Pembagi

Dalam ilmu matematika, pembagi (bahasa Inggris: divisor) atau faktor (bahasa Inggris: factor) dari suatu bilangan bulat ${\displaystyle n}$ adalah suatu bilangan bulat ${\displaystyle m}$ yang dikalikan dengan bilangan bulat tertentu untuk menghasilkan ${\displaystyle n}$, sehingga ${\displaystyle n}$ merupakan hasil perkalian ${\displaystyle m}$. Dalam kasus tersebut, ${\displaystyle n}$ habis dibagi dengan ${\displaystyle m}$ jika ${\displaystyle m}$ merupakan pembagi dari ${\displaystyle n}$, sehingga ${\displaystyle n}$ dibagi ${\displaystyle m}$ tidak menghasilkan sisa (atau sisa pembagian sama dengan 0).

Suatu bilangan bulat ${\displaystyle n}$ habis dibagi oleh bilangan bulat taknol ${\displaystyle m}$ jika terdapat bilangan bulat ${\displaystyle k}$ yang memenuhi ${\displaystyle n=km}$. Definisi tersebut dapat dirumuskan sebagai:

${\displaystyle m\mid n}$

Notasi tersebut dapat dibaca: ${\displaystyle m}$ membagi ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle m}$ adalah pembagi ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle m}$ adalah faktor dari ${\displaystyle n,}$ atau ${\displaystyle n}$ adalah hasil perkalian ${\displaystyle m.}$ Jika ${\displaystyle m}$ tidak membagi ${\displaystyle n}$, maka notasinya adalah ${\displaystyle m\not \mid n.}$^[1][2]

Terdapat dua ekspresi matematika yang berhubungan dengan definisi tersebut, tergantung pada ketentuan apakah nol diperbolehkan untuk ${\displaystyle m}$:

• Jika ekspresi tersebut tidak memuat syarat tambahan untuk ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle m\mid 0}$ untuk setiap bilangan bulat ${\displaystyle m}$.^[1][2]
• Jika ekspresi tersebut mensyaratkan ${\displaystyle m}$ bukan bilangan nol, ${\displaystyle m\mid 0}$ untuk setiap bilangan bulat taknol ${\displaystyle m}$.^[3][4]

Pembagi dapat berupa bilangan negatif atau bilangan positif, meskipun istilah ini umumnya terfokus pada bilangan pembagi positif. Misalnya, angka 4 sebenarnya memiliki enam pembagi, yaitu 1, 2, 4, −1, −2, dan −4, tetapi hanya bilangan positif (1, 2, and 4) yang biasanya disebutkan sebagai pembagi angka 4.

1 dan −1 dapat membagi (atau merupakan pembagi) setiap bilangan bulat. Setiap bilangan bulat (dan lawan bilangan negatifnya) adalah faktor bilangan itu sendiri. Bilangan bulat yang habis dibagi 2 disebut bilangan genap, dan bilangan bulat yang tidak habis dibagi 2 disebut bilangan ganjil.

1, −1, ${\displaystyle n}$ dan ${\displaystyle -n}$ disebut pembagi trivial dari ${\displaystyle n}$, sedangkan pembagi ${\displaystyle n}$ yang bukan merupakan pembagi trivial disebut pembagi nontrivial.^[5] Bilangan bulat taknol yang memiliki setidaknya satu pembagi nontrivial disebut bilangan komposit. Angka −1 dan 1 serta bilangan prima tidak memiliki pembagi nontrivial.

Aturan keterbagian dapat memprediksi pembagi-pembagi tertentu dari suatu bilangan dengan melihat angkanya.

• 7 adalah pembagi dari 42 karena ${\displaystyle 7\times 6=42}$, sehingga dapat dikatakan ${\displaystyle 7\mid 42}$. Dapat pula dikatakan bahwa 42 habis dibagi 7, 42 adalah hasil perkalian 7, 7 dapat membagi 42, atau 7 adalah faktor dari 42.
• Pembagi nontrivial dari 6 adalah 2, −2, 3, −3.
• Pembagi positif dari 42 adalah 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
• ${\displaystyle 5\mid 0}$, karena ${\displaystyle 5\times 0=0}$.
• Himpunan semua faktor 60, ${\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}}$, yang jika diurutkan secara parsial berdasarkan keterbagian (divisibility), dapat ditampilkan sebagai berikut dengan diagram Hasse:

Sejumlah kaidah dasar yang berhubungan dengan pembagi adalah sebagai berikut.

• Jika ${\displaystyle a\mid b}$ dan ${\displaystyle b\mid c}$, maka ${\displaystyle a\mid c}$. Kaidah tersebut termasuk relasi transitif.
• Jika ${\displaystyle a\mid b}$ dan ${\displaystyle b\mid a}$, maka ${\displaystyle a=b}$ atau ${\displaystyle a=-b.}$
• Jika ${\displaystyle a\mid b}$ dan ${\displaystyle a\mid c,}$ maka ${\displaystyle a\mid (b+c)}$ berlaku, seperti halnya ${\displaystyle a\mid (b-c).}$^[a] Namun, jika ${\displaystyle a\mid b}$ dan ${\displaystyle c\mid b,}$ maka ${\displaystyle (a+c)\mid b}$ tidak selalu berlaku (misalnya, ${\displaystyle 2\mid 6}$ dan ${\displaystyle 3\mid 6}$, tapi ${\displaystyle 5\not \mid 6.}$).

Jika ${\displaystyle a\mid bc}$ dan ${\displaystyle \gcd(a,b)=1}$^[b], maka ${\displaystyle a\mid c}$. Kaidah ini disebut Lemma Euklidean.

Jika ${\displaystyle p}$ merupakan bilangan prima dan ${\displaystyle p\mid ab}$, maka ${\displaystyle p\mid a}$ atau ${\displaystyle p\mid b.}$

Bilangan pembagi postif ${\displaystyle n}$ yang tidak sama dengan ${\displaystyle n}$ disebut pembagi sejati atau bagian alikuot dari ${\displaystyle n}$ (misalnya, pembagi sejati bilangan 6 ialah 1, 2, and 3). Bilangan yang tidak habis membagi ${\displaystyle n}$ melainkan menyisakan sisa pembagian terkadang disebut bagian alikuan dari ${\displaystyle n}$.

Bilangan bulat ${\displaystyle n>1}$ yang hanya memiliki angka 1 sebagai pembagi sejatinya disebut bilangan prima. Oleh karena itu, bilangan prima didefinisikan sebagai bilangan bulat positif yang memiliki tepat dua bilangan faktor positif, yakni angka 1 dan dirinya sendiri.

Suatu pembagi positif dari bilangan ${\displaystyle n}$ merupakan hasil kali atas bilangan faktor prima dari ${\displaystyle n}$ yang dipangkatkan. Kaidah ini merupakan akibat dari teorema dasar aritmetika.

Bilangan ${\displaystyle n}$ merupakan bilangan sempurna jika bilangan tersebut sama dengan hasil jumlah pembagi sejatinya, merupakan bilangan defisien jika hasil jumlah pembagi sejatinya kurang dari ${\displaystyle n,}$ atau merupakan bilangan berlimpah jika hasil jumlah tersebut lebih dari ${\displaystyle n.}$

• Fungsi aritmetik
• Kaidah divisibilitas
• Fungsi pembagi
• Algoritme Euclid
• Pecahan
• Tabel pembagi—Sebuah tabel pembagi bilangan prima dan bilangan non-prima untuk 1–1000
• Tabel faktor bilangan prima—A table of prime factors for 1–1000

• Durbin, John R. (1992). Modern Algebra: An Introduction (edisi ke-3rd). New York: Wiley. ISBN 0-471-51001-7. 
• Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; section B.
• Herstein, I. N. (1986), Abstract Algebra, New York: Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-353820-1 
• Øystein Ore, Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).
• Sims, Charles C. (1984), Abstract Algebra: A Computational Approach, New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-09846-9 

Templat:Divisor classes

Kesalahan pengutipan: Ditemukan tag <ref> untuk kelompok bernama "lower-alpha", tapi tidak ditemukan tag <references group="lower-alpha"/> yang berkaitan