Надскладене число

Перші чотири надскладені числа: 1, 2, 4, 6 і їх розкладання на дільники

Надскладене число — натуральне число з більшою кількістю дільників, ніж у будь-якого меншого натурального числа.

Історія

Термін запропонував Рамануджан 1915 року. Однак Жан-П'єр Кагане^[en] розглядав їх раніше, і, можливо, вони були відомі вже Платону, який описав число 5040 як ідеальну кількість громадян міста, оскільки 5040 має більше дільників, ніж будь-яке менше число.[1]

Приклади

У таблиці наведено перші 38 надскладених чисел (послідовність A002182 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Номер	Надскладене	Розклад на прості	Кількість дільників	Розклад на прайморіали
1	1		1
2	2	${\displaystyle 2}$	2	${\displaystyle 2}$
3	4	${\displaystyle 2^{2}}$	3	${\displaystyle 2^{2}}$
4	6	${\displaystyle 2\cdot 3}$	4	${\displaystyle 6}$
5	12	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3}$	6	${\displaystyle 2\cdot 6}$
6	24	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3}$	8	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6}$
7	36	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3^{2}}$	9	${\displaystyle 6^{2}}$
8	48	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3}$	10	${\displaystyle 2^{3}\cdot 6}$
9	60	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3\cdot 5}$	12	${\displaystyle 2\cdot 30}$
10	120	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3\cdot 5}$	16	${\displaystyle 2^{2}\cdot 30}$
11	180	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5}$	18	${\displaystyle 6\cdot 30}$
12	240	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3\cdot 5}$	20	${\displaystyle 2^{3}\cdot 30}$
13	360	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5}$	24	${\displaystyle 2\cdot 6\cdot 30}$
14	720	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5}$	30	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6\cdot 30}$
15	840	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3\cdot 5\cdot 7}$	32	${\displaystyle 2^{2}\cdot 210}$
16	1260	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	36	${\displaystyle 6\cdot 210}$
17	1680	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3\cdot 5\cdot 7}$	40	${\displaystyle 2^{3}\cdot 210}$
18	2520	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	48	${\displaystyle 2\cdot 6\cdot 210}$
19	5040	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	60	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6\cdot 210}$
20	7560	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7}$	64	${\displaystyle 6^{2}\cdot 210}$
21	10080	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	72	${\displaystyle 2^{3}\cdot 6\cdot 210}$
22	15120	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7}$	80	${\displaystyle 2\cdot 6^{2}\cdot 210}$
23	20160	${\displaystyle 2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	84	${\displaystyle 2^{4}\cdot 6\cdot 210}$
24	25200	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7}$	90	${\displaystyle 2^{2}\cdot 30\cdot 210}$
25	27720	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	96	${\displaystyle 2\cdot 6\cdot 2310}$
26	45360	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7}$	100	${\displaystyle 6^{3}\cdot 210}$
27	50400	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7}$	108	${\displaystyle 2^{3}\cdot 30\cdot 210}$
28	55440	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	120	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6\cdot 2310}$
29	83160	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	128	${\displaystyle 6^{2}\cdot 2310}$
30	110880	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	144	${\displaystyle 2^{3}\cdot 6\cdot 2310}$
31	166320	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	160	${\displaystyle 2\cdot 6^{2}\cdot 2310}$
32	221760	${\displaystyle 2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	168	${\displaystyle 2^{4}\cdot 6\cdot 2310}$
33	277200	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11}$	180	${\displaystyle 2^{2}\cdot 30\cdot 2310}$
34	332640	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	192	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6^{2}\cdot 2310}$
35	498960	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	200	${\displaystyle 6^{3}\cdot 2310}$
36	554400	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11}$	216	${\displaystyle 2^{3}\cdot 30\cdot 2310}$
37	665280	${\displaystyle 2^{6}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	224	${\displaystyle 2^{3}\cdot 6^{2}\cdot 2310}$
38	720720	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13}$	240	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6\cdot 30030}$

Розклад на прості

У розкладанні надскладених чисел беруть участь найменші прості множники, і при цьому не надто багато однакових.

За основною теоремою арифметики кожне натуральне число ${\displaystyle n}$ має єдиний розклад на прості:

${\displaystyle n=p_{1}^{c_{1}}\times p_{2}^{c_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{c_{k}}\qquad (1)}$

де ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{k}}$ прості, і показники ${\displaystyle c_{i}}$ додатні цілі числа. Кількість дільників ${\displaystyle d(n)}$ числа ${\displaystyle n}$ можна виразити так:

${\displaystyle d(n)=(c_{1}+1)\times (c_{2}+1)\times \cdots \times (c_{k}+1).\qquad (2)}$

Таким чином, для надскладеного числа ${\displaystyle n}$ виконується таке:

• Числа ${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}}$ є першими ${\displaystyle k}$ простими числами.
• Послідовність степенів повинна бути незростаюча, тобто ${\displaystyle c_{1}\geq c_{2}\geq \cdots \geq c_{k}}$ .
  • Ця властивість рівнозначна тому, що надскладене число є добутком прайморіалів.
• За винятком двох особливих випадків n = 4 та N = 36, останній степінь ${\displaystyle c_{k}}$ дорівнює одиниці.

Зокрема тільки 1, 4 і 36 є надскладеними квадратами.

Хоча описані вище умови є необхідними, вони не є достатніми. Наприклад, 96 = 2 ^5 × 3 задовольняє всім перерахованим вище умовам і має 12 дільників, але не є надскладеним, оскільки існує менше число 60, яке має таку саму кількість дільників.

Асимптотичне зростання і щільність

Існують сталі a і b, обидві більші, ніж 1, такі, що

${\displaystyle \ln(x)^{a}\leq Q(x)\leq \ln(x)^{b},}$

де ${\displaystyle Q(x)}$ позначає кількість надскладених чисел менших або рівних ${\displaystyle x}$ .

Першу частину нерівності довів Пал Ердеш 1944 року; другу довів Жан-Луї Ніколя^[en] 1988 року.

${\displaystyle 1{,}13862<\liminf {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1{,}44}$

і

${\displaystyle \limsup {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1{,}71.}$

Властивості

• Всі надскладені числа, більші від 6, є надлишковими.
• Не всі надскладені числа є числами харшад за основою 10;
  • перший контрприклад це 245 044 800: це число має суму цифр 27, але на 27 не ділиться.

Див. також

• Високототієнтне число^[en]
• Таблиця дільників
• Функція Ейлера

Примітки

1. Kahane, Jean-Pierre (February 2015), Bernoulli convolutions and self-similar measures after Erdős: A personal hors d'oeuvre, Notices of the American Mathematical Society, 62 (2): 136—140.

Джерела

• Ramanujan, S. Highly composite numbers : [] // Proc. London Math. Soc. (2). — 1915. — Т. 14. — С. 347—409. — DOI:10.1112/plms/s2_14.1.347. (online)
• Handbook of number theory I : []. — Dordrecht : Springer-Verlag, 2006. — С. 45—46. — ISBN 1-4020-4215-9.
• Erdös, P. On highly composite numbers : [] // Лондонське математичне товариство. — 1944. — Т. 19. — С. 130—133. — DOI:10.1112/jlms/19.75_part_3.130.
• Alaoglu, L. On highly composite and similar numbers : [англ.] // Transactions of the American Mathematical Society. — 1944. — Vol. 56, № 3. — С. 448—469. — DOI:10.2307/1990319.
• Ramanujan, Srinivasa. Highly composite numbers : [англ.] // Ramanujan Journal^[en] : journal. — 1997. — Vol. 1, № 2. — С. 119—153. — DOI:10.1023/A:1009764017495. Annotated and with a foreword by Jean-Louis Nicolas and Guy Robin.

Посилання

• Алгоритм обчислення надзвичайно складених чисел
• Перші 10000 надзвичайно складених чисел в якості факторів
• Flammenkamp Ахім, перший 779674 ГКН з Сигма, Тау, фактори
• Онлайн Сильно Складові Числа Калькулятор

Література

• О. Оре. Приглашение в теорию чисел. — М. : Наука, 1980. — 128 с. — (выпуск 3 серии «Библиотечка квант»). — 150 000 екз.