Gelanggang bertingkat

Dalam matematika, khususnya aljabar abstrak, gelanggang bertingkat adalah gelanggang sehingga grup aditif yang mendasarinya adalah jumlah langsung grup abelian ${\displaystyle R_{i}}$ dari ${\displaystyle R_{i}R_{j}\subseteq R_{i+j}}$. Himpunan indeks biasanya himpunan bilangan bulat nonnegatif atau himpunan bilangan bulat, namun berupa monoid. Dekomposisi jumlah langsung biasanya disebut sebagai gradasi atau bertingkat.

Sebuah modul bertingkat didefinisikan sama (lihat di bawah untuk definisi yang tepat). Ini menggeneralisasi ruang vektor bertingkat. Modul bertingkat yang juga merupakan gelanggang bertingkat disebut aljabar bertingkat. Gelanggang bertingkat juga dapat dilihat sebagai aljabar-${\displaystyle \mathbb {Z} }$ bertingkat.

Asosiatif tidak penting (bahkan tidak digunakan sama sekali) dalam definisi gelanggang bertingkat; karenanya, gagasan tersebut juga berlaku untuk aljabar non-asosiatif; misalnya, apabila mempertimbangkan aljabar Lie bertingkat.

Sifat pertama

Umumnya, himpunan indeks dari gelanggang bertingkat seharusnya sebagai himpunan bilangan bulat non-negatif, kecuali ditentukan lain secara eksplisit. Ini adalah kasus dalam artikel ini.

Gelanggang bertingkat adalah gelanggang yang didekomposisi sebagai jumlah langsung

${\displaystyle R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}=R_{0}\oplus R_{1}\oplus R_{2}\oplus \cdots }$

dari grup aditif, sehingga

${\displaystyle R_{m}R_{n}\subseteq R_{m+n}}$

untuk semua bilangan bulat non-negatif ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$.

Sebuah elemen bukan nol dari ${\displaystyle R_{n}}$ dikatakan sebagai homogen dari derajat ${\displaystyle n}$. Menurut definisi penjumlahan langsung, setiap elemen bukan nol ${\displaystyle a}$ dari ${\displaystyle R}$ apabila ditulis secara unik sebagai penjumlahan ${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}}$ dimana setiap ${\displaystyle a_{i}}$ adalah 0 atau homogen dengan derajat ${\displaystyle i}$. ${\displaystyle a_{i}}$ bukan nol adalah komponen homogen dari ${\displaystyle a}$.

Beberapa sifat dasar adalah:

• ${\displaystyle R_{0}}$ adalah subgelanggang dari ${\displaystyle R}$; khususnya, identitas perkalian ${\displaystyle 1}$ adalah elemen homogen dengan derajat nol.
• Untuk sembarang ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle R_{n}}$ adalah modul-${\displaystyle R_{0}}$dua sisi, dan dekomposisi jumlah langsungnya adalah jumlah langsung modul-${\displaystyle R_{0}}$.
• ${\displaystyle R}$ adalah aljabar-${\displaystyle R_{0}}$ asosiatif.

Sebuah ideal ${\displaystyle I\subseteq R}$ adalah homogen, jika untuk setiap ${\displaystyle a\in I}$, komponen homogen ${\displaystyle a}$ juga termasuk ${\displaystyle I}$ (ekuivalen, jika itu adalah submodul bergradasi dari ${\displaystyle R}$; lihat § Modul bertingkat). Perpotongan antara ideal homogen ${\displaystyle I}$ dengan ${\displaystyle R_{n}}$ adalah submodul-${\displaystyle R_{0}}$ dari ${\displaystyle R_{n}}$ yang disebut bagian homogen derajat ${\displaystyle n}$ dari ${\displaystyle I}$. Suatu ideal homogen adalah jumlah langsung dari bagian-bagiannya yang homogen.

Jika ${\displaystyle I}$ adalah ideal homogen dua sisi dalam ${\displaystyle R}$, maka ${\displaystyle R/I}$ juga merupakan gelanggang bertingkat, dekomposisi-nya sebagai

${\displaystyle R/I=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}/I_{n},}$

dimana ${\displaystyle I_{n}}$ adalah bagian homogen dari derajat ${\displaystyle n}$ dari ${\displaystyle I}$.

Contoh dasar

• Setiap gelanggang (bukan bertingkat) R diberikan oleh bertingkat dengan ${\displaystyle R_{0}=R}$, dan ${\displaystyle R_{i}=0}$ untuk i ≠ 0. Ini disebut trivial bertingkat pada R.
• Gelanggang polinomial ${\displaystyle R=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]}$ dinilai oleh derajat: itu adalah jumlah langsung dari ${\displaystyle R_{i}}$ yang terdiri dari polinomial homogen derajat i.
• Misalkan S adalah himpunan semua elemen homogen bukan nol dalam ranah integral R bertingkat. Maka lokalisasi dari R pada S adalah gelanggang-${\displaystyle \mathbb {Z} }$ bertingkat.
• Jika I ideal dalam gelanggang komutatif R, maka ${\displaystyle \bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$ adalah gelanggang bertingkat yang disebut gelanggang asosiatif bertingkat dari R sepanjang I; geometris tersebut adalah gelanggang koordinat dari kerucut normal sepanjang subvarietas didefinisikan oleh I.
• Misalkan X adalah ruang topologi, H^i(X; R) grup kohomologi i dengan koefisien dalam gelanggang-R. Maka H^*(X; R), gelanggang kohomologi X dengan koefisien dalam R, adalah gelanggang bertingkat grup dasar ${\displaystyle \bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X;R)}$ dengan struktur perkalian yang diberikan oleh produk cangkir.

Modul bertingkat

Gagasan yang sesuai dalam teori modul adalah gagasan modul bertingkat, yaitu modul kiri atas gelanggang bertingkat R, sebagai

${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }M_{i},}$

dan

${\displaystyle R_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}.}$

Contoh: sebuah ruang vektor bertingkat adalah contoh modul bertingkat atas medan (dengan medan memiliki trivial bertingkat).

Contoh: sebuah gelanggang bertingkat adalah modul bertingkat atas sendiri. Suatu ideal dalam gelanggang bertingkat adalah homogen jika dan hanya jika adalah submodul bertingkat. annihilator dari modul bertingkat adalah ideal homogen.

Contoh: Diberikan ideal I dalam gelanggang komutatif R dan modul- R dari M, jumlah langsung ${\displaystyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}M/I^{n+1}M}$ adalah modul bertingkat atas gelanggang bertingkat terkait ${\displaystyle \bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$.

Morfisme ${\displaystyle f:N\to M}$ antara modul bertingkat, yang disebut morfisme bertingkat, adalah morfisme modul dasar; yaitu, ${\displaystyle f(N_{i})\subseteq M_{i}}$. Submodul bertingkat adalah submodul yang merupakan modul bertingkat dalam sendiri dan sedemikian rupa sehingga inklusi teori himpunan adalah morfisme modul bertingkat. Secara eksplisit, modul bertingkat N adalah submodul bertingkat M jika dan hanya jika adalah submodul M dan memenuhi ${\displaystyle N_{i}=N\cap M_{i}}$. Kernel dan citra morfisme modul bertingkat adalah submodul bertingkat.

Catatan: Untuk memberikan morfisme bergradasi dari gelanggang bertingkat ke gelanggang bertingkat lain dengan citra yang terletak di tengah sama dengan memberikan struktur aljabar bertingkat ke gelanggang terakhir.

Diberikan modul bertingkat ${\displaystyle M}$, putaran-${\displaystyle \ell }$ dari ${\displaystyle M}$ adalah modul bertingkat yang ditentukan oleh ${\displaystyle M(\ell )_{n}=M_{n+\ell }}$. (lih. gemal putaran Serre dalam geometri aljabar.)

Maka M dan N sebagai modul bertingkat. Jika ${\displaystyle f\colon M\to N}$ adalah morfisme modul, maka f dikatakan memiliki derajat d dengan ${\displaystyle f(M_{n})\subseteq N_{n+d}}$. Sebuah turunan eksterior bentuk diferensial dalam geometri diferensial adalah contoh dari morfisme yang memiliki derajat 1.

Invarian modul bertingkat

Diberikan modul bertingkat M atas gelanggang bertingkat komutatif R, apabila mengasosiasikan deret pangkat formal ${\displaystyle P(M,t)\in \mathbb {Z} [\![t]\!]}$:

${\displaystyle P(M,t)=\sum \ell (M_{n})t^{n}}$

(dengan asumsi ${\displaystyle \ell (M_{n})}$ berhingga.) Ini disebut deret Hilbert–Poincaré dari M.

Modul bertingkat dikatakan kebangkitan hingga jika modul yang mendasarinya kebangkitan secara berhingga. Generator merupakan homogen dengan mengganti generator dengan bagian homogen.

Misalkan R adalah gelanggang polinomial ${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$, k sebuah medan, dan M sebuah modul bertingkat yang dihasilkan secara hingga atas. Maka fungsi ${\displaystyle n\mapsto \dim _{k}M_{n}}$ disebut juga sebagai fungsi Hilbert dari M. Fungsi ini bertepatan dengan polinomial bernilai bilangan bulat untuk n besar yang disebut polinomial Hilbert dari M.

Aljabar bertingkat

Lihat pula: Aljabar Lie bertingkat

Sebuah aljabar A atas gelanggang R adalah aljabar bertingkat jika dinilai sebagai gelanggang.

Dalam kasus biasa dimana gelanggang R tidak dinilai (khususnya jika R adalah medan), diberikan penilaian trivial (setiap elemen R adalah derajat 0). Jadi, ${\displaystyle R\subseteq A_{0}}$ dan potongan bertingkat ${\displaystyle A_{i}}$ adalah modul R.

Dalam kasus dimana gelanggang R juga merupakan gelanggang bertingkat, apabila memerlukan

${\displaystyle R_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}}$

Dengan kata lain, kita membutuhkan A untuk menjadi modul kiri bertingkat atas R.

Contoh aljabar bertingkat yang umum dalam matematika:

• Gelanggang polinomial. Unsur homogen derajat n persis adalah polinomial homogen dari derajat n.
• Aljabar tensor ${\displaystyle T^{\bullet }V}$ dari ruang vektor V. Elemen homogen dengan derajat n adalah tensor dari urutan n, ${\displaystyle T^{n}V}$.
• Aljabar eksterior ${\displaystyle \textstyle \bigwedge \nolimits ^{\bullet }V}$ dan aljabar simetris ${\displaystyle S^{\bullet }V}$ juga merupakan aljabar bertingkat.
• Gelanggang kohomologi ${\displaystyle H^{\bullet }}$ dalam teori kohomologi juga dinilai, menjadi jumlah langsung dari grup kohomologi ${\displaystyle H^{n}}$.

Aljabar bertingkat banyak digunakan dalam aljabar komutatif dan geometri aljabar, aljabar homologis, dan topologi aljabar. Salah satu contohnya adalah hubungan erat antara polinomial homogen dan varietas proyeksi (lih. gelanggang koordinat homogen).

Gelanggang bertingkat-G dan aljabar

Definisi di atas telah digeneralisasikan ke gelanggang yang dinilai menggunakan monoid G sebagai himpunan indeks. Sebuah gelanggang bertingkat-G R adalah gelanggang dengan dekomposisi jumlah langsung

${\displaystyle R=\bigoplus _{i\in G}R_{i}}$

sebagai

${\displaystyle R_{i}R_{j}\subseteq R_{i\cdot j}.}$

Elemen R yang terletak dalam ${\displaystyle R_{i}}$ untuk beberapa ${\displaystyle i\in G}$ dikatakan sebagai homogen dari bertingkat i.

Gagasan "gelanggang bertingkat" didefinisikan sebelumnya sekarang menjadi hal yang sama dengan gelanggang bertingkat ${\displaystyle \mathbb {N} }$, di mana ${\displaystyle \mathbb {N} }$ adalah monoid dari bilangan bulat non-negatif bawah penjumlahan. Definisi untuk modul dan aljabar bertingkat juga diperluas dengan mengganti himpunan indeks ${\displaystyle \mathbb {N} }$ dengan monoid G.

Catatan:

• Apabila tidak mengharuskan gelanggang memiliki elemen identitas, semigrup dapat menggantikan dengan monoid.

Contoh:

• Sebuah grup bertingkat alami menilai grup gelanggang; demikian pula, gelanggang monoid dinilai oleh monoid dengan sesuai.
• Superaljabar (asosiatif) adalah istilah lain untuk aljabar bertingkat ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$. Contohnya termasuk aljabar Clifford. Di sini elemen homogen adalah salah satu dari derajat 0 (genap) atau 1 (ganjil).

Antikomutatif

Beberapa gelanggang bertingkat (atau aljabar) memiliki struktur antikomutatif. Gagasan ini menggunakan homomorfisme dari monoid bertingkat sebagai monoid aditif ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$, medan dengan dua elemen. Secara khusus, monoid bertanda terdiri dari pasangan ${\displaystyle (\Gamma ,\varepsilon )}$ dimana ${\displaystyle \Gamma }$ adalah monoid dan ${\displaystyle \varepsilon \colon \Gamma \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ adalah homomorfisme dari monoid aditif. Sebuah antikomutatif gelanggang bertingkat-${\displaystyle \Gamma }$ adalah gelanggang A sebagai dinilai Γ sedemikian rupa sehingga:

${\displaystyle xy=(-1)^{\varepsilon (\deg x)\varepsilon (\deg y)}yx,}$

untuk semua elemen homogen x dan y.

Contoh

• Sebuah aljabar eksterior adalah contoh aljabar antikomutatif, dinilai sehubungan dengan struktur ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\varepsilon )}$ dimana ${\displaystyle \varepsilon \colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ adalah peta hasil bagi.
• Sebuah aljabar superkomutatif (terkadang disebut gelanggang asosiatif komutatif miring) adalah hal yang sama dengan antikomutatif aljabar bertingkat-${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\varepsilon )}$, dimana ${\displaystyle \varepsilon }$ adalah identitas endomorfisme dari struktur aditif ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$.

Monoid bertingkat

Secara intuitif, sebuah monoid bertingkat adalah himpunan bagian dari gelanggang bertingkat, ${\displaystyle \bigoplus _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}}$, yang dihasilkan oleh ${\displaystyle R_{n}}$, tanpa menggunakan bagian aditif. Artinya, himpunan elemen dari monoid bertingkat adalah ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}}$.

Secara formal, monoid bertingkat[1] adalah monoid ${\displaystyle (M,\cdot )}$, dengan fungsi bertingkat ${\displaystyle \phi :M\to \mathbb {N} _{0}}$ sehingga ${\displaystyle \phi (m\cdot m')=\phi (m)+\phi (m')}$. Perhatikan bahwa bertingkat ${\displaystyle 1_{M}}$ harus 0. Beberapa penulis meminta lebih lanjut bahwa ${\displaystyle \phi (m)\neq 0}$ ketika m bukanlah identitas.

Dengan asumsi bertingkat elemen non-identitas bukan nol, jumlah elemen bertingkat n digunakan ${\displaystyle g^{n}}$ dimana g adalah kardinalitas dari himpunan pembangkit G dari monoid. Oleh karena itu jumlah elemen gradasi n atau kurang ${\displaystyle n+1}$ (untuk ${\displaystyle g=1}$) atau ${\displaystyle {\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}}$. Setiap elemen tersebut adalah produk dari paling banyak elemen n dari G, dan hanya ${\displaystyle {\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}}$ produk seperti itu ada. Demikian pula, elemen identitas tidak ditulis sebagai produk dari dua elemen non-identitas. Artinya, tidak ada pembagi satuan dalam monoid bergradasi seperti itu.

Deret pangkat indeks oleh monoid bertingkat

Lihat pula: Gelanggang Novikov

Gagasan ini memungkinkan untuk memperluas gagasan gelanggang deret pangkat. Alih-alih memiliki keluarga indeks sebagai ${\displaystyle \mathbb {N} }$, indeks keluarga biasanya berupa monoid bertingkat, dengan asumsi bahwa jumlah elemen derajat n hingga, untuk setiap bilangan bulat n.

Secara lebih formal, biarkan ${\displaystyle (K,+_{K},\times _{K})}$ menjadi semigelanggang arbitrer dan ${\displaystyle (R,\cdot ,\phi )}$ sebuah monoid bertingkat. Kemudian ${\displaystyle K\langle \langle R\rangle \rangle }$ menunjukkan semigelanggang dari deret pangkat dengan koefisien dalam K indeks oleh R. Elemen-elemennya adalah fungsi dari R hingga K. Jumlah dua elemen ${\displaystyle s,s'\in K\langle \langle R\rangle \rangle }$ didefinisikan berdasarkan titik, itu adalah fungsi ${\displaystyle m\in R}$ ke ${\displaystyle s(m)+_{K}s'(m)}$. Dan hasil kali adalah fungsi ${\displaystyle m\in R}$ ke jumlah tak hingga ${\displaystyle \sum _{p,q\in R,p\cdot q=m}s(p)\times _{K}s'(q)}$. Jumlah ini didefinisikan dengan benar (yaitu, hingga) karena, untuk setiap m, hanya sejumlah pasangan hingga (p, q) sedemikian pq = m.

Contoh

Dalam teori bahasa formal, diberikan alfabet A, monoid bebas kata atas A apabila sebagai monoid bertingkat, dimana bertingkat kata adalah panjangnya.

Lihat pula

• Gelanggang bertingkat asosiatif
• Aljabar bertingkat diferensial
• Aljabar filter, sebuah generalisasi
• Bertingkat (matematika)
• Kategori bertingkat
• Ruang vektor bertingkat
• Aljabar tensor
• Modul bertingkat diferensial

Referensi

1. Sakarovitch, Jacques (2009). "Part II: The power of algebra". Elements of automata theory. Diterjemahkan oleh Thomas, Reuben. Cambridge University Press. hlm. 384. ISBN 978-0-521-84425-3. Zbl 1188.68177. 

• Templat:Lang Algebra.
• Bourbaki, N. (1974). "Ch. 1–3, 3 §3". Algebra I. ISBN 978-3-540-64243-5. 
• Steenbrink, J. (1977). "Intersection form for quasi-homogeneous singularities" (PDF). Compositio Mathematica. 34 (2): 211–223 See p. 211. ISSN 0010-437X. Diarsipkan (PDF) dari versi asli tanggal 2023-03-26. Diakses tanggal 2021-06-26. 

Matsumura, H. (1989). "Teori 5 Dimensi Gelanggang bertingkat S3, fungsi Hilbert dan fungsi Samuel". Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 8. Diterjemahkan oleh Reid, M. (edisi ke-2nd). Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-71712-1. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-07-29. Diakses tanggal 2021-06-26.