Grup GaloisDalam matematika, di bidang aljabar abstrak yang dikenal sebagai teori Galois, Grup Galois dari jenis tertentu ekstensi bidang adalah grup spesifik yang terkait dengan ekstensi bidang. Studi tentang perluasan lapangan dan hubungannya dengan polinomial yang memunculkan mereka melalui kelompok Galois disebut teori Galois, dinamai demikian untuk menghormati Évariste Galois yang pertama kali dibahas. Untuk pembahasan yang lebih mendasar tentang grup Galois dalam istilah grup permutasi, lihat artikel di teori Galois. DefinisiMisalkan adalah perpanjangan dari bidang (ditulis sebagai dan dibaca "E di atas F "). Automorfisme dari didefinisikan sebagai automorfisme dari dari secara searah. Dengan kata lain, automorfisme adalah isomorfisme sehingga untuk . Himpunan dari semua automorfisme membentuk grup dengan operasi komposisi fungsi. Grup ini terkadang dilambangkan dengan Jika adalah ekstensi Galois, maka disebut 'Galois group' dari , dan biasanya dilambangkan dengan .
Jika bukan ekstensi Galois, maka grup Galois dari terkadang didefinisikan sebagai , di mana adalah penutupan Galois dari . Grup Galois dari suatu polinomialDefinisi lain dari grup Galois berasal dari grup Galois dari polinomial . Jika ada bidang sedemikian rupa sehingga menjadi faktor sebagai produk dari polinomial linier di atas bidang , maka grup Galois dari polinomial didefinisikan sebagai grup Galois dari di mana minimal di antara semua bidang tersebut. Struktur grup GaloisTeorema dasar teori GaloisSalah satu teorema struktur penting dari teori Galois berasal dari teorema fundamental teori Galois. Ini menyatakan bahwa diberi ekstensi Galois terbatas , ada bijection antara himpunan subbidang dan subgrup Kemudian, diberikan oleh himpunan invarian dari di bawah aksi , jadi Selain itu, jika adalah subgrup normal maka . Dan sebaliknya, jika adalah ekstensi bidang normal, maka subgrup terkait di adalah grup normal. Struktur kisiMisalkan adalah ekstensi Galois dari dengan grup Galois Bidang dengan grup Galois memiliki injeksi yang merupakan isomorfisme .[1] IndruksiSebagai dilakukan berkali-kali secara tak terbatas. Maka ekstensi Galois where maka isomorfisme dari grup Galois: ContohDalam contoh berikut adalah bidang, dan adalah bidang bilangan kompleks, riil, dan rasional. Notasi F(a) menunjukkan ekstensi bidang yang diperoleh dengan adjunsi elemen a ke bidang F . Alat komputasiKardinalitas grup Galois dan derajat perluasan bidangSalah satu proposisi dasar yang diperlukan untuk sepenuhnya menentukan grup Galois[2] dari ekstensi medan hingga adalah sebagai berikut: Polinomial , maka menjadi ekstensi bidang pemisahnya. Maka urutan grup Galois sama dengan derajat perpanjangan medan; itu adalah, Kriteria EisensteinAlat yang berguna untuk menentukan kelompok Galois dari suatu polinomial berasal dari kriteria Eisenstein. Jika polinomial faktor menjadi polinomial tidak dapat direduksi grup Galois dari dapat ditentukan menggunakan grup Galois dari setiap karena grup Galois dari adalah grup Galois dari Grup trivialmerupakan golongan trivial yang memiliki satu unsur yaitu automorfisme identitas. Contoh lain dari grup Galois trivial adalah Memang, dapat ditunjukkan bahwa automorfisme dari urutan dari bilangan riil dan karenanya harus menjadi identitas. Pertimbangkan bidang Grup hanya berisi automorfisme identitas. Ini karena bukan ekstensi norma, karena dua akar pangkat tiga lainnya dari ,
hilang dari ekstensi, dengan kata lain K bukan bidang pemisah. PropertiArti penting perpanjangan menjadi Galois adalah bahwa ia mematuhi teorema dasar teori Galois: subgrup tertutup (sehubungan dengan topologi Krull) dari grup Galois sesuai dengan bidang perantara dari ekstensi bidang. Jika adalah ekstensi Galois, maka dapat diberi topologi, yang disebut topologi Krull, yang membuatnya menjadi grup tak hingga. Lihat pulaCatatan
Referensi
Pranala luar
|