (1801), mempelajari persamaan

x^p = 1

untuk bilangan prima p dan, lagi-lagi menggunakan bahasa modern, hasil siklik grup Galois. Gauss menyimpulkan bahwa regular p-gon dapat dibangun jika p = 2^2k + 1. Berdasarkan karya Lagrange, Paolo Ruffini menyatakan (1799) bahwa persamaan kuintik s (persamaan polinomial derajat 5) tidak dapat diselesaikan secara aljabar; Namun, argumennya salah. Celah ini diisi oleh Niels Henrik Abel pada tahun 1824.^[12] Évariste Galois, pada tahun 1832, merancang kriteria yang diperlukan dan cukup agar persamaan polinomial dapat dipecahkan secara aljabar, sehingga menetapkan efek yang sekarang dikenal sebagai teori Galois. Baik Abel dan Galois bekerja dengan apa yang sekarang disebut bidang angka aljabar, tetapi tidak memahami gagasan eksplisit tentang bidang, atau pun grup.

Pada tahun 1871 Richard Dedekind diperkenalkan, untuk satu set bilangan real atau kompleks yang ditutup di bawah empat operasi aritmatika, kata Jerman Körper , yang berarti "tubuh" atau "korpus" (untuk menyarankan entitas yang tertutup secara organik). Istilah Inggris "field" diperkenalkan oleh (Moore 1893).^[13]

Yang kami maksud dengan bidang adalah setiap sistem tak terbatas dari bilangan real atau kompleks yang begitu tertutup dengan sendirinya dan menyempurnakan penjumlahan, pengurangan itu, perkalian, dan pembagian salah satu dari dua bilangan ini lagi-lagi menghasilkan bilangan sistem.

— Richard Dedekind, 1871^[14]

Pada tahun 1881 Leopold Kronecker mendefinisikan apa yang dia sebut sebagai domain rasionalitas , yang merupakan bidang pecahan rasional dalam istilah modern. Gagasan Kronecker tidak mencakup bidang semua bilangan aljabar (yang merupakan bidang dalam pengertian Dedekind), tetapi di sisi lain lebih abstrak daripada Dedekind karena tidak membuat asumsi khusus tentang sifat elemen suatu bidang. Kronecker menafsirkan bidang seperti Q(π) secara abstrak sebagai bidang fungsi rasional Q(X). Sebelum ini, contoh bilangan transendental telah diketahui sejak karya Joseph Liouville pada tahun 1844, sampai Charles Hermite (1873) dan Ferdinand von Lindemann (1882) membuktikan transendensi e dan π.^[15]

Sejak medan ada di mana-mana dalam matematika dan seterusnya, beberapa penyempurnaan konsep telah disesuaikan dengan kebutuhan bidang matematika tertentu.

Medan F disebut medan tatanan jika terdapat dua elemen yang dapat dibandingkan, sehingga x + y ≥ 0 dan xy ≥ 0 dengan x ≥ 0 dan y ≥ 0. Misalnya, bilangan riil membentuk Medan tatanan, dengan tatanan seperti biasa ≥. Teorema Artin–Schreier menyatakan bahwa suatu medan diurutkan jika dan hanya jika itu adalah medan riil secara formal, yang berarti bahwa persamaan kuadrat apa pun

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=0}$

hanya solusi x₁ = x₂ = ⋅⋅⋅ = x_n = 0.^[16] Himpunan semua kemungkinan tatanan pada medan tetap F isomorfik ke himpunan gelanggang homomorfisme dari gelanggang Witt W(F) dari bentuk kuadrat berakhir dengan F, sebagai Z.^[17]

Sebuah medan Archimedean adalah medan yang diurutkan sedemikian rupa sehingga untuk setiap elemen terdapat ekspresi hingga

1 + 1 + ··· + 1

yang nilainya lebih besar dari elemen itu, artinya tidak ada elemen tak hingga. Sama halnya, medan yang tidak digunakan infinitesimal (elemen lebih kecil dari semua bilangan rasional); atau, ekuivalen medan isomorfik ke submedan dari R.

Bidang yang diurutkan adalah Dedekind-complete jika semua batas atas, batas bawah (lihat kelengkapan Dedekind) dan batas. Secara lebih formal, setiap himpunan bagian hingga dari F harus memiliki batas atas terkecil. Setiap medan lengkap tetap menggunakan Archimedean,^[18] karena dalam medan non-Archimedean tidak terdapat rasional yang sangat kecil atau paling tidak positif, darimana tatanannya 1/2, 1/3, 1/4, ..., setiap elemen yang lebih besar dari kecil, tidak memiliki batas.

Karena setiap subkolom riil menggunakan celah seperti itu, R adalah kolom tatanan lengkap unik, hingga isomorfisme.^[19] Beberapa hasil dasar dalam kalkulus mengikuti langsung dari karakterisasi riil ini.

Hiperriil R^* membentuk Medan tatanan yang bukan Archimedean. Ini adalah ekstensi dari riil yang diperoleh dengan memasukkan bilangan tak hingga dan infinitesimal tak hingga. Ini lebih besar masing-masing lebih kecil dari bilangan riil. Hiperriil membentuk dasar dasar analisis non-standar.

Perbaikan lain dari pengertian bidang adalah medan topologi, dimana himpunan F adalah ruang topologi, maka semua operasi medan (penambahan, perkalian, peta a ↦ −a dan a ↦ a⁻¹) adalah peta kontinu sehubungan dengan topologi ruang.^[20] Topologi semua medan yang dibahas di bawah ini diinduksi dari metrik, yaitu fungsi

d : F × F → R,

yang mengukur jarak antara dua elemen F.

Pelengkapan dari F adalah medan lain dimana "celah" di medan asli F. Misalnya, bilangan irasional x, misal x = √2, adalah "celah" dalam rasio Q dalam arti bahwa ini adalah bilangan riil yang didekati secara acak oleh bilangan rasional p/q, dalam arti jarak x dan p/q diberikan nilai mutlak | x – p/q |. Tabel berikut mencantumkan beberapa contoh konstruksi ini. Kolom keempat menunjukkan contoh nol urutan, yaitu, urutan yang batasnya (untuk n → ∞) adalah nol.

Medan	Metrik	Pelengkapan	Tatanan nol
Q	| x – y | (biasa nilai absolut)	R	1/n
Q	diperoleh dengan menggunakan valuasi p-adik, untuk bilangan prima p	Qp (bilangan p-adic)	pn
F(t) (F bidang apapun)	diperoleh dengan menggunakan valuasi t-adik	F((t))	tn

Medan diferensial adalah medan yang dilengkapi dengan turunan, yaitu, memungkinkan untuk mengambil turunan elemen di medan.^[21] Misalnya, medan R(X), dengan turunan standar polinomial membentuk medan diferensial. Medan ini adalah pusat teori Galois diferensial, varian dari teori Galois yang berhubungan dengan persamaan diferensial linear.

Selain struktur tambahan dengan menggunakan medan, medan menerima berbagai gagasan terkait lainnya. Karena dalam medan 0 ≠ 1, medan memiliki setidaknya dua elemen. Meskipun demikian, ada konsep medan dengan satu elemen yang disarankan untuk menjadi batas medan hingga F_p, karena p cenderung 1.^[22] Selain gelanggang pembagian, ada berbagai yang lebih lemah lainnya, struktur aljabar yang terkait dengan medan seperti medan kuasi, medan dekat dan medan semimedan.

Ada juga kelas kesesuai dengan struktur medan, yang terkadang disebut Medan (atau Field), dengan huruf besar M. Bilangan surriil membentuk medan riil, dan akan menjadi medan kecuali fakta bahwa mereka adalah kelas yang tepat, bukan satu himpunan. Angka adalah konsep dari teori permainan, untuk medan seperti itu juga.^[23]

Menjatuhkan satu atau beberapa aksioma dalam definisi medan mengarah ke struktur aljabar lainnya. Seperti disebutkan di atas, gelanggang komutatif memenuhi semua aksioma medan, kecuali untuk invers perkalian. Menjatuhkan kondisi bahwa perkalian bersifat komutatif mengarah ke konsep gelanggang pembagian atau medan miring.^{[nb 2]} Gelanggang pembagian satu-satunya yang berdimensi-hingga vektor-R ruang R sendiri, C (yang merupakan medan), kuaternion H (dimana perkalian tidak komutatif), dan oktonion O (dimana perkalian tidak bersifat komutatif atau asosiatif). Fakta ini dibuktikan dengan menggunakan metode topologi aljabar pada tahun 1958 oleh Michel Kervaire, Raoul Bott, dan John Milnor.^[24] Tidak adanya aljabar pembagian berdimensi ganjil lebih klasik. Ini dapat disimpulkan dari teorema bola berbulu yang diilustrasikan di sebelah kanan.^{[butuh rujukan]}

Kesalahan pengutipan: Ditemukan tag <ref> untuk kelompok bernama "catatan", tapi tidak ditemukan tag <references group="catatan"/> yang berkaitan