Grup hingga

Dalam aljabar abstrak, grup hingga adalah grup yang himpunan dasarnya adalah hingga. Grup hingga sering kali muncul ketika mempertimbangkan kesimetrian benda-benda matematika atau fisik, ketika objek-objek itu hanya menerima transformasi pelestarian struktur dalam jumlah terbatas. Contoh penting dari grup hingga termasuk grup siklik dan grup permutasi.

Studi tentang kelompok hingga telah menjadi bagian integral dari teori grup sejak ia muncul pada abad ke-19. Salah satu bidang studi utama adalah klasifikasi: klasifikasi grup sederhana hingga (grup tanpa nontrivial subgrup normal) diselesaikan pada tahun 2004.

Sejarah

Selama abad kedua puluh, ahli matematika menyelidiki beberapa aspek teori gruo hingga secara mendalam, terutama teori lokal dari kelompok hingga dan teori dapat dipecahkan dan kelompok nilpoten.^[1]^[2] Akibatnya, klasifikasi grup sederhana hingga lengkap tercapai, yang berarti bahwa semua grup sederhana tempat semua kelompok terbatas dapat dibangun sekarang diketahui.

Selama paruh kedua abad kedua puluh, ahli matematika seperti Chevalley dan Steinberg juga meningkatkan pemahaman kita tentang analog hingga grup klasik, dan grup terkait lainnya. Salah satu kelompok kelompok tersebut adalah keluarga grup linear umum di atas medan hingga.

Kelompok hingga sering muncul saat mempertimbangkan simetri objek matematika atau fisik, ketika objek-objek itu hanya menerima transformasi pelestarian struktur dalam jumlah terbatas. Teori grup Lie, yang dapat dilihat sebagai berurusan dengan "simetri berkelanjutan", sangat dipengaruhi oleh grup Weyl terkait. Ini adalah kelompok terbatas yang dihasilkan oleh refleksi yang bekerja pada ruang Euklides berdimensi-hingga. Dengan demikian, sifat-sifat kelompok hingga dapat berperan dalam mata pelajaran seperti fisika teoretis dan kimia.^[3]

Contoh

Grup permutasi

Grup simetris S_n pada himpunan terbatas simbol n adalah grup yang elemennya adalah semua permutasi dari simbol n , dan yang operasi grup merupakan komposisi dari permutasi semacam itu, yang diperlakukan sebagai fungsi bijektiva dari himpunan simbol ke simbol itu sendiri.^[4] Karena ada n ! ( n faktorial) kemungkinan permutasi dari satu set simbol n , maka urutan (jumlah elemen) dari grup simetris S_n is n!.

Grup siklik

Grup siklik Z_n adalah grup yang semua elemennya adalah kekuatan dari elemen tertentu a di mana aⁿ = a⁰ = e, identitas. Realisasi khas dari grup ini adalah sebagai kompleks nth akar persatuan. Mengirimkan a ke akar kesatuan primitif memberikan isomorfisme di antara keduanya. Ini dapat dilakukan dengan grup siklik hingga apa pun.

Grup abelian hingga

Grup abelian, juga disebut grup komutatif, adalah grup yang hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutannya.^[5]

Kelompok abelian berhingga yang sewenang-wenang bersifat isomorfik terhadap sejumlah langsung kelompok siklik berhingga dari tatanan kekuatan utama, dan tatanan ini ditentukan secara unik, membentuk sistem invarian yang lengkap. Grup automorfisme dari grup abelian hingga dapat dijelaskan secara langsung dalam istilah invarian ini. Teori ini pertama kali dikembangkan pada makalah tahun 1879 dari Georg Frobenius dan Ludwig Stickelberger dan kemudian disederhanakan dan digeneralisasikan untuk modul yang dihasilkan secara halus, membentuk bab penting dari aljabar linear.

Grup jenis Lie

Grup jenis Lie adalah grup yang terkait erat dengan grup G(k) titik rasional dari grup aljabar linier G reduktif dengan nilai dalam bidang k . Grup hingga tipe Lie memberikan sebagian besar nonabelian grup sederhana hingga. Kasus khusus termasuk grup klasik, grup Chevalley, grup Steinberg, dan grup Suzuki–Ree.

Grup hingga tipe Lie berada di antara grup pertama yang dipertimbangkan dalam matematika, setelah siklik, simetris dan bergantian, dengan grup linear khusus proyektif di atas bidang hingga prima, PSL(2, p) sedang dibangun oleh Évariste Galois pada tahun 1830-an. Eksplorasi sistematis kelompok hingga tipe Lie dimulai dengan teorema Camille Jordan bahwa kelompok linier khusus proyektif PSL (2, q ) sederhana untuk q ≠ 2, 3. Teorema ini menggeneralisasi kelompok proyektif dari dimensi yang lebih tinggi dan memberikan keluarga tak terbatas yang penting PSL(n, q) dari grup sederhana hingga. Kelompok klasik lainnya dipelajari oleh Leonard Dickson pada awal abad ke-20. Pada 1950-an Claude Chevalley menyadari hal itu setelah reformulasi yang tepat, banyak teorema tentang grup Lie setengah sederhana mengakui analog untuk grup aljabar di atas bidang sembarang k , mengarah ke pembangunan apa yang sekarang disebut Grup Chevalley . Selain itu, seperti dalam kasus grup Lie sederhana yang kompak, grup yang sesuai ternyata hampir sederhana seperti grup abstrak. Lambat laun terbentuk keyakinan bahwa hampir semua kelompok sederhana yang terbatas dapat dipertanggungjawabkan dengan perluasan konstruksi Chevalley yang sesuai, bersama dengan kelompok siklik dan bergantian. Selain itu, pengecualian, grup sporadis, berbagi banyak properti dengan grup terbatas tipe Lie, dan khususnya, dapat dibangun dan dikarakterisasi berdasarkan geometri dalam pengertian Tits.

Keyakinan tersebut kini telah menjadi sebuah teorema klasifikasi grup sederhana hingga. Pemeriksaan daftar grup sederhana hingga menunjukkan bahwa grup tipe Lie di atas bidang hingga mencakup semua grup sederhana hingga selain grup siklik, grup bergantian, grup Tits, dan 26 grup sederhana sporadis.

Teorema utama

Teorema Lagrange

Untuk setiap grup hingga G , order (jumlah elemen) dari setiap subgrup H dari G membagi urutan G. Teorema ini dinamai Joseph-Louis Lagrange.

Teorema Sylow

Ini memberikan kebalikan parsial untuk teorema Lagrange yang memberikan informasi tentang berapa banyak subgrup dari urutan tertentu yang terkandung dalam G .

Teorema Cayley

Teorema Cayley, dinamai untuk menghormati Arthur Cayley, menyatakan bahwa setiap grup G , adalah isomorfik menjadi subgrup dari grup simetris yang bekerja pada G .^[6] This can be understood as an example of the group action of G on the elements of G.^[7]

Teorema Burnside

Teorema Burnside di teori grup menyatakan bahwa jika G adalah grup hingga urutan p^aq^b, di mana p dan q adalah bilangan prima s, dan a dan b adalah non-negatif pada bilangan bulat, maka G adalah larut. Karenanya masing-masing non-Abelian kelompok sederhana terbatas memiliki urutan habis dibagi oleh setidaknya tiga bilangan prima yang berbeda.

Teorema Feit–Thompson

Teorema Feit–Thompson, atau teorema urutan ganjil, menyatakan bahwa setiap terbatas gruo ganjil urutan adalah dapat diselesaikan.Walter Feit and John Griggs Thompson (1962, 1963)

Klasifikasi grup sederhana hingga

Klasifikasi grup sederhana hingga adalah teorema yang menyatakan bahwa setiap grup sederhana hingga milik salah satu keluarga berikut:

Grup siklik dengan orde utama;
Grup alternatif dengan gelar minimal 5;
Grup sederhana tipe Lie;
Salah satu dari 26 grup sederhana sporadis;
Grup Tits (terkadang dianggap sebagai grup sporadis ke-27).

Grup sederhana hingga dapat dilihat sebagai blok bangunan dasar dari semua grup hingga, dengan cara yang mengingatkan pada cara bilangan prima s adalah blok bangunan dasar dari bilangan asli. Teorema Jordan–Hölder adalah cara yang lebih tepat untuk menyatakan fakta tentang kelompok berhingga. Namun, perbedaan yang signifikan sehubungan dengan kasus faktorisasi bilangan bulat adalah bahwa "blok penyusun" seperti itu tidak selalu menentukan secara unik sebuah grup, karena mungkin ada banyak grup non-isomorfik dengan rangkaian komposisi yang sama atau, dengan kata lain, masalah ekstensi tidak memiliki solusi unik.

Pembuktian teorema terdiri dari puluhan ribu halaman dalam beberapa ratus artikel jurnal yang ditulis oleh sekitar 100 penulis, diterbitkan sebagian besar antara tahun 1955 dan 2004. Gorenstein (d.1992), Lyons, dan Solomon secara bertahap menerbitkan versi bukti yang disederhanakan dan direvisi.

Jumlah grup dengan urutan tertentu

Diberikan bilangan bulat positif n , itu sama sekali bukan masalah rutin untuk menentukan berapa banyak isomorfisma jenis kelompok urutan n ada. Setiap kelompok dari prime adalah siklik, karena Teorema Lagrange menyiratkan bahwa subgrup siklik yang dihasilkan oleh salah satu elemen non-identitasnya adalah seluruh grup. Jika n adalah kuadrat dari sebuah bilangan prima, maka ada dua jenis isomorfisme yang mungkin dari kelompok ordo n , keduanya adalah abelian. Jika n adalah pangkat yang lebih tinggi dari sebuah bilangan prima, maka hasil dari Graham Higman dan Charles Sims berikan perkiraan yang benar secara asimtotik untuk jumlah jenis isomorfisme dari kelompok ordo n , dan jumlahnya tumbuh sangat cepat dengan meningkatnya kekuatan.

Bergantung pada faktorisasi prima n , beberapa batasan dapat ditempatkan pada struktur kelompok orde n , sebagai konsekuensi, misalnya, dari hasil seperti Teorema Sylow. Misalnya, setiap grup pesanan pq bersiklus ketika q < p adalah bilangan prima dengan p − 1 tidak dapat dibagi oleh q . Untuk kondisi yang diperlukan dan cukup, lihat bilangan siklik.

Jika n adalah squarefree, maka setiap grup order n dapat dipecahkan. Teorema Burnside, dibuktikan menggunakan karakter grup, menyatakan bahwa setiap grup orde n dapat dipecahkan ketika n habis dibagi kurang dari tiga bilangan prima yang berbeda, yaitu jika n = p^aq^b, di mana p dan q adalah bilangan prima, dan a dan b adalah bilangan bulat non-negatif. Dengan teorema Feit–Thompson, yang memiliki bukti panjang dan rumit, setiap kelompok ordo n dapat dipecahkan bila n ganjil.

Untuk setiap bilangan bulat positif n , kebanyakan grup orde n adalah dapat dipecahkan. Untuk melihat ini untuk urutan tertentu biasanya tidak sulit (misalnya, ada, hingga isomorfisme, satu gugus tak terpecahkan dan 12 gugus terlarut berorde 60) tapi bukti ini untuk semua pesanan menggunakan klasifikasi grup sederhana hingga. Untuk sembarang bilangan bulat positif n paling banyak ada dua grup orde sederhana n , dan ada banyak bilangan bulat positif n yang memiliki dua grup ordo sederhana non-isomorfik n.

Tabel grup ordo yang berbeda n

Urutan n	# Grup^[8]	Abelian	Non-Abelian
0	0	0	0
1	1	1	0
2	1	1	0
3	1	1	0
4	2	2	0
5	1	1	0
6	2	1	1
7	1	1	0
8	5	3	2
9	2	2	0
10	2	1	1
11	1	1	0
12	5	2	3
13	1	1	0
14	2	1	1
15	1	1	0
16	14	5	9
17	1	1	0
18	5	2	3
19	1	1	0
20	5	2	3
21	2	1	1
22	2	1	1
23	1	1	0
24	15	3	12
25	2	2	0
26	2	1	1
27	5	3	2
28	4	2	2
29	1	1	0
30	4	1	3

Lihat pula

Referensi

^ Aschbacher, Michael (2004). "The Status of the Classification of the Finite Simple Groups" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 51 (7). hlm. 736–740. Diarsipkan (PDF) dari versi asli tanggal 2011-06-05. Diakses tanggal 2020-12-13.
^ Daniel Gorenstein (1985), "The Enormous Theorem ", Scientific American , 1 Desember 1985, vol. 253, no. 6, hlm. 104–115.
^ Group Theory and its Application to Chemistry Diarsipkan 2016-12-25 di Wayback Machine. The Chemistry LibreTexts library
^ Jacobson 2009, hlm. 31
^ Jacobson 2009, hlm. 41
^ Jacobson 2009, hlm. 38
^ Jacobson 2009, hlm. 72, ex. 1
^ Humphreys, John F. (1996). A Course in Group Theory. Oxford University Press. hlm. 238–242. ISBN 0198534590. Zbl 0843.20001.

Bacaan lebih lanjut

Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra I (edisi ke-2nd). Dover Publications. ISBN 978-0-486-47189-1.

Pranala luar

Templat:OEIS el
Templat:OEIS el
Templat:OEIS el
Small groups on GroupNames Diarsipkan 2023-08-09 di Wayback Machine.
A classifier Diarsipkan 2012-03-19 di Wayback Machine. for groups of small order

[1] Aschbacher, Michael (2004). "The Status of the Classification of the Finite Simple Groups" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 51 (7). hlm. 736–740. Diarsipkan (PDF) dari versi asli tanggal 2011-06-05. Diakses tanggal 2020-12-13.

[2] Daniel Gorenstein (1985), "The Enormous Theorem ", Scientific American , 1 Desember 1985, vol. 253, no. 6, hlm. 104–115.

[3] Group Theory and its Application to Chemistry Diarsipkan 2016-12-25 di Wayback Machine. The Chemistry LibreTexts library

[Jacobson-def-4] Jacobson 2009, hlm. 31

[5] Jacobson 2009, hlm. 41

[6] Jacobson 2009, hlm. 38

[7] Jacobson 2009, hlm. 72, ex. 1

[8] Humphreys, John F. (1996). A Course in Group Theory. Oxford University Press. hlm. 238–242. ISBN 0198534590. Zbl 0843.20001.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]