Teori model

Dalam matematika, teori model adalah studi tentang hubungan antara teori formal (kumpulan kalimat dalam bahasa formal mengungkapkan pernyataan tentang struktur matematika), dan modelnya, diambil sebagai interpretasi yang memenuhi kalimat teori tersebut.^[1]

Teori model mengakui dan sangat berkaitan dengan dualitas: Elemen semantik (makna) dengan menggunakan elemen sintaks (rumus dan bukti) dari bahasa yang sesuai. Dalam definisi ringkasan, ditemukan pada tahun 1973:

teori model = aljabar universal + logika.^[1]

Teori model berkembang pesat selama tahun 1990-an, dan definisi yang lebih modern ditemukan oleh Wilfrid Hodges (1997):

teori model = geometri aljabar - bidang.

Slogan dari banyak kesamaan: jadi, misalnya, varietas aljabar dapat secara informal digambarkan sebagai lokus titik di mana grup polinomial berada. Demikian pula, model dapat digambarkan sebagai lokus interpretasi di mana kumpulan kalimat benar. Ada analogi lebih lanjut yang meluas ke berbagai kedalaman.

Slogan lain yang sering berulang menyatakan bahwa

"Jika teori bukti adalah tentang sakral, maka teori model adalah tentang profan"^[2]

menunjukkan bahwa kedua topik ini memiliki arti ganda satu sama lain. Sama seperti teori bukti, teori model terletak di area interdisipliner antara matematika, filsafat, dan ilmu komputer. Teori model digunakan dalam berbagai pengaturan, baik akademis maupun industri. Ini termasuk:

• Membuktikan hasil pada sistem aksioma. Misalnya, bukti bahwa hipotesis kontinum tidak bergantung pada aksioma lain teori himpunan Zermelo–Fraenkel (ZFC) dilakukan dengan membangun di dalam ZFC model ZFC di mana kontinum, dan model lain yang salah (lihat Hipotesis kontinum § Independensi dari ZFC).
• Memberikan dasar bagi pemecah teori modulo satidf, yang biasanya digunakan untuk verifikasi fungsional di otomatisasi desain elektronik. Pemecah untuk mencari kalimat, sehingga pernyataan yang setara dalam beberapa teori tertentu, seperti teori persamaan atau teori aljabar linear.
• Memberikan dasar untuk model relasional, yang merupakan fragmen yang terdiri dari struktur yang tanda tangan seluruhnya terdiri dari relasi. Hasil yang terkenal termasuk bahwa SQL dan noSQL adalah kategori ganda.

Organisasi profesi yang paling menonjol di bidang teori model adalah Association for Symbolic Logic.

Teori model hingga (TMH) adalah subarea teori model (TM) dari pembatas pada interpretasi struktur berhingga, yang memiliki semesta berhingga.

Karena banyak teorema sentral teori model tidak berlaku ketika terbatas pada struktur berhingga, TMH sangat berbeda dari TM dalam metode pembuktiannya. Hasil utama dari teori model klasik yang gagal untuk struktur berhingga di bawah FMT termasuk teorema kompak, Teorema kelengkapan Gödel, dan metode ultraproduk untuk logika orde pertama.

Area aplikasi utama FMT adalah teori kompleksitas deskriptif, teori database dan teori bahasa formal.

Sedangkan aljabar universal menyediakan semantik untuk tanda tangan, logika menyediakan sintaks. Dengan istilah, identitas, dan indentitas-semu, bahkan aljabar universal memiliki beberapa alat sintaksis yang terbatas; Logika urutan pertama adalah hasil dari membuat kuantifikasi eksplisit dan menambahkan negasi ke dalam gambar.

Rumus urutan pertama dibuat dari rumus atom seperti R(f(x,y),z) or y = x + 1 melalui konektor Boolean ${\displaystyle \neg ,\land ,\lor ,\rightarrow }$ dan awalan bilangan ${\displaystyle \forall v}$ atau ${\displaystyle \exists v}$. Kalimat adalah rumus di mana setiap kemunculan variabel berada dalam ruang lingkup pembilang yang sesuai. Contoh rumusnya adalah φ (atau φ (x) untuk menandai fakta bahwa paling banyak x adalah variabel tak terikat di φ) dan ψ didefinisikan sebagai berikut:

${\displaystyle {\varphi \;=\;\forall u\forall v(\exists w(x\times w=u\times v)\rightarrow (\exists w(x\times w=u)\lor \exists w(x\times w=v)))\land x\neq 0\land x\neq 1,}}$

${\displaystyle \psi \;=\;\forall u\forall v((u\times v=x)\rightarrow (u=x)\lor (v=x))\land x\neq 0\land x\neq 1.}$

(Perhatikan bahwa simbol kesetaraan memiliki makna ganda.) Jelas secara intuitif bagaimana menerjemahkan rumus tersebut ke dalam makna matematika. Dalam struktur-σ_smr ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ dari bilangan asli, misalnya, elemen n menggunakan rumus φ jika dan hanya jika n adalah bilangan prima. Rumus ψ juga mendefinisikan irredusibilitas. Tarski memberikan definisi yang ketat, kadang-kadang disebut "Definisi Tarski", untuk relasi ${\displaystyle \models }$, sehingga dengan mudah membuktikan:

${\displaystyle {\mathcal {N}}\models \varphi (n)\iff n}$ adalah bilangan prima.

${\displaystyle {\mathcal {N}}\models \psi (n)\iff n}$ tidak direduksi.

Satu himpunan kalimat T disebut (urutan pertama) teori. Suatu teori memiliki model ${\displaystyle {\mathcal {M}}\models T}$, yaitu sebuah struktur (dari tanda tangan yang sesuai) yang memenuhi semua kalimat dalam himpunan T . Konsistensi dari suatu teori biasanya didefinisikan secara sintaksis, tetapi dalam logika orde pertama oleh teorema kesempurnaan tidak perlu membedakan antara kepuasan. Oleh karena itu, ahli teori model sering menggunakan "konsisten" sebagai sinonim untuk "statifibel".

Langkah pertama, trivial untuk menerapkan metode teori model ke kelas objek matematika seperti grup, atau pohon dalam pengertian teori grafik, adalah tanda tangan σ dan merepresentasikan objek sebagai struktur σ. Langkah selanjutnya adalah untuk menunjukkan bahwa kelas tersebut adalah kelas dasar, yaitu dapat diaksiomati dalam logika orde pertama (yaitu ada teori T sehingga struktur σ ada di kelas jika dan hanya jika T ). Misalnya. langkah untuk pohon, karena keterhubungan tidak dapat diekspresikan dalam logika orde pertama. Aksiomatibilitasi memastikan bahwa teori model dapat berbicara tentang objek tepat. Penghapusan kuantifer dapat dilihat sebagai kondisi yang memastikan bahwa teori model tidak terlalu banyak tentang objek.

Sebuah teori T memiliki eliminasi pembilang jika setiap rumus orde pertama φ(x₁, ..., x_n) di atas tanda tangannya adalah modulo T setara dengan rumus orde pertama ψ(x₁, ..., x_n) tanpa bilangan, yaitu ${\displaystyle \forall x_{1}\dots \forall x_{n}(\phi (x_{1},\dots ,x_{n})\leftrightarrow \psi (x_{1},\dots ,x_{n}))}$ berlaku pada model T . Misalnya, teori bidang tertutup secara aljabar di tanda tangan σ_ring = (×,+,−,0,1) memiliki eliminasi pembilang karena setiap rumus setara dengan kombinasi Boolean persamaan antar polinomial.

Substruktur dari struktur σ adalah himpunan bagian dari domainnya, ditutup di bawah semua fungsi dalam tanda tangannya σ, yang dianggap sebagai struktur σ dengan membatasi semua fungsi dan relasi di σ ke subset. Sebuah embedding dari struktur σ dengan ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ke dalam struktur σ dengan ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ adalah peta f: A → B antara domain yang dapat ditulis sebagai isomorfisme dari ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ dengan substruktur ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$. Setiap embedding adalah homomorfisme injektif, tetapi kebalikannya hanya berlaku jika tanda tangan tidak berisi simbol relasi.

Jika suatu teori tidak memiliki eliminasi pembilang, seseorang dapat menambahkan simbol tambahan ke tanda tangannya sehingga teori tersebut melakukannya. Teori model awal menghabiskan banyak upaya untuk membuktikan aksiomatizabilitas dan hasil eliminasi pembilang untuk teori tertentu, terutama dalam aljabar. Tetapi eliminasi pembilang, properti yang lebih lemah sudah cukup:

Seperti yang diamati pada bagian logika urutan pertama, Teori orde pertama tidak dapat dikategorikan, yaitu tidak dapat menggambarkan model unik hingga isomorfisme, kecuali model itu terbatas. Tetapi dua teorema teori model yang terkenal berurusan dengan gagasan yang lebih lemah tentang kategorisasi κ untuk sebuah kardinal κ. Sebuah teori T disebut κ-kategorikal jika ada dua model T yang berkardinalitas κ isomorfik. Ternyata pertanyaan tentang kategorisasi κ sangat bergantung pada apakah κ lebih besar dari kardinalitas bahasa tersebut (yaitu ${\displaystyle \aleph _{0}}$ + |σ|, dimana | σ | adalah kardinalitas dari tanda tangan). Untuk tanda tangan terbatas atau dapat dihitung, ini berarti ada perbedaan mendasar antara kardinal-${\displaystyle \aleph _{0}}$ dan κ-kardinal untuk κ tak terhitung.

Teori model sebagai subjek telah ada sejak pertengahan abad ke-20. Namun beberapa penelitian sebelumnya, terutama dalam logika matematika, sering dianggap sebagai model-teoritis alam dalam retrospeksi. Hasil penting pertama dalam apa yang sekarang menjadi teori model adalah kasus khusus dari teorema Löwenheim–Skolem, yang diterbitkan oleh Leopold Löwenheim pada tahun 1915. Teorema kekompakan tersirat dalam karya Thoralf Skolem,

"Ketiga komentator [yaitu Vaught, van Heijenoort dan Dreben] setuju bahwa baik teorema kelengkapan dan kekompakan tersirat dalam Skolem 1923…"^[3]

tapi pertama kali diterbitkan pada tahun 1930, sebagai lemma dalam Kurt Gödel bukti teorema kelengkapan. Teorema Löwenheim–Skolem dan teorema kompak menerima bentuk umum masing-masing pada tahun 1936 dan 1941 dari Anatoly Maltsev.

Perkembangan teori model dapat ditelusuri ke Alfred Tarski, anggota sekolah Lwów–Warsawa selama interbellum. Karya Tarski termasuk konsekuensi logis, sistem deduktif, aljabar logika, teori definisi, dan definisi semantik kebenaran, di antara topik lainnya. Metode semantiknya memuncak dalam teori model dia dan sejumlah Berkeley siswa berkembang pada 1950-an dan 60-an. Konsep modern dari teori model ini mempengaruhi program Hilbert dan matematika modern.

• Chang, Chen Chung; Keisler, H. Jerome (1990) [1973]. Model Theory. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (edisi ke-3rd). Elsevier. ISBN 978-0-444-88054-3. 
• Hodges, Wilfrid (1997). A shorter model theory. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-58713-6. 
• Kopperman, R. (1972). Model Theory and Its Applications. Boston: Allyn and Bacon. 
• Marker, David (2002). Model Theory: An Introduction. Graduate Texts in Mathematics 217. Springer. ISBN 0-387-98760-6. 

• Bell, John L.; Slomson, Alan B. (2006) [1969]. Models and Ultraproducts: An Introduction (edisi ke-reprint of 1974). Dover Publications. ISBN 0-486-44979-3. 
• Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Flum, Jörg; Thomas, Wolfgang (1994). Mathematical Logic. Springer. ISBN 0-387-94258-0. 
• Hinman, Peter G. (2005). Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. ISBN 1-56881-262-0. 
• Hodges, Wilfrid (1993). Model theory. Cambridge University Press. ISBN 0-521-30442-3. 
• Manzano, María (1999). Model theory. Oxford University Press. ISBN 0-19-853851-0. 
• Poizat, Bruno (2000). A Course in Model Theory. Springer. ISBN 0-387-98655-3. 
• Rautenberg, Wolfgang (2010). A Concise Introduction to Mathematical Logic (edisi ke-3rd). New York: Springer Science+Business Media. doi:10.1007/978-1-4419-1221-3. ISBN 978-1-4419-1220-6. 
• Rothmaler, Philipp (2000). Introduction to Model Theory (edisi ke-new). Taylor & Francis. ISBN 90-5699-313-5. 
• Tent, Katrin; Ziegler, Martin (2012). A Course in Model Theory. Cambridge University Press. ISBN 9780521763240. 
• Kirby, Jonathan (2019). An Invitation to Model Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-16388-1. 

• Chatzidakis, Zoé (2001). Introduction to Model Theory (PDF). hlm. 26 pages. 
• Pillay, Anand (2002). Lecture Notes – Model Theory (PDF). hlm. 61 pages. 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Model theory", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Hodges, Wilfrid, Model theory. The Stanford Encyclopedia Of Philosophy, E. Zalta (ed.).
• Hodges, Wilfrid, First-order Model theory. The Stanford Encyclopedia Of Philosophy, E. Zalta (ed.).
• Simmons, Harold (2004), An introduction to Good old fashioned model theory. Notes of an introductory course for postgraduates (with exercises).
• J. Barwise and S. Feferman (editors), Model-Theoretic Logics, Perspectives in Mathematical Logic, Volume 8, New York: Springer-Verlag, 1985.

• Map of the Universe - Database kecil teori dan propertinya.