Subgrup komutator

Dalam matematika, lebih khusus lagi dalam aljabar abstrak, subgrup komutator atau subgrup turunan dari grup adalah subgrup dihasilkan oleh semua komutator grup.^[1][2]

Subgrup komutator penting karena merupakan terkecil subgrup normal sedemikian rupa sehingga grup hasil bagi dari grup asli oleh subgrup ini adalah abelian. Dengan kata lain, ${\displaystyle G/N}$ adalah abelian jika dan hanya jika ${\displaystyle N}$ berisi subgrup komutator dari ${\displaystyle G}$. Jadi dalam beberapa hal ini memberikan ukuran seberapa jauh grup tersebut dari menjadi abelian; semakin besar subgrup komutator, semakin "kurang abelian" grup tersebut.

Untuk elemen ${\displaystyle g}$ dan ${\displaystyle h}$ dari grup G , komutator dari ${\displaystyle g}$ dan ${\displaystyle h}$ adalah ${\displaystyle [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh}$. Komutator ${\displaystyle [g,h]}$ sama dengan elemen identitas e jika dan hanya jika ${\displaystyle gh=hg}$, yaitu jika dan hanya jika ${\displaystyle g}$ dan ${\displaystyle h}$. Secara umum, ${\displaystyle gh=hg[g,h]}$.

Namun, notasinya agak sewenang-wenang dan ada definisi varian yang tidak setara untuk komutator yang memiliki invers di sisi kanan persamaan: ${\displaystyle [g,h]=ghg^{-1}h^{-1}}$ dalam hal ini ${\displaystyle gh\neq hg[g,h]}$ melainkan ${\displaystyle gh=[g,h]hg}$.

Elemen G dengan bentuk ${\displaystyle [g,h]}$ untuk beberapa g dan h disebut komutator. Elemen identitas e = [e,e] adalah komutator, dan itu adalah satu-satunya komutator jika dan hanya jika G adalah abelian.

Berikut adalah beberapa identitas komutator yang sederhana namun berguna, berlaku untuk setiap elemen s , g , h dari grup G :

• ${\displaystyle [g,h]^{-1}=[h,g],}$
• ${\displaystyle [g,h]^{s}=[g^{s},h^{s}],}$ dimana ${\displaystyle g^{s}=s^{-1}gs}$ (atau, masing-masing, ${\displaystyle g^{s}=sgs^{-1}}$) adalah konjugasi dari ${\displaystyle g}$ ke ${\displaystyle s,}$
• untuk setiap homomorfisme ${\displaystyle f:G\to H}$, ${\displaystyle f([g,h])=[f(g),f(h)].}$

Identitas pertama dan kedua menyiratkan bahwa himpunan dari komutator di G ditutup di bawah inversi dan konjugasi. Jika dalam identitas ketiga kita mengambil H = G , kita mendapatkan bahwa himpunan komutator stabil di bawah endomorfisme dari G . Ini sebenarnya adalah generalisasi dari identitas kedua, karena kita dapat menganggap f sebagai konjugasi automorfisme pada G, ${\displaystyle x\mapsto x^{s}}$, untuk mendapatkan identitas kedua.

Namun, produk dari dua atau lebih komutator tidak perlu berupa komutator. Contoh umum adalah [a,b][c,d] di grup bebas pada a,b,c,d. Diketahui bahwa urutan terkecil dari sebuah grup hingga dimana terdapat dua komutator yang produknya bukan komutator adalah 96; sebenarnya ada dua grup nonisomorfik ordo 96 dengan sifat ini.^[3]

Ini memotivasi definisi dari subgrup komutator ${\displaystyle [G,G]}$ (juga disebut subgrup turunan, dan dilambangkan dengan ${\displaystyle G'}$ atau ${\displaystyle G^{(1)}}$) dari G : ini adalah subgrup dihasilkan oleh semua komutator.

Properti komutator mengikuti bahwa setiap elemen ${\displaystyle [G,G]}$ adalah dalam bentuk

${\displaystyle [g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}]}$

untuk beberapa bilangan asli ${\displaystyle n}$, di mana g_i dan h_i adalah elemen G . Selain itu, karena untuk setiap s di G yang kita miliki ${\displaystyle ([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])^{s}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}]\cdots [g_{n}^{s},h_{n}^{s}]}$, subgrup komutator normal di G . Untuk homomorfisme f: G → H,

${\displaystyle f([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])=[f(g_{1}),f(h_{1})]\cdots [f(g_{n}),f(h_{n})]}$,

Jadi ${\displaystyle f([G,G])\leq [H,H]}$.

Hal ini menunjukkan bahwa subgrup komutator dapat dilihat sebagai functor pada kategori kelompok, beberapa implikasinya dieksplorasi di bawah ini. Selain itu, mengambil G = H itu menunjukkan bahwa subkelompok komutator stabil di bawah setiap endomorfisme G : artinya, [ G , G ] adalah subgrup yang memiliki karakteristik lengkap dari G , sebuah properti yang jauh lebih kuat daripada normalitas.

Subgrup komutator juga dapat didefinisikan sebagai himpunan elemen g dari grup yang memiliki ekspresi sebagai produk g = g₁ g₂ ... g_k yang dapat diatur ulang untuk memberikan identitas.

Konstruksi ini dapat diulang:

${\displaystyle G^{(0)}:=G}$

${\displaystyle G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]\quad n\in \mathbf {N} }$

The groups ${\displaystyle G^{(2)},G^{(3)},\ldots }$ disebut subgrup turunan kedua, subgrup turunan ketiga, dan seterusnya, dan turunan deret normal

${\displaystyle \cdots \triangleleft G^{(2)}\triangleleft G^{(1)}\triangleleft G^{(0)}=G}$

disebut deret turunan. Ini tidak boleh disamakan dengan deret tengah bawah, yang suku-suku nya adalah ${\displaystyle G_{n}:=[G_{n-1},G]}$.

Untuk grup terbatas, deret turunan berakhir dalam grup sempurna, yang mungkin sepele atau tidak. Untuk grup tak hingga, deret turunan tidak perlu berhenti pada tahap berhingga, dan seseorang dapat melanjutkannya hingga bilangan ordinal tak hingga melalui rekursi transfinite, dengan demikian memperoleh deret turunan transfinite, yang akhirnya berakhir di inti sempurna grup.

Diberikan grup ${\displaystyle G}$, sebuah grup hasil bagi ${\displaystyle G/N}$ adalah abelian jika dan hanya jika ${\displaystyle [G,G]\leq N}$.

Hasil bagi ${\displaystyle G/[G,G]}$ adalah grup abelian yang disebut 'abelianization' dari ${\displaystyle G}$ atau ${\displaystyle G}$ dibuat abelian.^[4] Biasanya dilambangkan dengan ${\displaystyle G^{\operatorname {ab} }}$ atau ${\displaystyle G_{\operatorname {ab} }}$.

Ada interpretasi kategoris yang berguna dari peta ${\displaystyle \varphi :G\rightarrow G^{\operatorname {ab} }}$. Yaitu ${\displaystyle \varphi }$ bersifat universal untuk homomorfisme dari ${\displaystyle G}$ ke grup abelian ${\displaystyle H}$: untuk setiap grup abelian ${\displaystyle H}$ dan homomorfisme grup ${\displaystyle f:G\to H}$ ada homomorfisme unik ${\displaystyle F:G^{\operatorname {ab} }\to H}$ such that ${\displaystyle f=F\circ \varphi }$. Seperti biasa untuk objek yang ditentukan oleh properti pemetaan universal, ini menunjukkan keunikan abelianisasi ${\displaystyle G^{\operatorname {ab} }}$ hingga isomorfisme kanonik, sedangkan konstruksi eksplisit ${\displaystyle G\to G/[G,G]}$ menunjukkan keberadaan.

Functor abelianisasi adalah luar adjoint dari fungsi inklusi dari kategori grup abelian ke kategori grup. Adanya fungsi abelianization Grp → Ab membuat kategori Ab menjadi subkategori reflektif dari kategori grup, yang didefinisikan sebagai subkategori lengkap yang fungsi penyertaannya memiliki adjoint kiri.

Interpretasi penting lainnya dari ${\displaystyle G^{\operatorname {ab} }}$ adalah ${\displaystyle H_{1}(G,\mathbb {Z} )}$, grup homologi pertama dari ${\displaystyle G}$ dengan koefisien integral.

Grup ${\displaystyle G}$ adalah grup abelian jika dan hanya jika grup turunannya sepele: [G,G] = {e}. Sama halnya, jika dan hanya jika grup tersebut sama dengan abelianisasinya. Lihat di atas untuk definisi abelianisasi grup.

Grup ${\displaystyle G}$ adalah grup sempurna jika dan hanya jika grup turunan sama dengan grup itu sendiri: [G,G] = G. Demikian pula, jika dan hanya jika abelianisasi grup itu sepele. Ini "berlawanan" dengan abelian.

Grup dengan ${\displaystyle G^{(n)}=\{e\}}$ untuk beberapa n dalam N disebut grup solvabel; ini lebih lemah dari abelian, yaitu kasus n = 1.

Grup dengan ${\displaystyle G^{(n)}\neq \{e\}}$ untuk semua n dalam N disebut grup yang tidak dapat dipecahkan.

Grup dengan ${\displaystyle G^{(\alpha )}=\{e\}}$ untuk beberapa nomor urut, mungkin tak terbatas, disebut kelompok hipoabelian; ini lebih lemah dari solvable, yang mana kasus α terbatas (bilangan asli).

Templat:Main articles Kapanpun grup ${\displaystyle G}$ telah menurunkan subgrup yang sama dengan dirinya sendiri, ${\displaystyle G^{(1)}=G}$, itu disebut grup sempurna. Ini termasuk non-abelian grup sederhana dan grup linier khusus ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(k)}$ untuk bidang tetap ${\displaystyle k}$.

• Subgrup komutator dari grup abelian adalah sepele.
• Subgrup komutator dari grup linear umum ${\displaystyle GL_{n}(k)}$ di atas bidang atau gelanggang pembagian k sama dengan grup linear khusus ${\displaystyle SL_{n}(k)}$ dengan ketentuan ${\displaystyle n\neq 2}$ atau k bukan bidang dengan dua elemen.^[5]
• Subgrup komutator dari alternating group A ₄ adalah Klein four group.
• Subgrup komutator dari grup simetris S _n adalah alternatif grup A_n.
• Subgrup komutator dari grup hasil bagi Q = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k} adalah [Q,Q] = {1, −1}.
• Subgrup komutator dari grup fundamental π₁(X) dari path-connected topological space X adalah kernel dari homomorfisme natural ke dalam singular pertama grup homology H₁(X).

Karena subkelompok turunan adalah karakteristik, setiap automorfisme dari G menyebabkan automorfisme abelianisasi. Karena abelianisasinya adalah abelian, automorfisme dalam bertindak sepele, maka ini menghasilkan peta

${\displaystyle {\mbox{Out}}(G)\to {\mbox{Aut}}(G^{\mbox{ab}})}$

• Grup sovabel
• Grup nilpoten

1. ^ (Dummit & Foote 2004)
2. ^ (Lang 2002)
3. ^ (Suárez-Alvarez)
4. ^ (Fraleigh 1976, hlm. 108)
5. ^ Suprunenko, D.A. (1976), Matrix groups, Translations of Mathematical Monographs, American Mathematical Society , Theorem II.9.4

• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Abstract Algebra (edisi ke-3rd), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-43334-9 
• Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (edisi ke-2nd), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1 
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 0-387-95385-X 
• Suárez-Alvarez, Mariano. "Derived Subgroups and Commutators". 

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Commutator subgroup", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4