Число Уляма

Число Уляма — це член цілочисельної послідновності, яку придумав і назвав на свою честь Станіслав Улям у 1964.

Визначення

Стандартна послідовність Уляма (або (1, 2)-числа Уляма) починається з U1 = 1 і U2 = 2. При n > 2, Un визначається, як найменше ціле число більше за Un-1, яке єдиним чином розкладається на суму двох різних попередніх членів послідовності.

Приклади

З визначення випливає, що 3 це число Уляма (1+2) і 4 це число Уляма (1+3). (Тут 2 + 2 не є другим поданням 4, тому що попередні члени повинні бути різними.) Число 5 не є числом Уляма, тому що 5 = 1 + 4 = 2 + 3. Послідовність починається, як:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62, 69, 72, 77, 82, 87, 97, 99, 102, 106, 114, 126, 131, 138, 145, 148, 155, 175, 177, 180, 182, 189, 197, 206, 209, 219, 221, 236, 238, 241, 243, 253, 258, 260, 273, 282, … послідовність A002858 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

Перші числа Уляма, які також є простими числами:

2, 3, 11, 13, 47, 53, 97, 131, 197, 241, 409, 431, 607, 673, 739, 751, 983, 991, 1103, 1433, 1489, 1531, 1553, 1709, 1721, 2371, 2393, 2447, 2633, 2789, 2833, 2897, … послідовність A068820 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

Існує нескінченно багато чисел Уляма, оскільки після додавання перших n членів завжди можна додати ще один елемент: Un — 1 + Un, який буде однозначно визначений, як сума двох елементів менших за нього і ми можемо отримати ще менші елементи використовуючи подібний метод, тому наступний елемент можна визначити, як найменший серед цих однозначно визначених варіантів.[1] Улям вважав, що числа Уляма мають нульову асимптотичну щільність,[2]Recaman, (1973) повторив питання з Ulam, (1964b) щодо асимптотичної щільності, знову висуваючи припущення про її величину, але напевно, вона рівна 0.07398.[3]

Прихована структура

Було зауважено[4], що перші 10 мільйонів чисел Уляма задовольняють властивості: , крім 4 елементів (і це триває далі, як відомо, до ). Нерівності такого типу зазвичай істинні для послідовностей, що мають деяку форму періодичності, але послідовність Уляма, як відомо, не є періодичною, і цього явища не пояснено. Його можна використовувати для швидкого обчислення послідовності Уляма (див. Посилання).

Варіації та узагальнення

Ідею можна узагальнити як (u, v)-числа Уляма, вибравши різні початкові значення (u, v). Послідовність чисел (u, v)-чисел Уляма є періодичною, якщо послідовність різниць між послідовними числами в послідовності періодична. Коли v — непарне число більше трьох, послідовність (2, v)-чисел Уляма є періодичною. Коли v збігається з 1 (за модулем 4) і v не менше п'яти, послідовність (4, v)-чисел Уляма знову періодична. Однак стандартні числа Уляма не є періодичними.[5] Послідовність чисел називається s-адитивною, якщо кожне число в послідовності після початкових 2s членів послідовності має рівно s подань у вигляді суми двох попередніх чисел. Таким чином, числа Уляма і (u, v)-числа Уляма є 1-адитивними послідовностями.[6]

Якщо послідовність формується додаванням найбільшого числа з унікальним поданням у вигляді суми двох попередніх чисел, замість додавання найменшого однозначно поданого числа, то вона являє собою послідовність чисел Фібоначчі.[7]

Примітки

  1. ↑ Recaman, (1973) використовує схожий аргумент, сформульований як доведення від супротивного. Він стверджує, що якби було скінченне число чисел Уляма, то сума останніх двох також була б числом Уляма — суперечність. Однак, хоча сума останніх двох чисел у цьому випадку має єдине подання у вигляді суми двох чисел Уляма, вона не обов'язково є найменшим числом з єдиним поданням.
  2. ↑ Твердження, що Улям припускав це міститься в OEIS OEIS A002858, але Улям не намагався дати оцінку своєї послідовності в Ulam, (1964a), а в Ulam, (1964b) він згадував проблему асимптотичної щільності цієї множини, але також не намагався оцінити її значення.
  3. ↑ OEIS OEIS A002858
  4. ↑ Steinerberger, (2015)
  5. ↑ Queneau, (1972) вперше зауважив закономірність для u = 2 та v = 7 або v = 9. Finch, (1992) першим висунув гіпотезу про непарне v більше трьох, і її доведено Schmerl та Spiegel, (1994). Періодичність (4, v)-чисел Уляма доведено Cassaigne та Finch, (1995).
  6. ↑ Queneau, (1972).
  7. ↑ Finch, (1992).

Література

  • Cassaigne, Julien; Finch, Steven R. (1995), A class of 1-additive sequences and quadratic recurrences, Experimental Mathematics, 4 (1): 49—60, doi:10.1080/10586458.1995.10504307, MR 1359417
  • Finch, Steven R. (1992), On the regularity of certain 1-additive sequences, Journal of Combinatorial Theory, Series A, 60 (1): 123—130, doi:10.1016/0097-3165(92)90042-S, MR 1156652
  • Guy, Richard (2004), Unsolved Problems in Number Theory (вид. 3rd), Springer-Verlag, с. 166—167, ISBN 0-387-20860-7
  • Queneau, Raymond (1972), Sur les suites s-additives, Journal of Combinatorial Theory, Series A (фр.), 12 (1): 31—71, doi:10.1016/0097-3165(72)90083-0, MR 0302597
  • Recaman, Bernardo (1973), Questions on a sequence of Ulam, American Mathematical Monthly, 80 (8): 919—920, doi:10.2307/2319404, JSTOR 2319404, MR 1537172
  • Schmerl, James; Spiegel, Eugene (1994), The regularity of some 1-additive sequences, Journal of Combinatorial Theory, Series A, 66 (1): 172—175, doi:10.1016/0097-3165(94)90058-2, MR 1273299
  • Ulam, Stanislaw (1964a), Combinatorial analysis in infinite sets and some physical theories, SIAM Review, 6: 343—355, doi:10.1137/1006090, JSTOR 2027963, MR 0170832
  • Ulam, Stanislaw (1964b), Problems in Modern Mathematics, New York: John Wiley & Sons, Inc, с. xi, MR 0280310
  • Steinerberger, Stefan (2015), A Hidden Signal in the Ulam sequence, Experimental Mathematics, arXiv:1507.00267

Посилання