Dalam matematika, bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai , dengan dan sebagai bilangan bulat dan tidak sama dengan nol. Jadi bilangan irasional bukan merupakan bilangan rasional. Contoh yang paling populer dari bilangan irasional adalah bilangan π, , dan bilangan e.
Bilangan sebetulnya tidak tepat, yaitu kurang lebih 3.14, tetapi
Dalam doctorate in Absentia-nya pada tahun 1799, A new proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree (Sebuah bukti baru teorema bahwa setiap fungsi aljabar rasional yang tidak terpisahkan dari satu variabel dapat diselesaikan menjadi faktor nyata pada derajat pertama atau kedua), Gauss memberikan bukti teorema fundamental aljabar yang menyatakan bahwa setiap-tiap dari polinomial variabel tunggal bukan-konstanta dengan koefisien kompleks memiliki paling sedikit atau setidaknya satu akar kompleks. Namun banyak matematikawan termasuk Jean le Rond d'Alembert yang memberikan bukti yang salah pada awalnya,dan disertasi Gauss juga banyak mengkritik kerja d'Alembert.
Namun sekali lagi, ironisnya, dengan menggunakan standar sekarang percobaan milik Gauss tidak dapat diterima, yang menyebabkan penggunaan secara implisit teorema Kurva Jordan di dalam kurva fraktal. Bagaimanapun, dia secara berkelanjutan memberikan tiga bukti yang lain,yang terakhir pada 1849 yang dikenal sukar. Upayanya dalam mengklarifikasi konsep mengenai bilangan kompleks memang banyak dibicarakan (dari contoh bilangan irasional paling terkenal:, memecahnya dengan menempatkan minus pada satu tingkat di bawah sumbu imajiner dan x pada sumbu positif real, Gauss mengubah bilangan irasional yang sebelumnya dianggap bilangan antara ada dan tiada menjadi dapat diperhitungkan, lihat secara khusus polar kompleks).
Gauss juga memberikan kontribusi sangat penting bagi teori bilangan. Di dalam bukunya pada tahun 1801, Disquisitiones Arithmeticae (bahasa Latin:, Investigasi Aritmetika), yang mana, dalam banyak hal, Gauss memperkenalkan penggunaan notasi ≡ untuk kekongruenan dan menggunakannya dalam presentasi yang baik di dalam aritmetika modular.
Abad ke-19 menyaksikan perkembangan cepat konsep bilangan imajiner di tangan Abraham de Moivre,dan secara khusus Leonhard Euler, yang menjadikannya lebih berdaya guna. Penyelesaian teori mengenai bilangan kompleks pada abad ke-19 membedakan bilangan irasional menjadi bilangan aljabar dan transenden. Bukti keberadaan bilangan transenden, dan menjamurnya studi-studi saintifik mengenai teori bilangan irasional telah lama dipikirkan sejak Euclid.
Tahun 1872 menyaksikan publikasi dari teori-teori dari Karl Weierstrass (oleh muridnya, Ernst Kossak), Eduard Heine (Crelle's Journal, 74), Georg Cantor (Annalen, 5), dan Richard Dedekind. Meray memulai pada 1869, sama dengan Heine, tetapi teorinya dikutip secara umum pada 1872.
Pecahan kontinu, yang berhubungan dekat dengan bilangan irasional, mendapat perhatian di tangan Euler, dan akhirnya,fajar abad ke-19 benar-benar dibawa menuju keagungan lewat tulisan-tulisan Joseph Louis Lagrange. Dirichlet juga menambahkan dalam teori umumnya, seperti juga banyak sekali kontributor untuk penerapan mengenai subyek ini.
