Ruang vektor bernorma

Lihat pula: Norma (matematika) dan ruang Banach

Hirarki ruang matematika. Ruang vektor bernorma adalah superset dari ruang hasil kali dalam dan himpunan bagian dari ruang metrik, yang pada gilirannya merupakan himpunan bagian dari ruang vektor topologis.

Dalam matematika, ruang vektor bernorma atau ruang bernorma adalah ruang vektor di atas bilangan riil atau kompleks, di mana norma didefinisikan.[1] Norma adalah formalisasi dan generalisasi ke ruang vektor riil dari pengertian intuitif "panjang". Norma adalah fungsi bernilai riil yang ditentukan pada ruang vektor yang biasanya dilambangkan dengan ${\displaystyle x\mapsto \|x\|,}$ dan memiliki sifat berikut:

1. Itu tidak negatif, yaitu untuk setiap vektor x, satu memiliki ${\displaystyle \|x\|\geq 0.}$
2. Ini positif pada vektor bukan nol, yaitu,

   ${\displaystyle \|x\|=0\Longleftrightarrow x=0.}$

3. Untuk setiap vektor x, dan setiap skalar ${\displaystyle \alpha ,}$

   ${\displaystyle \|\alpha x\|=|\alpha |\|x\|.}$

4. Segitiga pertidaksamaan berlaku; yaitu, untuk setiap vektor x dan y, satu memiliki

   ${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}$

Sebuah norma menginduksi sebuah jarak dengan rumus

${\displaystyle d(x,y)=\|y-x\|.}$

yang membuat ruang vektor bernorma menjadi ruang metrik dan ruang vektor topologis. Jika metrik ini ${\displaystyle d}$ adalah lengkap maka ruang normed disebut Ruang Banach . Setiap ruang vektor bernorma dapat "diperluas secara unik" ke ruang Banach, yang membuat ruang bernorma terkait erat dengan ruang Banach. Setiap ruang Banach adalah ruang bernorma tetapi sebaliknya tidak harus benar. Contoh: Satu himpunan urutan berbatas. Studi tentang ruang bernorma dan ruang Banach merupakan bagian fundamental dari analisis fungsional, yang merupakan subbidang utama matematika.

Sebuah ruang hasil kali dalam menjadi ruang bernorma jika norma sebuah vektor adalah akar kuadrat dari hasil kali dalam vektor itu sendiri. Jarak Euklides dalam ruang Euklides terkait dengan norma ruang vektor terkait (yang merupakan ruang hasil kali dalam) dengan rumus

${\displaystyle d(A,B)=\|{\overrightarrow {AB}}\|.}$

Definisi

Ruang vektor bernorma adalah pasangan ${\displaystyle (V,\|\cdot \|)}$ di mana ${\displaystyle V}$ adalah ruang vektor dan ${\displaystyle \|\cdot \|}$ a norma di ${\displaystyle V}$.

Ruang vektor seminorma adalah tupek ${\displaystyle (V,p)}$ di mana ${\displaystyle V}$ adalah ruang vektor dan ${\displaystyle p}$ a seminorma di ${\displaystyle V}$.

Jika ${\displaystyle p}$ atau ${\displaystyle \|\cdot \|}$ dan cukup tulis ${\displaystyle V}$ untuk spasi jika jelas dari konteksnya apa (semi) norma yang kita gunakan.

Dalam pengertian yang lebih umum, norma vektor dapat dianggap sebagai fungsi bernilai riil^[butuh klarifikasi] yang memenuhi ketiga sifat di atas.

Variasi pertidaksamaan segitiga adalah

${\displaystyle \|x-y\|\geq |\|x\|-\|y\||}$ untuk setiap vektor x dan y.

Ini juga menunjukkan bahwa norma vektor adalah fungsi kontinu.

Perhatikan bahwa properti 2 bergantung pada pilihan norma ${\displaystyle |\alpha |}$ di bidang skalar. Ketika bidang skalar ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (atau lebih umum merupakan himpunan bagian dari ${\displaystyle \mathbb {C} }$), ini biasanya dianggap nilai absolut biasa, tetapi pilihan lain dimungkinkan. Misalnya, untuk vektor spasi di atas ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ satu bisa mengambil ${\displaystyle |\alpha |}$ menjadi norma p-adik, yang memunculkan kelas ruang vektor bernorma yang berbeda.

Struktur topologi

Jika ( V , ‖·‖) adalah ruang vektor bernorma, norma ‖·‖ menginduksi a metrik (pengertian jarak ) dan karena itu topologi pada V . Metrik ini didefinisikan dengan cara alami: jarak antara dua vektor 'u' dan 'v' diberikan oleh ‖ 'u' - 'v' ‖. Topologi ini justru merupakan topologi terlemah yang membuat ‖·‖ kontinu dan yang kompatibel dengan struktur linier V dalam pengertian berikut:

1. Penambahan vektor +: V × V → V secara bersama-sama kontinu sehubungan dengan topologi ini. Ini mengikuti langsung dari pertidaksamaan segitiga.
2. Perkalian skalar ·: K × V → V, dimana K adalah bidang skalar yang mendasari V , terus menerus bersama. Ini mengikuti dari segitiga ketidaksamaan dan homogenitas norma.

Demikian pula, untuk ruang vektor semi-normed, kita dapat mendefinisikan jarak antara dua vektor u dan v sebagai ‖u − v‖. Ini mengubah ruang seminormed menjadi ruang pseudometrik (perhatikan ini lebih lemah dari metrik) dan memungkinkan definisi pengertian seperti kontinuitas. Untuk membuatnya lebih abstrak, setiap ruang vektor semi-norma adalah ruang vektor topologis dan dengan demikian membawa struktur topologi yang diinduksi oleh semi-norma.

Yang menarik adalah lengkap ruang bernorma yang disebut Ruang Banach. Setiap ruang vektor bernorma V berada sebagai subruang padat di dalam ruang Banach; Ruang Banach ini pada dasarnya didefinisikan secara unik oleh V dan disebut penyelesaian dari V '.

Dua norma pada ruang vektor yang sama disebut ekivalen jika keduanya mendefinisikan topologi yang sama. Pada ruang vektor berdimensi-hingga, semua norma adalah setara tetapi ini tidak berlaku untuk ruang vektor berdimensi tak hingga.

Semua norma pada ruang vektor berdimensi-hingga adalah setara dari sudut pandang topologi karena mereka menginduksi topologi yang sama (meskipun ruang metrik yang dihasilkan tidak harus sama).[2] Dan karena setiap ruang Euklides lengkap, kita dapat menyimpulkan bahwa semua ruang vektor berdimensi hingga adalah ruang Banach. Ruang vektor bernorma V adalah kompak lokal jika dan hanya jika bola satuan B = {x : ‖x‖ ≤ 1} adalah kompak, yang terjadi jika dan hanya jika V berdimensi hingga; ini adalah konsekuensi dari lemma Riesz. (Faktanya, hasil yang lebih umum adalah benar: ruang vektor topologis kompak secara lokal jika dan hanya jika berdimensi berhingga. Intinya di sini adalah kita tidak mengasumsikan topologi berasal dari suatu norma.)

Topologi ruang vektor seminormed memiliki banyak properti bagus. Diberikan sistem lingkungan ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0)}$ sekitar 0 kita dapat membangun semua sistem lingkungan lainnya sebagai

${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=x+{\mathcal {N}}(0):=\{x+N\mid N\in {\mathcal {N}}(0)\}}$

dengan

${\displaystyle x+N:=\{x+n\mid n\in N\}}$.

Selain itu, terdapat basis lingkungan untuk 0 yang terdiri dari penyerap dan himpunan konveks. Karena properti ini sangat berguna dalam analisis fungsional, generalisasi ruang vektor bernorma dengan properti ini dipelajari dengan nama ruang konveks lokal.

Ruang normal

Ruang vektor topologis ${\displaystyle (X,\tau )}$ disebut normabel jika ada norma ${\displaystyle \|\cdot \|}$ pada X sedemikian rupa sehingga metrik kanonik ${\displaystyle (x,y)\mapsto \|y-x\|}$ menginduksi topologi ${\displaystyle \tau }$ pada X . Teorema berikut ini berasal dari Kolmagoroff:[3]

Teorema — Ruang vektor topologis Hausdorff dapat dinormalkan jika dan hanya jika terdapat lingkungan cembung, dibatasi von Neumann ${\displaystyle 0\in X}$.

Sebuah produk dari suatu keluarga ruang normabel dapat dinormalkan jika dan hanya jika terbatas banyak ruang yang non-sepele (yaitu ${\displaystyle \neq \{0\}}$).[3] Selanjutnya, hasil bagi dari ruang normabel X oleh subruang vektor tertutup C dapat dinormalkan dan jika topologi tambahan X dirumuskan norma ${\displaystyle \|\cdot \|}$ maka peta ${\displaystyle X/C\to \mathbb {R} }$ dirumuskan ${\displaystyle x+C\mapsto \inf _{c\in C}\|x+c\|}$ adalah norma yang didefinisikan dengan baik pada X/C yang menginduksi quotient topology pada X/C.[4]

Jika X adalah ruang vektor topologis Hausdorff cembung lokal, maka yang berikut ini setara:

1. X adalah normabel.
2. X memiliki lingkungan berbatas di asalnya.
3. ganda ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ dari X adalah normabel.[5]
4. ganda ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ dari X adalah dapat diukur.[5]

Lebih lanjut, X adalah dimensi berhingga jika dan hanya jika ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ adalah normabel (dimana ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ menunjukkan ${\displaystyle X^{\prime }}$ dinamakan dengan topologi *rendah).

Ruanga norma sebagai ruang hasil bagi dari spasi seminormed

Definisi dari banyak ruang bernorma (khususnya, Ruang Banach) melibatkan seminorm yang didefinisikan pada ruang vektor dan kemudian ruang bernorma didefinisikan sebagai ruang hasil bagi oleh subruang elemen seminorm nol. Misalnya, dengan L^p spaces, fungsi yang ditentukan oleh

${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int |f(x)|^{p}\;dx\right)^{1/p}}$

adalah seminorm pada ruang vektor dari semua fungsi di mana integral Lebesgue di sisi kanan didefinisikan dan terbatas. Namun, seminorm sama dengan nol untuk fungsi apapun didukung pada satu set Ukuran Lebesgue nol. Fungsi-fungsi ini membentuk subruang yang kita "bagi", membuatnya setara dengan fungsi nol.

Ruang perkalian hingga

Diberikan n ruang seminorma X_i dengan seminorma q_i kita dapat mendefinisikan ruang produk sebagai

${\displaystyle X:=\prod _{i=1}^{n}X_{i}}$

dengan penjumlahan vektor didefinisikan sebagai

${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})+(y_{1},\ldots ,y_{n}):=(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n})}$

dan perkalian skalar didefinisikan sebagai

${\displaystyle \alpha (x_{1},\ldots ,x_{n}):=(\alpha x_{1},\ldots ,\alpha x_{n})}$.

Kami mendefinisikan fungsi baru q

${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$

for example as

${\displaystyle q:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto \sum _{i=1}^{n}q_{i}(x_{i})}$.

yang merupakan seminorm pada X . Fungsi q adalah norma jika dan hanya jika semua q_i adalah norma.

Secara lebih umum, untuk setiap p≥1 riil memiliki seminorma:

${\displaystyle q:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto \left(\sum _{i=1}^{n}q_{i}(x_{i})^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.}$

Untuk setiap p, ini mendefinisikan ruang topologi yang sama.

Argumen langsung yang melibatkan aljabar linier dasar menunjukkan bahwa satu-satunya ruang seminormed berdimensi-hingga adalah yang muncul sebagai ruang hasil kali dari ruang bernorma dan ruang dengan trivia. Akibatnya, banyak contoh dan aplikasi yang lebih menarik dari ruang seminormed terjadi untuk ruang vektor berdimensi tak hingga.

Lihat pula

• Ruang Banach, ruang vektor bernorma yang lengkap sehubungan dengan metrik yang diinduksi oleh norma
• Lipatan Finsler, di mana panjang setiap vektor tangen ditentukan oleh sebuah norma
• Ruang hasil kali dalam, ruang vektor bernorma di mana norma diberikan oleh hasil kali dalam
• Kriteria normabilitas Kolmogorov
• Ruang vektor topologis konveks lokal - ruang vektor dengan topologi yang ditentukan oleh set terbuka cembung
• Ruang (matematika) - himpunan matematika dengan beberapa struktur tambahan
• Ruang vektor topologis - ruang vektor dengan pengertian tentang kedekatan

Referensi

1. Callier, Frank M. (1991). Linear System Theory. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97573-X. 
2. Kedlaya, Kiran S. (2010), p-adic differential equations, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 125, Cambridge University Press, CiteSeerX 10.1.1.165.270 , ISBN 978-0-521-76879-5 , Theorem 1.3.6
3. Schaefer 1999, hlm. 41.
4. Schaefer 1999, hlm. 42.
5. Trèves 2006, hlm. 136–149, 195–201, 240–252, 335–390, 420–433.

Bibliografi

• Templat:Banach Théorie des Opérations Linéaires
• Rolewicz, Stefan (1987), Functional analysis and control theory: Linear systems, Mathematics and its Applications (East European Series), 29 (edisi ke-Translated from the Polish by Ewa Bednarczuk), Dordrecht; Warsaw: D. Reidel Publishing Co.; PWN—Polish Scientific Publishers, hlm. xvi+524, doi:10.1007/978-94-015-7758-8, ISBN 90-277-2186-6, MR 0920371, OCLC 13064804 
• Schaefer, H. H. (1999). Topological Vector Spaces. New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. 
• Templat:Trèves François Topological vector spaces, distributions and kernels

Pranala luar

• Media tentang Normed spaces di Wikimedia Commons

Templat:Analisis Fungsional Templat:Ruang Vektor Topologi