Subgrup

Untuk kegunaan lain, lihat Subgrup (disambiguasi).

Di teori grup, cabang matematika, diberi grup G di bawah operasi biner ∗, himpunan bagian H dari G disebut subgrup dari G jika H juga membentuk grup di bawah operasi ∗. Lebih tepatnya, H adalah subgrup dari G jika restriksi dari ∗ ke H × H adalah operasi grup di H. Ini biasanya dilambangkan H ≤ G, dibaca sebagai "H adalah subgrup dari G".

Coset dan teorema Lagrange

Artikel utama: Coset dan Teorema Lagrange (teori grup)

Diberikan subgrup H dan beberapa a di G, kita mendefinisikan kiri coset aH = {ah : h in H}. Karena a bisa dibalik, peta φ : H → aH diberikan pada φ(h) = ah adalah bijeksi. Lebih jauh, setiap elemen G terkandung tepat di satu koset kiri H ; koset kiri adalah kelas kesetaraan yang sesuai dengan relasi ekivalen a₁ ~ a₂ jika dan hanya jika a₁^−1a₂ ada di H. Jumlah koset kiri H disebut indeks dari H dalam G dan dilambangkan dengan [G : H].

Teorema Lagrange menyatakan bahwa untuk grup berhingga G dan subgrup H,

${\displaystyle [G:H]={|G| \over |H|}}$

dimana |G| dan |H| menunjukkan urutan dari G dan H, masing-masing. Secara khusus, urutan setiap subkelompok G (dan urutan setiap elemen G) harus berupa pembagi dari |G|.[1][2]

Contoh: Subgrup Z₈

Maka G jadikan grup siklik ke Z₈ maka hasil elemen

${\displaystyle G=\left\{0,2,4,6,1,3,5,7\right\}}$

dan yang operasi grupnya adalah penambahan modulo delapan. Tabel Cayley adalah

+	0	2	4	6	1	3	5	7
0	0	2	4	6	1	3	5	7
2	2	4	6	0	3	5	7	1
4	4	6	0	2	5	7	1	3
6	6	0	2	4	7	1	3	5
1	1	3	5	7	2	4	6	0
3	3	5	7	1	4	6	0	2
5	5	7	1	3	6	0	2	4
7	7	1	3	5	0	2	4	6

Grup ini memiliki dua subgrup nontrivial: J={0,4} and H={0,2,4,6}, dimana J juga merupakan subgrup dari H. Tabel Cayley untuk H adalah kuadran kiri atas tabel Cayley untuk G . Grup G adalah siklik, dan juga subgrupnya.

Contoh: Subgrup S₄ (grup simetris pada 4 elemen)

Setiap grup memiliki subgrup kecil sebanyak elemen netral pada diagonal utama:

The trivial group and two-element groups Z₂. These small subgroups are not counted in the following list.

The symmetric group S4 showing all permutations of 4 elements

All 30 subgroups Simplified Hasse diagrams of the lattice of subgroups of S4

12 elements

The alternating group A₄ showing only the even permutations

Subgroups:

8 elements

Dihedral group of order 8 Subgroups:

Dihedral group of order 8 Subgroups:

Dihedral group of order 8 Subgroups:

6 elements

Symmetric group S3 Subgroup:

Symmetric group S3 Subgroup:

Symmetric group S3 Subgroup:

Symmetric group S3 Subgroup:

4 elements

Klein four-group

Klein four-group

Klein four-group

Klein four-group

Cyclic group Z4

Cyclic group Z4

Cyclic group Z4

3 elements

Cyclic group Z3

Cyclic group Z3

Cyclic group Z3

Cyclic group Z3

Lihat pula

• Subgrup Cartan
• Subgrup pas
• Subgrup stabil
• Subgrup titik tetap
• Tes subgrup

Catatan

1. Melihat sebuah didactic proof in this video.
2. S., Dummit, David (2004). Abstract algebra. Foote, Richard M., 1950- (edisi ke-3.). Hoboken, NJ: Wiley. hlm. 90. ISBN 9780471452348. OCLC 248917264. 

Referensi

• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 1 (edisi ke-2nd), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 .
• Hungerford, Thomas (1974), Algebra (edisi ke-1st), Springer-Verlag, ISBN 9780387905181 .
• Artin, Michael (2011), Algebra (edisi ke-2nd), Prentice Hall, ISBN 9780132413770 .
• S., Dummit, David (2004). Abstract algebra. Foote, Richard M., 1950- (edisi ke-3.). Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 9780471452348. OCLC 248917264.