Hipotesis kontinum

Dalam matematika, hipotesis kontinum (bahasa Inggris: continuum hypothesis) adalah hipotesis yang menjelaskan tentang ukuran himpunan tak terhingga yang mungkin. Hipotesis ini berbunyi

tiada himpunan yang kardinalitasnya di antara kardinalitas himpunan bilangan bulat dan kardinalitas himpunan bilangan real.

Bunyi dari hipotesis kontinum ekuivalen dengan pernyataan bahwa "setiap subhimpunan dari himpunan bilangan real adalah himpunan terhingga, takhingga terhitung, atau mempunyai kardinalitas yang sama seperti kardinalitas himpunan bilangan real."

Dalam teori himpunan Zermelo–Fraenkel dengan aksioma pemilihan (ZFC), pernyataan tersebut ekuivalen dengan persamaan dalam bilangan alef ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$, atau disingkat dalam bilangan beth ${\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{1}}$.

Hipotesis kontinum pertama kali dikemukakan oleh Georg Cantor pada tahun 1878.[1] Masalah yang menentukan kebenaran dan kesalahan hipotesis kontinum merupakan salah satu dari 23 masalah Hilbert, yang dikenal sebagai masalah pertama Hilbert, dan masalah ini dikemukakan pada tahun 1900. Jawaban untuk masalah ini adalah independen dari teori himpunan ZFC, sehingga hipotesis kontinum maupun negasinya dapat ditambahkan sebagai aksioma untuk teori himpunan ZFC, dengan teori yang dihasilkan adalah konsisten jika dan hanya jika ZFC konsisten. Independensi ini dibuktikan pertama kali oleh Pauh Cohen pada tahun 1963, dengan menyempurnakan bukti milik Kurt Gödel pada tahun 1940.

Referensi

1. Cantor, Georg (1878). "Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 1878 (84): 242–258. doi:10.1515/crll.1878.84.242.