Ideal (teori gelanggang)

Templat:Ring theory sidebar

Dalam teori gelanggang, sebuah cabang dari aljabar abstrak, ideal dari gelanggang adalah himpunan bagian khusus dari elemen. Ideal menggeneralisasi himpunan bagian tertentu dari bilangan bulat, seperti bilangan genap atau kelipatan 3. Penambahan dan pengurangan bilangan genap mempertahankan kemerataan, dan mengalikan bilangan genap dengan bilangan bulat lainnya menghasilkan bilangan genap lainnya; penutupan dan sifat absorpsi adalah sifat yang menentukan dari suatu ideal. Ideal dapat digunakan untuk gelanggang hasil bagi dengan cara yang sama di teori grup, subgrup normal dapat digunakan untuk grup hasil bagi.

Di antara bilangan bulat, yang ideal sesuai satu-untuk-satu dengan bilangan bulat non-negatif: dalam gelanggang, ideal adalah ideal pokok yang terdiri dari kelipatan satu bilangan non-negatif. Namun, dalam gelanggang lain, ideal mungkin tidak sesuai langsung dengan elemen gelanggang, dan sifat bilangan bulat tertentu, ketika digeneralisasikan ke gelanggang, lebih alami melekat pada ideal dari elemen. Misalnya, ideal prima gelanggang dianalogikan dengan bilangan prima, dan Teorema sisa bahasa Cina dapat digeneralisasikan menjadi ideal. Ada versi faktorisasi prima unik untuk ideal domain Dedekind (jenis gelanggang yang penting dalam teori bilangan).

Terkait, tetapi berbeda, konsep dari ideal dalam teori orde diturunkan dari gagasan ideal dalam teori gelanggang. Sebuah ideal pecahan adalah generalisasi dari suatu ideal, dan ideal biasa kadang-kadang disebut ideal integral untuk kejelasan.

Ernst Kummer menemukan konsep bilangan ideal yang berfungsi sebagai faktor "hilang" dalam bilangan ideal di mana faktorisasi; di sini kata "ideal" dalam arti berada dalam imajinasi saja, dalam analogi dengan benda "ideal" dalam geometri seperti titik pada tak terhingga.^[1] Pada tahun 1876, Richard Dedekind menggantikan konsep Kummer yang tidak terdefinisi dengan rangkaian bilangan konkret, rangkaian yang disebut ideal, dalam edisi ketiga buku Dirichlet Vorlesungen über Zahlentheorie, yang mana Dedekind telah menambahkan banyak suplemen.^[1][2][3] Kemudian gagasan itu diperluas melampaui bilangan gelanggang ke pengaturan gelanggang polinomial dan gelanggang komutatif lainnya oleh David Hilbert dan terutama Emmy Noether.

Untuk gelanggang alternatif ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$, maka ${\displaystyle (R,+)}$ jadilah grup aditif. Himpunan bagian ${\displaystyle I}$ disebut kiri ideal dari ${\displaystyle R}$ bila subgrup aditif dari ${\displaystyle R}$ yang "menyerap perkalian dari kiri oleh elemen ${\displaystyle R}$"; artinya, ${\displaystyle I}$ adalah kiri ideal bila memenuhi dua kondisi berikut:

1. ${\displaystyle (I,+)}$ adalah subgrup dari ${\displaystyle (R,+),}$
2. Untuk ${\displaystyle r\in R}$ dan ${\displaystyle x\in I}$, produk ${\displaystyle rx}$ adalah ${\displaystyle I}$.

Ideal kanan didefinisikan dengan "r x ∈ I" digantikan oleh "x r ∈ I". Ideal dua sisi adalah ideal kiri yang juga ideal kanan, dan kadang-kadang disebut ideal. Dalam bahasa modul, definisi berarti bahwa ideal kiri (resp. Kanan, dua sisi) dari R adalah kiri (resp. Kanan, bi-) submodul-R dari R ketika R dilihat sebagai modul R . Ketika R adalah gelanggang komutatif, definisi ideal kiri, kanan, dan dua sisi bertepatan, dan istilah ideal.

Untuk memahami konsep ideal, perhatikan bagaimana ideal muncul dalam konstruksi gelanggang "elemen modulo". Untuk konkretnya, lihat gelanggang ℤ_n dari bilangan bulat modulo bilangan bulat tertentu n ∈ ℤ (perhatikan bahwa ℤ adalah gelanggang komutatif). Pengamatan utama di sini adalah yang kita dapatkan ℤ_n dengan mengambil garis bilangan bulat ℤ dan berbagai bilangan bulat dapat diidentifikasi. Dalam melakukannya, kita harus memenuhi dua persyaratan: 1) n harus diidentifikasikan dengan 0 karena n kongruen dengan 0 modulo n , dan 2) struktur yang dihasilkan harus berupa gelanggang. Persyaratan kedua kita membuat identifikasi tambahan (yaitu, menentukan cara yang tepat di mana kita harus membungkus ℤ ). Gagasan tentang ideal muncul ketika kita mengajukan pertanyaan:

Apa himpunan pada bilangan bulat yang harus kita identifikasi dengan 0?

Jawabannya, himpunan nℤ = ( nm | m ∈ ℤ } dari semua bilangan bulat kongruen dengan 0 modulo n . Artinya, kita harus membungkus ℤ di sekitar, sehingga bilangan bulat..., n ⋅ −2, n ⋅ −1, n ⋅ +1, n ⋅ +2, ... akan sejajar dengan 0. Bila kita melihat sifat apa yang harus dipenuhi oleh himpunan ini untuk memastikannya ℤ_n adalah sebuah gelanggang, maka kita sampai pada definisi ideal. Memang, seseorang dapat secara langsung memverifikasi bahwa nℤ adalah ideal dari ℤ.

Remark. Identifikasi dengan elemen selain 0 juga perlu dilakukan. Misalnya, elemen dalam 1 + nℤ harus diidentifikasi dengan 1, elemen dalam 2 + nℤ harus diidentikkan dengan 2, dan seterusnya. Maka, secara ditentukan oleh nℤ karena ℤ adalah grup aditif.

Beberapa hasil dinyatakan hanya untuk ideal kiri tetapi biasanya juga berlaku untuk ideal kanan dengan perubahan notasi yang sesuai.

• Dalam gelanggang R , himpunan R itu sendiri membentuk ideal dua sisi dari R yang disebut unit ideal. Dilambangkan dengan ${\displaystyle (1)}$ karena ini merupakan ideal dua sisi yang dihasilkan (lihat di bawah) oleh kesatuan ${\displaystyle 1_{R}}$. Juga, himpunan ${\displaystyle \{0_{R}\}}$ hanya terdiri dari identitas aditif 0_R membentuk ideal dua sisi yang disebut nol ideal dan dilambangkan dengan ${\displaystyle (0)}$.^{[note 1]} Setiap ideal (kiri, kanan atau dua sisi) berisi ideal nol dan terdapat dalam unit ideal.
• Sebuah ideal (kiri, kanan atau dua sisi) yang bukan unit ideal disebut ideal proper (karena ini adalah himpunan bagian proper).^[4] Catatan: ideal kiri ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ tepat jika dan hanya jika tidak mengandung elemen unit, karena jika ${\displaystyle u\in {\mathfrak {a}}}$ adalah elemen unit, maka ${\displaystyle r=(ru^{-1})u\in {\mathfrak {a}}}$ adalah ${\displaystyle r\in R}$. Biasanya ada banyak cita-cita yang tepat. Faktanya, jika R adalah bidang miring, maka ${\displaystyle (0),(1)}$ adalah satu-satunya ideal dan sebaliknya: artinya, gelanggang bukan nol R adalah bidang miring jika ${\displaystyle (0),(1)}$ adalah satu-satunya ideal kiri (atau kanan). (Bukti: jika ${\displaystyle x}$ adalah elemen bukan nol, maka ideal kiri utama ${\displaystyle Rx}$ (lihat di bawah) adalah bukan nol dan dengan ${\displaystyle Rx=(1)}$; yaitu, ${\displaystyle yx=1}$ untuk beberapa ${\displaystyle y}$ bukan nol. Demikian pula, ${\displaystyle zy=1}$ untuk beberapa ${\displaystyle z}$ bukan nol. Kemudian ${\displaystyle z=z(yx)=(zy)x=x}$.)
• Bilangan bulat genap membentuk ideal dengan gelanggang ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ dari semua bilangan bulat; dilambangkan dengan ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$. Karena jumlah dari semua bilangan bulat genap, dan hasil kali dari bilangan bulat apa pun dengan bilangan bulat genap juga genap. Demikian pula, himpunan semua bilangan bulat habis dibagi dengan bilangan bulat tetap n adalah ideal dilambangkan ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$.
• Himpunan dari semua polinomial dengan koefisien riil yang habis dibagi oleh polinomial x² + 1 adalah ideal di atas semua polinomial.
• Himpunan semua n-oleh-n matriks yang baris terakhirnya nol membentuk ideal kanan di ring semua matriks n-oleh-n. Ini bukanlah ideal kiri. Himpunan dari semua matriks n-oleh-n yang kolom terakhirnya nol membentuk ideal kiri tetapi bukan ideal kanan.
• Gelanggang ${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$ dari semua fungsi kontinu s f dari ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ke ${\displaystyle \mathbb {R} }$ di bawah perkalian pointwise berisi ideal dari semua fungsi kontinu f sehingga f(1) = 0. Ideal lain dalam ${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$ diberikan oleh fungsi-fungsi yang menghilang untuk argumen yang cukup besar, yaitu fungsi berkelanjutan f yang memiliki bilangan L > 0 seperti f(x) = 0 adalah |x| > L.
• Sebuah gelanggang disebut gelanggang sederhana jika bukan nol dan tidak memiliki dua sisi ideal selain ${\displaystyle (0),(1)}$. Jadi, bidang miring sederhana dan gelanggang komutatif sederhana adalah bidang. Gelanggang matriks di atas bidang miring adalah gelanggang sederhana.

Untuk menyederhanakan deskripsi, semua gelanggang diasumsikan komutatif. Kasus non-komutatif dibahas secara rinci di artikel masing-masing.

Ideal penting karena mereka muncul sebagai inti dari homomorfisme gelanggang dan memungkinkan seseorang untuk menentukan gelanggang faktor. Berbagai jenis ideal dipelajari karena dapat digunakan untuk membangun berbagai jenis gelanggang faktor.

• Ideal maksimal: Ideal I disebut ideal maksimal jika tidak ada ideal lain J dengan I himpunan bagian yang tepat dari J . Gelanggang faktor dari ideal maksimal adalah gelanggang sederhana secara umum dan bidang untuk gelanggang komutatif.^[5]
• Ideal minimal: Ideal bukan-nol disebut minimal jika tidak mengandung ideal bukan-nol lainnya.
• Ideal prima: Ideal I disebut ideal utama jika a dan b di R , jika ab dengan I , maka setidaknya satu dari a dan b ada di I .
• Ideal radikal atau ideal semiprima: Sebuah ideal I disebut radikal atau semiprima jika untuk a dalam R , jika aⁿ dengan I untuk beberapa n , maka a dengan I .
• Ideal primer
• Ideal prinsip
• Ideal generasi finiter
• Ideal primitif
• Ideal ireduksi
• Comaximal ideals: Dua ideal ${\displaystyle {\mathfrak {i}},{\mathfrak {j}}}$ dikatakan sebagai komaksimal if ${\displaystyle x+y=1}$ untuk beberapa ${\displaystyle x\in {\mathfrak {i}}}$ dan ${\displaystyle y\in {\mathfrak {j}}}$.
• Ideal biasa
• Ideal Nil
• Ideal nilpoten
• Ideal parameter: ideal yang dihasilkan oleh sistem parameter.

Jumlah dan produk ideal didefinisikan sebagai berikut. Untuk ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ dan ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$, kiri (resp. kanan) ideal dari sebuah gelanggang R , jumlahnya adalah

${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}:=\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ dan }}b\in {\mathfrak {b}}\}}$,

yang merupakan ideal kiri (resp. kanan), dan, jika ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$ are two-sided,

${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}:=\{a_{1}b_{1}+\dots +a_{n}b_{n}\mid a_{i}\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ dan }}b_{i}\in {\mathfrak {b}},i=1,2,\dots ,n;{\mbox{ for }}n=1,2,\dots \},}$

yaitu produk adalah ideal yang dihasilkan oleh semua produk dalam bentuk ab dengan a adalah ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ dan b adalah ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$.

Catatan ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}$ adalah ideal kiri (resp. kanan) terkecil keduanya ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ and ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ (atau satuan ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cup {\mathfrak {b}}}$), sedangkan produk ${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$ terkandung ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ dan ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$.

Hukum distributif berlaku untuk ideal dua sisi ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}}}$,

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}}$,
• ${\displaystyle ({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}){\mathfrak {c}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}}$.

Jika suatu perkalian diganti dengan sebuah persimpangan, hukum distributif parsial berlaku:

${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap ({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})\supset {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}}$

dimana kesetaraan jika ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ dengan ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ atau ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$.

Catatan: Jumlah dan ideal; dengan dua operasi sebagai gabung dan temu, himpunan semua ideal dari sebuah gelanggang membentuk sebuah lengkap kisi modular. Kisi pada umumnya bukan merupakan kisi distributif. Tiga operasi perpotongan, penjumlahan (atau penggabungan), dan hasil kali membuat himpunan ideal dari sebuah gelanggang komutatif menjadi sebuah kuantale.

Dalam ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle (n)\cap (m)=\operatorname {lcm} (n,m)\mathbb {Z} }$

maka ${\displaystyle (n)\cap (m)}$ adalah himpunan bilangan bulat yang dapat dibagi oleh ${\displaystyle n}$ dan ${\displaystyle m}$.

Maka ${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y,z,w]}$ dan ${\displaystyle I=(z,w),{\text{ }}J=(x+z,y+w),{\text{ }}K=(x+z,w)}$. Sehingga,

• ${\displaystyle I+J=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)}$ dan ${\displaystyle I+K=(z,w,x+z)}$
• ${\displaystyle IJ=(z(x+z),z(y+w),w(x+z),w(y+w))=(z^{2}+xz,zy+wz,wx+wz,wy+w^{2})}$
• ${\displaystyle IK=(xz+z^{2},zw,xw+zw,w^{2})}$
• ${\displaystyle I\cap J=IJ}$ sedangkan ${\displaystyle I\cap K=(w,xz+z^{2})\neq IK}$

Dalam perhitungan pertama, kita melihat pola umum untuk mengambil jumlah dari dua ideal yang dihasilkan hingga, itu adalah ideal yang dihasilkan oleh penyatuan generator mereka. Dalam tiga yang terakhir kami mengamati bahwa produk dan persimpangan setuju setiap kali dua ideal berpotongan dalam ideal nol. Perhitungan ini dapat diperiksa menggunakan Macaulay2.^[6][7][8]

Ideal muncul secara alamiah dalam pembelajaran modul, terutama yang berbentuk radikal.

Karena R menjadi gelanggang komutatif. Menurut definisi, ideal primitif dari R adalah annihilator dari a (bukan nol) sederhana modul- R . Radikal Jacobson ${\displaystyle J=\operatorname {Jac} (R)}$ of R adalah persimpangan dari semua cita-cita primitif. Sama halnya,

${\displaystyle J=\bigcap _{{\mathfrak {m}}{\text{ ideal maksimal}}}{\mathfrak {m}}.}$

Memang, jika ${\displaystyle M}$ adalah modul sederhana dan x adalah elemen bukan nol di M , maka ${\displaystyle Rx=M}$ dan ${\displaystyle R/\operatorname {Ann} (M)=R/\operatorname {Ann} (x)\simeq M}$, berarti ${\displaystyle \operatorname {Ann} (M)}$ adalah ideal maksimal. Sebaliknya jika ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ adalah ideal maksimal, maka ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ adalah annihilator dari modul sederhana ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$. Ada juga penokohan lain (buktinya tidak sulit):

${\displaystyle J=\{x\in R\mid 1-yx\,{\text{ adalah elemen unit untuk }}y\in R\}.}$

Untuk gelanggang yang tidak perlu komutatif, ini adalah fakta umum bahwa ${\displaystyle 1-yx}$ adalah elemen unit jika dan hanya jika ${\displaystyle 1-xy}$ adalah (lihat link) dan karakterisasi terakhir ini menunjukkan bahwa radikal dapat didefinisikan baik dari segi ideal primitif kiri dan kanan.

Fakta sederhana namun penting berikut (lemma Nakayama) adalah bawaan dari definisi radikal Jacobson: jika M adalah modul sehingga ${\displaystyle JM=M}$, maka M tidak menerima submodul maksimal, karena jika ada submodul maksimal ${\displaystyle L\subsetneq M}$, ${\displaystyle J\cdot (M/L)=0}$ dan ${\displaystyle M=JM\subset L\subsetneq M}$, sebuah kontradiksi. Karena bukan nol modul finiter hingga menerima submodul maksimal, khususnya, yang satu memiliki:

Jika ${\displaystyle JM=M}$ dan M dibuat tak terbatas ${\displaystyle M=0.}$

Ideal maksimal adalah ideal utama dan begitulah yang dimilikinya

${\displaystyle \operatorname {nil} (R)=\bigcap _{{\mathfrak {p}}{\text{ ideal prima}}}{\mathfrak {p}}\subset \operatorname {Jac} (R)}$

dimana perpotongan di sebelah kiri disebut nilradikal dari R . Ternyata, ${\displaystyle \operatorname {nil} (R)}$ juga himpunan elemen nilpoten dari R .

Jika R adalah gelanggang Artinian, maka ${\displaystyle \operatorname {Jac} (R)}$ adalah nilpoten dan ${\displaystyle \operatorname {nil} (R)=\operatorname {Jac} (R)}$. (Bukti: catatan pertama DCC menyiratkan ${\displaystyle J^{n}=J^{n+1}}$ untuk beberapa n . Jika (DCC) ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\supsetneq \operatorname {Ann} (J^{n})}$ adalah ideal minimal yang terakhir, lalu ${\displaystyle J\cdot ({\mathfrak {a}}/\operatorname {Ann} (J^{n}))=0}$. Itu adalah, ${\displaystyle J^{n}{\mathfrak {a}}=J^{n+1}{\mathfrak {a}}=0}$, kontradiksi.)

• Aritmetika modular
• Teorema isomorfisme noether
• Teorema ideal prima Boolean
• Teori ideal
• Ideal (teori urutan)
• Norma ideal
• Pemisah ideal utama dalam ekstensi Galois
• Berkas ideal

• Levinson, Jake (July 14, 2014). "The Geometric Interpretation for Extension of Ideals?". Stack Exchange.