Klasifikasi grup sederhana hingga

Dalam matematika, klasifikasi hingga grup sederhana adalah teorema yang menyatakan bahwa setiap grup sederhana hingga adalah siklik, atau bergantian, atau itu milik kelas luas tak terbatas yang disebut grup jenis Lie, atau yang lain itu adalah salah satu dari dua puluh enam atau dua puluh tujuh pengecualian, yang disebut sporadis. Teori grup adalah pusat dari banyak bidang matematika murni dan terapan dan teorema klasifikasi telah disebut sebagai salah satu pencapaian intelektual terbesar umat manusia.^[1] Buktinya terdiri dari puluhan ribu halaman dalam beberapa ratus artikel jurnal yang ditulis oleh sekitar 100 penulis, sebagian besar diterbitkan antara tahun 1955 dan 2004.

Grup sederhana dapat dilihat sebagai blok bangunan dasar dari semua grup hingga, mengingatkan pada cara bilangan prima s adalah blok bangunan dasar dari bilangan asli. Teorema Jordan–Hölder adalah cara yang lebih tepat untuk menyatakan fakta tentang grup berhingga. Namun, perbedaan yang signifikan dari faktorisasi bilangan bulat adalah bahwa "blok penyusun" tersebut tidak selalu menentukan grup yang unik, karena mungkin ada banyak grup non isomorfik dengan rangkaian komposisi yang sama atau, dengan kata lain, masalah ekstensi tidak memiliki solusi unik.

Gorenstein (d.1992), Lyons, dan Solomon secara bertahap menerbitkan versi bukti yang disederhanakan dan direvisi.

Pernyataan teorema klasifikasi

Teorema — Setiap finit grup sederhana isomorfik ke salah satu grup berikut:

anggota salah satu dari tiga kelas tak terhingga seperti itu, yaitu:
- grup siklik orde utama,
- kelompok alternatif dengan derajat setidaknya 5,
- grup jenis Lie^{[note 1]}
salah satu dari 26 kelompok yang disebut "grup sporadis"
Grup Tits (yang terkadang dianggap sebagai grup sporadis ke-27).^{[note 1]}

Teorema klasifikasi memiliki aplikasi di banyak cabang matematika, sebagai pertanyaan tentang struktur grup hingga (dan tindakan mereka pada objek matematika lainnya) terkadang dapat direduksi menjadi pertanyaan tentang grup sederhana hingga. Berkat teorema klasifikasi, pertanyaan semacam itu terkadang dapat dijawab dengan memeriksa setiap keluarga dari kelompok sederhana dan setiap kelompok sporadis.

Daniel Gorenstein mengumumkan pada tahun 1983 bahwa semua grup finite simple telah diklasifikasikan, tetapi ini terlalu dini karena dia telah salah informasi tentang bukti klasifikasi grup kuasithin. Bukti lengkap klasifikasi diumumkan oleh (Aschbacher 2004) setelah Aschbacher dan Smith menerbitkan bukti 1221 halaman untuk kasus kuasithin yang hilang.

Sekilas tentang bukti teorema klasifikasi

Gorenstein (1982, 1983) menulis dua volume yang menguraikan bagian rendah dan karakteristik ganjil dari bukti, dan Michael Aschbacher, Richard Lyons, and Stephen D. Smith et al. (2011) tulis volume ke-3 yang mencakup kasus karakteristik 2 yang tersisa. Buktinya dapat dipecah menjadi beberapa bagian besar sebagai berikut:

Grup kecil 2-rank

Grup sederhana dari 2-peringkat sebagian besar adalah grup jenis Lie dengan peringkat kecil di atas bidang dengan karakteristik ganjil, bersama-sama dengan lima bergantian dan tujuh tipe 2 karakteristik dan sembilan kelompok sporadis.

Gruo sederhana peringkat 2 kecil meliputi:

Grup peringkat-2 0, dengan kata lain grup berurutan ganjil, yang semuanya dapat diselesaikan oleh Teorema Feit–Thompson.
Grup dengan peringkat 2 1. Subgrup Sylow 2 dapat berupa siklik, yang mudah ditangani menggunakan peta transfer, atau digeneralisasikan angka empat, yang ditangani dengan Teorema Brauer–Suzuki: khususnya tidak ada grup sederhana dari peringkat 2 1.
Grup 2-peringkat 2. Alperin menunjukkan bahwa subgrup Sylow harus dihedral, kuasidihedral, karangan bunga, atau subgrup Sylow 2 U₃(4). Kasus pertama dilakukan oleh Teorema Gorenstein–Walter yang menunjukkan bahwa satu-satunya kelompok sederhana yang isomorfik L₂(q) untuk q ganjil atau A₇, kasus kedua dan ketiga dilakukan oleh Teorema Alperin–Brauer–Gorenstein yang menyiratkan bahwa satu-satunya grup sederhana yang isomorfik untuk L₃(q) atau U₃(q) untuk q ganjil atau M₁₁, dan kasus terakhir dilakukan oleh Lyons yang menunjukkan itu U₃(4) adalah satu-satunya kemungkinan sederhana.
Grup bagian peringkat 2 paling banyak 4, diklasifikasikan oleh Teorema Gorenstein–Harada.

Klasifikasi grup peringkat 2 kecil, terutama peringkat paling banyak 2, banyak menggunakan teori karakter biasa dan modular, yang hampir tidak pernah langsung digunakan di tempat lain dalam klasifikasi.

Semua grup bukan dari peringkat 2 kecil dapat dibagi menjadi dua kelas utama: grup jenis komponen dan grup jrnis karakteristik 2. Ini karena jika sebuah grup memiliki bagian 2-peringkat setidaknya 5 maka MacWilliams menunjukkan bahwa 2-subgrup Sylow terhubung, dan teorema keseimbangan menyiratkan bahwa setiap grup sederhana dengan 2-subgrup Sylow yang terhubung adalah salah satu dari tipe komponen atau tipe karakteristik 2. (Untuk grup dengan peringkat 2 rendah, bukti ini rusak, karena teorema seperti teorema fungsi pemberi sinyal hanya bekerja untuk grup dengan subgrup abelian dasar dengan peringkat setidaknya 3.)

Grup jenis komponen

Suatu kelompok dikatakan dari tipe komponen jika untuk beberapa pemusat C dari suatu involusi, C/O(C) memiliki komponen (di mana O(C) adalah inti dari C , subkelompok normal maksimal dengan urutan ganjil). Ini kurang lebih adalah grup jenis Lie dengan karakteristik ganjil dari pangkat besar, dan grup bergantian, bersama dengan beberapa grup sporadis. Langkah utama dalam kasus ini adalah menghilangkan halangan pada inti suatu involusi. Ini dicapai dengan Teorema-B, yang menyatakan bahwa setiap komponen C/O(C) adalah gambar dari komponen C .

Idenya adalah bahwa grup ini memiliki pemusat dari suatu involusi dengan komponen yang merupakan grup kuasi sederhana yang lebih kecil, yang dapat diasumsikan sudah diketahui dengan induksi. Jadi untuk mengklasifikasikan grup-grup ini, seseorang mengambil setiap perluasan pusat dari setiap grup sederhana hingga yang diketahui, dan temukan semua grup sederhana dengan pemusat involusi dengan ini sebagai komponen. Ini memberikan sejumlah besar kasus berbeda untuk diperiksa: Tidak hanya 26 gruo sporadis dan 16 keluarga grup jenis Lie dan grup bergantian, tetapi juga banyak dari grup peringkat kecil atau di atas bidang kecil berperilaku berbeda dari kasus umum dan harus diperlakukan secara terpisah, dan grup jenis Lie dengan karakteristik genap dan ganjil juga sangat berbeda.

Grup dengan tipe 2 karakteristik

Sebuah grup memiliki karakteristik tipe 2 jika subgrup Fitting umum F*(Y) dari setiap 2 subgrup lokal Y adalah 2-grup. Seperti namanya, ini secara kasar adalah grup jenis Lie di atas bidang karakteristik 2, ditambah beberapa lainnya yang berselang-seling atau sporadis atau karakteristik aneh. Klasifikasi mereka dibagi menjadi kasus peringkat kecil dan besar, di mana peringkat adalah peringkat terbesar dari subgrup abelian ganjil yang menormalkan 2-subgrup nontrivial, yang sering (tetapi tidak selalu) sama dengan pangkat subaljabar Cartan ketika grup tersebut adalah grup jenis Lie dalam karakteristik 2.

Grup peringkat 1 adalah grup tipis, diklasifikasikan oleh Aschbacher, dan grup peringkat 2 adalah grup kuasitin terkenal, diklasifikasikan oleh Aschbacher dan Smith. These correspond roughly to groups of Lie type of ranks 1 or 2 over fields of characteristic 2.

Grup dari peringkat setidaknya 3 dibagi lagi menjadi 3 kelas oleh teorema trikotomi, dibuktikan oleh Aschbacher untuk peringkat 3 dan oleh Gorenstein dan Lyons untuk peringkat setidaknya 4. Ketiga kelas tersebut adalah kelompok tipe GF (2) (diklasifikasikan terutama oleh Timmesfeld), kelompok "tipe standar" untuk beberapa bilangan prima ganjil (diklasifikasikan oleh teorema Gilman–Griess dan dikerjakan oleh beberapa lainnya), dan grup jenis keunikan, di mana hasil dari Aschbacher menyiratkan bahwa tidak ada grup sederhana. Kasus umum peringkat yang lebih tinggi sebagian besar terdiri dari grup jenis Lie atas bidang karakteristik 2 dari peringkat setidaknya 3 atau 4.

Keberadaan dan keunikan grup sederhana

Bagian utama dari klasifikasi menghasilkan karakterisasi dari setiap grup sederhana. Kemudian perlu untuk memeriksa bahwa terdapat grup sederhana untuk setiap karakterisasi dan itu unik. Ini memberikan sejumlah besar masalah terpisah; misalnya, bukti asli keberadaan dan keunikan grup monster berjumlah sekitar 200 halaman, dan identifikasi grup Ree oleh Thompson dan Bombieri adalah salah satu bagian tersulit dari klasifikasi. Banyak bukti keberadaan dan beberapa bukti keunikan untuk grup sporadis awalnya menggunakan perhitungan komputer, yang sebagian besar telah digantikan oleh bukti tangan yang lebih pendek.

Sejarah pembuktian

Program Gorenstein

Pada tahun 1972 (Gorenstein 1979, Appendix) mengumumkan program untuk menyelesaikan klasifikasi kelompok sederhana hingga, yang terdiri dari 16 langkah berikut:

Grup peringkat 2 rendah. Ini pada dasarnya dilakukan oleh Gorenstein dan Harada, yang mengklasifikasikan kelompok dengan peringkat 2 bagian paling banyak 4. Sebagian besar kasus peringkat 2 paling banyak 2 telah dilakukan pada saat Gorenstein mengumumkan programnya.
Kesederhanaan 2-lapisan. Masalahnya adalah untuk membuktikan bahwa 2-lapis pemusat dari suatu involusi dalam sebuah grup sederhana adalah semi sederhana.
Bentuk standar dengan ciri ganjil. Jika suatu kelompok memiliki involusi dengan 2 komponen itu merupakan grup tipe Lie dengan karakteristik ganjil, tujuannya adalah untuk menunjukkan bahwa ia memiliki pemusat dari involusi dalam "bentuk standar" yang berarti bahwa pemusat dari involusi memiliki komponen yang berjenis Lie dengan karakteristik ganjil dan juga memiliki pusat.
Klasifikasi kelompok tipe ganjil. Masalahnya adalah untuk menunjukkan bahwa jika suatu kelompok memiliki pemusatan involusi dalam "bentuk standar" maka itu adalah grup jenis Lie dengan karakteristik ganjil. Ini dipecahkan oleh teorema involusi klasik Aschbacher.
Bentuk kuasi-standar
Revolusi pusat
Klasifikasi grup bergantian.
Beberapa grup sporadis
Kelompok kurus. Kelompok terbatas tipis sederhana, mereka dengan 2-lokal p peringkat paling banyak 1 untuk bilangan prima ganjil p , diklasifikasikan oleh Aschbacher pada tahun 1978
Grup dengan subgrup yang tertanam kuat untuk p ganjil
Metode fungsi pemberi sinyal untuk bilangan prima ganjil. Masalah utama adalah membuktikan teorema fungsi pemberi sinyal untuk fungsi pemberi sinyal yang tidak dapat diselesaikan. Ini diselesaikan oleh McBride pada tahun 1982.
Kelompok tipe karakteristik p . Ini adalah masalah grup dengan p yang kuat, subgrup 2-lokal tertanam dengan p ganjil, yang ditangani oleh Aschbacher.
Grup kuasithin. A grup quasithin adalah salah satu yang 2-subgrup lokalnya memiliki p peringkat paling banyak 2 untuk semua bilangan prima ganjil p , dan masalahnya adalah untuk mengklasifikasikan yang sederhana dari tipe karakteristik 2. Ini diselesaikan oleh Aschbacher dan Smith pada tahun 2004.
Grup peringkat 3 rendah 2 lokal. Ini pada dasarnya dipecahkan oleh teorema trikotomi Aschbacher untuk kelompok dengan e(G)=3. Perubahan utama adalah bahwa peringkat-3 2-lokal diganti dengan peringkat 2-lokal p untuk bilangan prima ganjil.
Pemusat dari 3 elemen dalam bentuk standar. Ini pada dasarnya dilakukan oleh Teorema trikotomi.
Klasifikasi grup sederhana dengan karakteristik 2 tipe. Ini ditangani oleh Teorema Gilman – Griess, dengan 3-elemen diganti dengan p elemen untuk bilangan prima ganjil.

Garis waktu pembuktian

Banyak dari item dalam daftar di bawah ini diambil dari (Solomon 2001). Tanggal yang diberikan biasanya tanggal publikasi bukti lengkap hasil, yang terkadang beberapa tahun lebih lambat dari bukti atau pengumuman pertama hasilnya, jadi beberapa item muncul dalam urutan yang "salah".

Tanggal penerbitan
1832	Galois memperkenalkan subgrup normal dan menemukan grup sederhana A_n (n ≥ 5) and PSL₂(F_p) (p ≥ 5)
1854	Cayley mendefinisikan grup abstrak
1861	Mathieu menjelaskan dua grup Mathieu yang pertama M₁₁, M₁₂, kelompok sederhana sporadis pertama, dan mengumumkan keberadaan M₂₄.
1870	Jordan mendaftar beberapa grup sederhana: grup linear khusus bolak-balik dan proyektif, dan menekankan pentingnya grup sederhana.
1872	Sylow membuktikan Teorema Sylow
1873	Mathieu memperkenalkan tiga lagi grup Mathieu M₂₂, M₂₃, M₂₄.
1892	Hölder membuktikan bahwa urutan grup sederhana hingga nonabelian harus merupakan produk dari setidaknya empat (tidak harus berbeda) bilangan prima, dan meminta klasifikasi grup sederhana hingga.
1893	Cole mengklasifikasikan grup pesanan sederhana hingga 660
1896	Frobenius dan Burnside memulai studi teori karakter grup hingga.
1899	Burnside mengklasifikasikan grup sederhana sehingga pemusat dari setiap involusi adalah grup-2 abelian dasar non-sepele.
1901	Frobenius membuktikan bahwa grup Frobenius memiliki kernel Frobenius, jadi secara khusus tidaklah sederhana.
1901	Dickson mendefinisikan kelompok klasik atas bidang terbatas sewenang-wenang, dan kelompok jenis yang luar biasa G₂ di atas bidang dengan karakteristik aneh.
1901	Dickson memperkenalkan grup tipe sederhana hingga yang luar biasa E₆.
1904	Burnside menggunakan teori karakter untuk membuktikan Teorema Burnside bahwa urutan setiap grup sederhana berhingga non-abelian harus habis dibagi oleh setidaknya 3 bilangan prima yang berbeda.
1905	Dickson memperkenalkan grup sederhana tipe G₂ di atas bidang dengan karakteristik genap
1911	Konjektur Burnside bahwa setiap kelompok sederhana hingga non-abelian memiliki urutan yang sama
1928	Hall membuktikan keberadaan Subgrup Hall dari kelompok yang dapat dipecahkan
1933	Hall memulai studinya tentang grup p
1935	Brauer memulai studi tentang karakter modular.
1936	Zassenhaus mengklasifikasikan grup permutasi 3-transitif hingga tajam
1938	Fitting memperkenalkan subgrup Fitting dan membuktikan teorema Fitting bahwa untuk grup terlarut subgrup Fitting berisi pemusatnya.
1942	Brauer mendeskripsikan karakter modular grup yang dapat dibagi oleh bilangan prima hingga pangkat pertama.
1954	Brauer mengklasifikasikan grup sederhana dengan GL₂(F_q) sebagai pemusat dari suatu involusi.
1955	Teorema Brauer–Fowler menyiratkan bahwa jumlah gugus sederhana berhingga dengan pemusatan involusi tertentu adalah terbatas, menyarankan serangan terhadap klasifikasi menggunakan sentralisasi dari involusi.
1955	Chevalley memperkenalkan Grup Chevalley, yang secara khusus memperkenalkan grup tipe sederhana yang luar biasa F₄, E₇, and E₈.
1956	Teorema Hall–Higman
1957	Suzuki menunjukkan bahwa semua grup CA sederhana hingga berurutan ganjil adalah siklik.
1958	Teorema Brauer–Suzuki–Wall mencirikan grup linear khusus proyektif dari peringkat 1, dan mengklasifikasikan grup CA sederhana.
1959	Steinberg memperkenalkan Grup Steinberg, memberikan beberapa kelompok terbatas baru, dari jenis ³D₄ and ²E₆ (the latter were independently found at about the same time by Tits).
1959	Teorema Brauer–Suzuki tentang grup dengan subgrup Sylow 2-subkelompok kuartener umum menunjukkan secara khusus bahwa tidak ada yang sederhana.
1960	Thompson membuktikan bahwa grup dengan automorfisme tetap-titik-bebas dari orde utama adalah nilpoten.
1960	Feit, Marshall Hall, dan Thompson menunjukkan bahwa semua grup CN sederhana berhingga dari urutan ganjil adalah siklik.
1960	Suzuki memperkenalkan Grup Suzuki, dengan tipe ²B₂.
1961	Ree memperkenalkan grup Ree, dengan tipe ²F₄ dan ²G₂.
1963	Feit dan Thompson membuktikan teorema urutan ganjil.
1964	Tits memperkenalkan pasangan BN untuk grup tipe Lie dan menemukan Grup Tits
1965	Teorema Gorenstein–Walter mengklasifikasikan grup dengan subgrup Sylow 2 dihedral.
1966	Glauberman membuktikan teorema Z*
1966	Janko memperkenalkan Janko grup J1, kelompok sporadis baru pertama selama sekitar satu abad.
1968	Glauberman membuktikan teorema ZJ
1968	Higman dan Sims memperkenalkan grup Higman–Sims
1968	Conway memperkenalkan grup Conway
1969	Teorema Walter mengklasifikasikan kelompok dengan 2-subkelompok abelian Sylow
1969	Pengenalan Grup sporadis Suzuki, Grup Janko J2, Grup Janko J3, Grup McLaughlin, dan grup Held.
1969	Gorenstein memperkenalkan fungsi pemberi sinyal berdasarkan ide Thompson.
1970	MacWilliams menunjukkan bahwa 2-kelompok tanpa subkelompok abelian normal peringkat 3 memiliki bagian 2-peringkat paling banyak 4. (Grup sederhana dengan subkelompok Sylow memenuhi kondisi terakhir kemudian diklasifikasikan oleh Gorenstein dan Harada.)
1970	Bender memperkenalkan subgrup Fitting umum
1970	Teorema Alperin–Brauer–Gorenstein mengklasifikasikan kelompok dengan subkelompok 2 Sylow kuasi-dihedral atau dilingkari, melengkapi klasifikasi kelompok sederhana peringkat 2 paling banyak 2
1971	Fischer memperkenalkan tiga grup Fischer
1971	Thompson mengklasifikasikan pasangan kuadrat
1971	Bender mengklasifikasikan grup dengan subgrup tertanam kuat
1972	Gorenstein mengusulkan program 16 langkah untuk mengklasifikasikan kelompok sederhana hingga; klasifikasi terakhir mengikuti garis besarnya cukup dekat.
1972	Lyons memperkenalkan grup Lyons
1973	Rudvalis introduces the Rudvalis group
1973	Fischer menemukan grup monster bayi (tidak diterbitkan), yang digunakan Fischer dan Griess untuk menemukan grup monster, yang pada gilirannya membawa Thompson ke grup sporadis Thompson dan Norton ke grup Harada–Norton (juga ditemukan dengan cara berbeda oleh Harada).
1974	Thompson mengklasifikasikan N-grup, grup yang semua sub grup lokalnya dapat dipecahkan.
1974	Teorema Gorenstein–Harada mengklasifikasikan kelompok sederhana tingkat 2 bagian paling banyak 4, membagi kelompok sederhana hingga yang tersisa menjadi kelompok jenis komponen dan kelompok jenis karakteristik 2.
1974	Tits menunjukkan bahwa kelompok dengan Pasangan BN dengan pangkat minimal 3 adalah kelompok tipe Lie
1974	Aschbacher mengklasifikasikan grup dengan 2 inti dihasilkan yang tepat
1975	Gorenstein dan Walter membuktikan Teorema keseimbangan-L
1976	Glauberman membuktikan teorema fungsi pemberi sinyal yang dapat dipecahkan
1976	Aschbacher membuktikan teorema komponen, menunjukkan secara kasar bahwa kelompok tipe ganjil yang memenuhi beberapa kondisi memiliki komponen dalam bentuk standar. Kelompok dengan komponen formulir standar diklasifikasikan dalam kumpulan besar makalah oleh banyak penulis.
1976	O'Nan memperkenalkan grup O'Nan
1976	Janko memperkenalkan Janko grup J4, kelompok sporadis terakhir yang ditemukan
1977	Aschbacher mencirikan kelompok tipe Lie dengan karakteristik ganjil dalam teorema involusi klasik. Setelah teorema ini, yang dalam beberapa hal berhubungan dengan "sebagian besar" dari kelompok sederhana, umumnya dirasakan bahwa akhir dari klasifikasi sudah di depan mata.
1978	Timmesfeld membuktikannya O₂ teorema ekstra-khusus, memecah klasifikasi grup jenis GF (2) menjadi beberapa masalah yang lebih kecil.
1978	Aschbacher mengklasifikasikan grup hingga tipis, yang sebagian besar merupakan kelompok peringkat 1 tipe Lie di atas bidang dengan karakteristik genap.
1981	Bombieri menggunakan teori eliminasi untuk menyelesaikan pekerjaan Thompson tentang karakterisasi grup Ree, salah satu langkah klasifikasi tersulit.
1982	McBride membuktikan teorema fungsi pemberi sinyal untuk semua grup hingga.
1982	Griess membangun grup monster dengan tangan
1983	Teorema Gilman–Griess mengklasifikasikan kelompok dengan tipe karakteristik 2 dan peringkat setidaknya 4 dengan komponen standar, salah satu dari tiga kasus teorema trikotomi.
1983	Aschbacher membuktikan bahwa tidak ada kelompok berhingga yang memenuhi hipotesis kasus keunikan, salah satu dari tiga kasus yang diberikan oleh teorema trikotomi untuk kelompok dengan tipe karakteristik 2.
1983	Gorenstein dan Lyons membuktikan teorema trikotomi untuk kelompok jenis karakteristik 2 dan peringkat setidaknya 4, sementara Aschbacher melakukan kasus peringkat 3. Ini membagi kelompok ini menjadi 3 subkase: kasus keunikan, kelompok tipe GF (2), dan kelompok dengan komponen standar.
1983	Gorenstein mengumumkan bukti klasifikasi selesai, agak terlalu dini karena bukti kasus quasithin tidak lengkap.
1994	Gorenstein, Lyons, dan Solomon mulai menerbitkan klasifikasi yang direvisi
2004	Aschbacher dan Smith mempublikasikan karya mereka pada grup kuasithin (yang sebagian besar merupakan kelompok jenis peringkat Lie paling banyak 2 di atas bidang dengan karakteristik genap), mengisi celah terakhir dalam klasifikasi.
2008	Harada dan Solomon mengisi celah kecil dalam klasifikasi dengan mendeskripsikan grup dengan komponen standar yang merupakan penutup dari Mathieu grup M22, kasus yang secara tidak sengaja dihilangkan dari bukti klasifikasi karena kesalahan dalam penghitungan pengali Schur dari M22.
2012	Gonthier dan kolaborator mengumumkan versi teorema Feit–Thompson yang telah diperiksa komputer menggunakan Coq asisten bukti.^[2]

Klasifikasi generasi kedua

Bukti teorema, seperti yang berdiri sekitar tahun 1985 atau lebih, dapat disebut generasi pertama . Karena bukti generasi pertama yang sangat panjang, banyak upaya telah dikhususkan untuk menemukan bukti yang lebih sederhana, disebut bukti klasifikasi generasi kedua. Upaya ini, yang disebut "revisionisme", awalnya dipimpin oleh Daniel Gorenstein.

Hingga 2019^[update], delapan jilid bukti generasi kedua telah diterbitkan (Gorenstein, Lyons & Solomon 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005, 2018a, 2018b). Pada tahun 2012, Solomon memperkirakan bahwa proyek tersebut akan membutuhkan 5 jilid lagi, tetapi mengatakan bahwa kemajuannya lambat. Diperkirakan bahwa bukti baru pada akhirnya akan memenuhi sekitar 5.000 halaman. (Panjang ini sebagian berasal dari bukti generasi kedua yang ditulis dengan gaya yang lebih santai.) Aschbacher dan Smith menulis dua jilid mereka yang ditujukan untuk kasus quasithin sedemikian rupa sehingga jilid-jilid tersebut dapat menjadi bagian dari bukti generasi kedua.

Gorenstein dan kolaboratornya telah memberikan beberapa alasan mengapa bukti yang lebih sederhana dimungkinkan.

Yang paling penting adalah pernyataan terakhir yang benar dari teorema tersebut sekarang diketahui. Teknik-teknik yang lebih sederhana dapat diterapkan yang diketahui memadai untuk jenis-jenis grup yang kita kenal sebagai sederhana hingga. Sebaliknya, mereka yang mengerjakan pembuktian generasi pertama tidak mengetahui berapa banyak grup sporadis yang ada, bahkan beberapa grup sporadis. (Janko group) ditemukan saat membuktikan kasus lain dari teorema klasifikasi. Akibatnya, banyak bagian dari teorema yang dibuktikan dengan teknik yang terlalu umum.
Karena kesimpulannya tidak diketahui, bukti generasi pertama terdiri dari banyak teorema yang berdiri sendiri, menangani kasus-kasus khusus yang penting. Banyak pekerjaan untuk membuktikan teorema-teorema ini dikhususkan untuk analisis banyak kasus khusus. Dengan adanya bukti yang lebih besar dan teratur, menangani banyak kasus khusus ini dapat ditunda hingga asumsi yang paling kuat dapat diterapkan. Harga yang harus dibayar di bawah strategi yang direvisi ini adalah bahwa teorema generasi pertama ini tidak lagi memiliki bukti yang relatif pendek, tetapi mengandalkan klasifikasi lengkap.
Banyak teorema generasi pertama tumpang tindih, dan membagi kemungkinan kasus dengan cara yang tidak efisien. Akibatnya, keluarga dan subfamili dari kelompok sederhana hingga teridentifikasi beberapa kali. Bukti yang direvisi menghilangkan redundansi ini dengan mengandalkan subdivisi kasus yang berbeda.
Ahli teori grup hingga memiliki lebih banyak pengalaman dalam jenis latihan ini, dan memiliki teknik baru yang dapat mereka gunakan.

(Aschbacher 2004) telah menyebut pekerjaan tentang masalah klasifikasi oleh Ulrich Meierfrankenfeld, Bernd Stellmacher, Gernot Stroth, dan beberapa lainnya, sebagai program generasi ketiga. Salah satu tujuannya adalah untuk memperlakukan semua kelompok dalam karakteristik 2 secara seragam menggunakan metode amalgam.

Mengapa buktinya begitu lama?

Gorenstein telah membahas beberapa alasan mengapa mungkin tidak ada bukti singkat dari klasifikasi yang mirip dengan klasifikasi grup Lie kompak.

Alasan paling jelas adalah daftar grup sederhana cukup rumit: dengan 26 grup sporadis, ada kemungkinan banyak kasus khusus yang harus dipertimbangkan dalam pembuktian apa pun. Sejauh ini belum ada yang menemukan deskripsi seragam yang bersih dari grup sederhana hingga mirip dengan parameterisasi grup Lie kompak oleh diagram Dynkin.
Atiyah dan yang lainnya telah mengemukakan bahwa klasifikasi harus disederhanakan dengan membangun beberapa objek geometris yang bekerja pada kelompok dan kemudian mengklasifikasikan struktur geometris ini. Masalahnya adalah tidak ada yang bisa menyarankan cara mudah untuk menemukan struktur geometris yang terkait dengan kelompok sederhana. Dalam beberapa hal, klasifikasi bekerja dengan mencari struktur geometris seperti Pasangan BN, tetapi ini hanya muncul pada akhir dari analisis yang sangat panjang dan sulit dari struktur sebuah kelompok sederhana yang berhingga.
Saran lain untuk menyederhanakan pembuktian berarti lebih banyak menggunakan teori representasi. Masalahnya di sini adalah bahwa teori representasi tampaknya memerlukan kontrol yang sangat ketat atas subkelompok dari suatu kelompok agar dapat bekerja dengan baik. Untuk kelompok peringkat kecil, teori kontrol dan representasi bekerja dengan sangat baik, tetapi untuk grup dengan peringkat yang lebih besar tidak ada yang berhasil menggunakannya untuk menyederhanakan klasifikasi. Pada hari-hari awal klasifikasi ada banyak upaya yang dilakukan untuk menggunakan teori representasi, tetapi ini tidak pernah mencapai banyak keberhasilan dalam kasus peringkat yang lebih tinggi.

Konsekuensi klasifikasi

Bagian ini mencantumkan beberapa hasil yang telah dibuktikan dengan menggunakan klasifikasi kelompok sederhana hingga.

konjektur Schreier
Teorema functor pemberi sinyal
konjekturB
Teorema Schur–Zassenhaus untuk semua kelompok (meskipun ini hanya menggunakan Teorema Feit–Thompson).
Grup permutasi transitif pada himpunan terbatas dengan lebih dari 1 elemen memiliki elemen orde pangkat utama tanpa titik tetap.
Klasifikasi grup permutasi 2-transitif.
Klasifikasi grup permutasi peringkat 3 s.
konjektur Sims^[3]
konjektur Frobenius pada jumlah solusi xⁿ = 1.

Lihat pula

Teorema O'Nan–Scott

Catatan

^ ^a ^b Keluarga tak terbatas dari Grup grup ree tipe $2 F 4 (2 2 n +1)$ hanya berisi kelompok tipe Lie yang terbatas. Mereka sederhana $n \geq1$ ; untuk $n =0$ , grup $2 F 4 (2)$ tidak sederhana, tetapi berisi subgrup komutator sederhana $2 F 4 (2)'$ . Jadi, jika grup jenis komutator tak hingga $2 F 4 (2 2 n +1)'$ dianggap sebagai keluarga tak terbatas sistematis (semua tipe Lie kecuali untuk $n =0$ ), grup Tits $T := 2 F 4 (2)'$ (sebagai anggota dari keluarga tak terbatas ini) tidaklah sporadis.

Referensi

^ de Garis, Hugo (April 23, 2016). "Humanity's Greatest Intellectual Achievement : Classification Theorem of the Finite Simple Groups". Diakses tanggal May 11, 2020.
^ "Feit–Thompson theorem has been totally checked in Coq". Msr-inria.inria.fr. 2012-09-20. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2016-11-19. Diakses tanggal 2012-09-25.
^ Cameron, P. J.; Praeger, C. E.; Saxl, J.; Seitz, G. M. (1983). "On the Sims conjecture and distance transitive graphs". Bull. London Math. Soc. 15 (5): 499–506. doi:10.1112/blms/15.5.499.

Aschbacher, Michael (2004). "The Status of the Classification of the Finite Simple Groups" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 51 (7). hlm. 736–740.
Aschbacher, Michael; Lyons, Richard; Smith, Stephen D.; Solomon, Ronald (2011), The Classification of Finite Simple Groups: Groups of Characteristic 2 Type, Mathematical Surveys and Monographs, 172, ISBN 978-0-8218-5336-8
Conway, John Horton; Curtis, Robert Turner; Norton, Simon Phillips; Parker, Richard A; Wilson, Robert Arnott (1985), Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853199-9
Gorenstein, D. (1979), "The classification of finite simple groups. I. Simple groups and local analysis", American Mathematical Society. Bulletin. New Series, 1 (1): 43–199, doi:10.1090/S0273-0979-1979-14551-8 , ISSN 0002-9904, MR 0513750
Gorenstein, D. (1982), Finite simple groups, University Series in Mathematics, New York: Plenum Publishing Corp., ISBN 978-0-306-40779-6, MR 0698782
Gorenstein, D. (1983), The classification of finite simple groups. Vol. 1. Groups of noncharacteristic 2 type, The University Series in Mathematics, Plenum Press, ISBN 978-0-306-41305-6, MR 0746470
Daniel Gorenstein (1985), "The Enormous Theorem", Scientific American, December 1, 1985, vol. 253, no. 6, pp. 104–115.
Gorenstein, D. (1986), "Classifying the finite simple groups", American Mathematical Society. Bulletin. New Series, 14 (1): 1–98, doi:10.1090/S0273-0979-1986-15392-9 , ISSN 0002-9904, MR 0818060
Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1994), The classification of the finite simple groups, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0334-9, MR 1303592
Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1996), The classification of the finite simple groups, Number 2, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0390-5, MR 1358135
Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1998), The classification of the finite simple groups, Number 3, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0391-2, MR 1490581
Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1999), The classification of the finite simple groups, Number 4. Part II, Chapters 1-4: Uniqueness Theorems, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1379-9, MR 1675976
Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2002), The classification of the finite simple groups, Number 5, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2776-5, MR 1923000
Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2005), The classification of the finite simple groups, Number 6: Part IV: The Special Odd Case, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2777-2, MR 2104668
Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2018), The classification of the finite simple groups, Number 7: Part III, Chapters 7–11: The Generic Case, Stages 3b and 4a, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4069-6, MR 3752626
Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2018), The Classification of the Finite Simple Groups, Number 8: Part III, Chapters 12–17: The Generic Case, Completed, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-4189-0
Mark Ronan, Symmetry and the Monster, ISBN 978-0-19-280723-6, Oxford University Press, 2006. (Concise introduction for lay reader)
Marcus du Sautoy, Finding Moonshine, Fourth Estate, 2008, ISBN 978-0-00-721461-7 (another introduction for the lay reader)
Ron Solomon (1995) "On Finite Simple Groups and their Classification," Notices of the American Mathematical Society. (Not too technical and good on history)
Solomon, Ronald (2001), "A brief history of the classification of the finite simple groups" (PDF), American Mathematical Society. Bulletin. New Series, 38 (3): 315–352, doi:10.1090/S0273-0979-01-00909-0, ISSN 0002-9904, MR 1824893 – article won Levi L. Conant prize for exposition
Thompson, John G. (1984), "Finite nonsolvable groups", dalam Gruenberg, K. W.; Roseblade, J. E., Group theory. Essays for Philip Hall, Boston, MA: Academic Press, hlm. 1–12, ISBN 978-0-12-304880-6, MR 0780566
Wilson, Robert A. (2009), The finite simple groups, Graduate Texts in Mathematics 251, 251, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl 1203.20012

Pranala luar

ATLAS of Finite Group Representations. Searchable database of representations and other data for many finite simple groups.
Elwes, Richard, "An enormous theorem: the classification of finite simple groups," Plus Magazine, Issue 41, December 2006. For laypeople.
Madore, David (2003) Orders of nonabelian simple groups. Diarsipkan 2005-04-04 di Wayback Machine. Includes a list of all nonabelian simple groups up to order 10¹⁰.
In what sense is the classification of all finite groups “impossible”?

[tits-2] Keluarga tak terbatas dari Grup grup ree tipe $2 F 4 (2 2 n +1)$ hanya berisi kelompok tipe Lie yang terbatas. Mereka sederhana $n \geq1$ ; untuk $n =0$ , grup $2 F 4 (2)$ tidak sederhana, tetapi berisi subgrup komutator sederhana $2 F 4 (2)'$ . Jadi, jika grup jenis komutator tak hingga $2 F 4 (2 2 n +1)'$ dianggap sebagai keluarga tak terbatas sistematis (semua tipe Lie kecuali untuk $n =0$ ), grup Tits $T := 2 F 4 (2)'$ (sebagai anggota dari keluarga tak terbatas ini) tidaklah sporadis.

[1] Garis, Hugo (April 23, 2016). "Humanity's Greatest Intellectual Achievement : Classification Theorem of the Finite Simple Groups". Diakses tanggal May 11, 2020.

[3] "Feit–Thompson theorem has been totally checked in Coq". Msr-inria.inria.fr. 2012-09-20. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2016-11-19. Diakses tanggal 2012-09-25.

[4] Cameron, P. J.; Praeger, C. E.; Saxl, J.; Seitz, G. M. (1983). "On the Sims conjecture and distance transitive graphs". Bull. London Math. Soc. 15 (5): 499–506. doi:10.1112/blms/15.5.499.

[1]

[note 1]

[2]

[3]