Шостий степінь

У арифметиці та алгебрі шостий степінь числа n є результатом множення шести екземплярів n разом. Так:

n^6 = n × n × n × n × n × n.

Шостий степінь можна утворити, помноживши число на його п'ятий степінь, помноживши квадрат числа на його четвертий степінь, піднесенням квадрата у куб або піднесенням куба у квадрат.

Послідовність шостих степенів цілих така:

0, 1, 64, 729, 4096, 15625, 46656, 117649, 262144, 531441, 1000000, 1771561, 2985984, 4826809, 7529536, 11390625, 16777216, 24137569, 34012224, 47045881, 64000000, 85766121, 113379904, 148035889, 191102976, 244140625, 308915776, 387420489, 481890304, … (послідовність A001014 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Квадрати та куби

Шостий степінь цілих чисел можна схарактеризувати як числа, які одночасно є квадратами і кубами.[1] Таким чином, вони аналогічні двом іншим класам фігурних чисел: квадратним трикутним числам, які одночасно є квадратними та трикутними, і розв'язання задачі про гарматні ядра, які одночасно є квадратними та квадратно-пірамідальними.

Через їх зв'язок із квадратами та кубами шостий степінь відіграє важливу роль у вивченні кривої Морделла^[en], які є еліптичною кривою виду

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+k.}$

Коли ${\displaystyle k}$ ділиться на шостий степінь, це рівняння можна зменшити, поділивши на цей степінь, щоб отримати простіше рівняння такого ж вигляду. Добре відомий результат у теорії чисел, доведений Рудольфом Футером^[en] і Луїсом Морделлом^[en] стверджує, що коли ${\displaystyle k}$ це ціле число, яке не ділиться на шостий степінь (крім виняткових випадків ${\displaystyle k=1}$ і ${\displaystyle k=-432}$), це рівняння не має раціональних розв'язків з ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ відмінними від нуля або їх нескінченна кількість.[2]

У архаїчній нотації^[en] Роберта Рекорда шостий степінь числа називався «zenzicube», що означає квадрат куба. Аналогічне позначення шостих степеней, використане в 12 столітті індійським математиком● Бхаскара II, також називало їх або квадратом куба, або кубом квадрата.[3]

Суми

Відомі численні приклади шостого степеня, які можна виразити як суму семи інших шостих степенів, але поки невідомо жодного прикладу шостого степеня, вираженого як сума лише шести шостих степенів.[4] Це робить його унікальним серед степенів з показником k = 1, 2, … , 8, інші з яких можуть бути виражені як сума k інших k-го степеня, і деякі з яких (порушуючи гіпотезу Ейлера) можуть бути виражені як сума ще меншої кількості k-их степенів.

У зв'язку з проблемою Воринга, кожне досить велике ціле число можна представити як суму щонайбільше 24 шостих степенів цілих чисел.[5]

Існує нескінченно багато різних нетривіальних рішень діофантового рівняння[6]

${\displaystyle a^{6}+b^{6}+c^{6}=d^{6}+e^{6}+f^{6}.}$

Не доведено чи рівняння

${\displaystyle a^{6}+b^{6}=c^{6}+d^{6}}$

має нетривіальне рішення,[7] але гіпотеза Ландера, Паркіна та Селфріджа^[en] означала б, що це не так.

Див. також

• Рівняння шостого степеня
• Сьомий степінь

Примітки

1. Dowden, Richard (30 квітня 1825), (untitled), Mechanics' Magazine and Journal of Science, Arts, and Manufactures, Knight and Lacey, т. 4, № 88, с. 54
2. Ireland, Kenneth F.; Rosen, Michael I. (1982), A classical introduction to modern number theory, Graduate Texts in Mathematics, т. 84, Springer-Verlag, New York-Berlin, с. 289, ISBN 0-387-90625-8, MR 0661047.
3. Cajori, Florian (2013), A History of Mathematical Notations, Dover Books on Mathematics, Courier Corporation, с. 80, ISBN 9780486161167
4. Quoted in Meyrignac, Jean-Charles (14 лютого 2001). Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers: Best Known Solutions. Процитовано 17 липня 2017.
5. Vaughan, R. C.; Wooley, T. D. (1994), Further improvements in Waring's problem. II. Sixth powers, Duke Mathematical Journal, 76 (3): 683—710, doi:10.1215/S0012-7094-94-07626-6, MR 1309326
6. Brudno, Simcha (1976), Triples of sixth powers with equal sums, Mathematics of Computation, 30 (135): 646—648, doi:10.1090/s0025-5718-1976-0406923-6, MR 0406923
7. Bremner, Andrew; Guy, Richard K. (1988), Unsolved Problems: A Dozen Difficult Diophantine Dilemmas, American Mathematical Monthly, 95 (1): 31—36, doi:10.2307/2323442, JSTOR 2323442, MR 1541235

Посилання

• Weisstein, Eric W. Diophantine Equation—6th Powers(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.