Періодична послідовність

У математиці періодична послідовність — це послідовність, у якій ті самі терми повторюються знову і знову:

a₁, a₂, ..., a_p,  a₁, a₂, ..., a_p,  a₁, a₂, ..., a_p, ...

Кількість р повторюваних доданків називають періодом[1].

Визначення

(Чисто) періодична послідовність (з періодом p), або p-періодична послідовність, це послідовність a₁, a₂, a₃, ..., у якій

a_n+p = a_n

для всіх значень n[1][2][3][4][5]. Якщо послідовність розглядати як функцію, областю визначення якої є множина натуральних чисел, то періодична послідовність є просто особливим типом періодичної функції. Найменше значення p, для якого періодична послідовність є p-періодичною, називають її найменшим періодом[1][6] або точним періодом[6]. 

Приклади

Кожна стала функція є 1-періодичною[4].

Послідовність ${\displaystyle 1,2,1,2,1,2\dots }$ є періодичною з найменшим періодом 2[2].

Послідовність цифр у десятковому розкладі 1/7 є періодичною з періодом 6:

${\displaystyle {\frac {1}{7}}=0.142857\,142857\,142857\,\ldots }$

Загалом, послідовність цифр у десятковому розкладі будь-якого раціонального числа є періодичною (див. нижче)[7]. 

Послідовність степенів − 1 є періодичною з періодом два:

${\displaystyle -1,1,-1,1,-1,1,\ldots }$

Загальніше, послідовність степенів будь-якого кореня з одиниці є періодичною. Те саме справедливо для степенів будь-якого елемента скінченного порядку в групі^[джерело?].

Періодична точка для функції f : X → X — точка x, орбіта якої

${\displaystyle x,\,f(x),\,f(f(x)),\,f^{3}(x),\,f^{4}(x),\,\ldots }$

є періодичною послідовністю. Тут, ${\displaystyle f^{n}(x)}$ означає n-разову композицію f, застосовану до x[6].  Періодичні точки важливі в теорії динамічних систем. Кожна функція від скінченної множини на саму себе має періодичну точку; виявлення циклу — це алгоритмічна задача знаходження такої точки.

Тотожності

Часткові суми

${\displaystyle \sum _{n=1}^{kp+m}a_{n}=k*\sum _{n=1}^{p}a_{n}+\sum _{n=1}^{m}a_{n}}$, де k і m<p — натуральні числа^[джерело?].

Часткові добутки

${\displaystyle \prod _{n=1}^{kp+m}a_{n}=({\prod _{n=1}^{p}a_{n}})^{k}*\prod _{n=1}^{m}a_{n}}$, де k і m<p — натуральні числа^[джерело?].

Періодичні послідовності нулів і одиниць

Будь-яку періодичну послідовність можна побудувати поелементним додаванням, відніманням, множенням і діленням періодичних послідовностей, що складаються з нулів і одиниць. Періодичні нульові та одиничні послідовності можна виразити як суми тригонометричних функцій:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{1}\cos(-\pi {\frac {n(k-1)}{1}})/1=1,1,1,1,1,1,1,1,1...}$ — період 1,

${\displaystyle \sum _{k=1}^{2}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{2}})/2=0,1,0,1,0,1,0,1,0...}$ — період 2,

${\displaystyle \sum _{k=1}^{3}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{3}})/3=0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1...}$ — період 3,

${\displaystyle ...}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{N}})/N=0,0,0...,1}$ — період ${\displaystyle N}$.

Узагальнення

Послідовність є зрештою періодичною, якщо її можна зробити періодичною, відкинувши деяку скінченну кількість початкових членів. Наприклад, послідовність цифр у десятковому розкладі 1/56 є періодичною:

1/56 = 0. 0 1 7  8 5 7 1 4 2  8 5 7 1 4 2  8 5 7 1 4 2  ... ^[джерело?]

Послідовність є остаточно періодичною, якщо вона задовольняє умову ${\displaystyle a_{k+r}=a_{k}}$ для деякого r і достатньо великого k[1].

Послідовність є асимптотично періодичною, якщо її члени наближаються до членів періодичної послідовності. Тобто послідовність x₁, х₂, х₃, ... є асимптотично періодичною, якщо існує періодична послідовність a₁, a₂, a₃, ... для якої

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}-a_{n}=0.}$[4][8][9] 

Наприклад, послідовність

1/3,  2/3,  1/4,  3/4,  1/5,  4/5,  . . .

є асимптотично періодичною, оскільки її члени наближаються до членів періодичної послідовності 0, 1, 0, 1, 0, 1, .... 

Примітки

1. Ultimately periodic sequence - Encyclopedia of Mathematics. encyclopediaofmath.org. 7 лютого 2011. Процитовано 13 серпня 2021.
2. Weisstein, Eric W. Periodic Sequence. mathworld.wolfram.com (англ.). Процитовано 13 серпня 2021.
3. Bosma, Wieb. Complexity of Periodic Sequences (PDF). www.math.ru.nl. Процитовано 13 серпня 2021.
4. Janglajew, Klara; Schmeidel, Ewa (14 листопада 2012). Periodicity of solutions of nonhomogeneous linear difference equations. Advances in Difference Equations. 2012 (1): 195. doi:10.1186/1687-1847-2012-195. ISSN 1687-1847.
5. Menezes, Alfred J.; Oorschot, Paul C. van; Vanstone, Scott A. (7 грудня 2018). Handbook of Applied Cryptography (англ.). CRC Press. ISBN 978-0-429-88132-9.
6. Weisstein, Eric W. Least Period. mathworld.wolfram.com (англ.). Процитовано 13 серпня 2021.
7. Hosch, William L. (1 червня 2018). Rational number. Encyclopedia Britannica (англ.). Процитовано 13 серпня 2021.
8. Cheng, SuiSun (29 вересня 2017). New Developments in Difference Equations and Applications: Proceedings of the Third International Conference on Difference Equations (англ.). Routledge. ISBN 978-1-351-42880-4.
9. Shlezinger, Nir; Todros, Koby (1 січня 2019). Performance analysis of LMS filters with non-Gaussian cyclostationary signals (PDF). Signal Processing (англ.). 154: 260—271. arXiv:1708.00635. doi:10.1016/j.sigpro.2018.08.008. ISSN 0165-1684.