Дружні числа

Дружніми числами називають два натуральні числа такі, що сума всіх дільників першого (за винятком самого числа) дорівнює другому числу, а сума всіх дільників другого числа (за винятком самого числа) рівна першому числу. Наприклад для 220 такими дільниками є числа 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 і 110 сума яких рівна 284, а для 284 дільниками є 1, 2, 4, 71, і 142 сума яких рівна 220. Отже (220,284) є парою дружніх чисел. Найменшими парами дружніх чисел є (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924) (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084)

Способи знаходження

• Правило Табіта

Якщо визначити наступні числа за формулами:

${\displaystyle p=3\times 2^{n-1}-1}$,

${\displaystyle q=3\times 2^{n}-1}$,

${\displaystyle r=9\times 2^{2n-1}-1}$,

де ${\displaystyle n>1}$ — натуральное число, а ${\displaystyle p,\;q,\;r}$ — прості числа, тоді ${\displaystyle 2^{n}pq}$ і ${\displaystyle 2^{n}r}$ — є парою дружніх чисел. За цими формулами були знайдені пари чисел (220, 284), (17296, 18416) і (9363584, 9437056) відповідно для ${\displaystyle n=2,\;4,\;7}$, проте інші пари даного виду на цей час невідомі.

• Правило Ейлера

Дане правило є узагальненням правила Табіта. Якщо визначити наступні числа за формулами:

${\displaystyle p=(2^{(n-m)}+1)\times 2^{m}-1}$,

${\displaystyle q=(2^{(n-m)}+1)\times 2^{n}-1}$,

${\displaystyle r=(2^{(n-m)}+1)^{2}\times 2^{m+n}-1}$,

де ${\displaystyle m>n>1}$ — натуральне число, а ${\displaystyle p,\;q,\;r}$ — прості числа, тоді ${\displaystyle 2^{n}pq}$ і ${\displaystyle 2^{n}r}$ — є парою дружніх чисел.

• Правило Борго

Якщо для пари дружніх чисел виду ${\displaystyle A=au}$ і ${\displaystyle B=as}$ числа ${\displaystyle s}$ і ${\displaystyle p=u+s+1}$ є простими, причому ${\displaystyle a}$ не ділиться на ${\displaystyle p}$, то для всіх тих натуральних ${\displaystyle n}$, для яких обидва числа ${\displaystyle q_{1}=(u+1)p^{n+1}-1}$ і ${\displaystyle q_{2}=(u+1)(s+1)p^{n}-1}$ прості, числа ${\displaystyle B_{1}=Ap^{n}q_{1}}$ і ${\displaystyle B_{2}=ap^{n}q_{2}}$ — дружні.

Відкриті питання

Зараз не відомі відповіді на наступні питання:

• Чи всі пари дружніх чисел мають однакову парність?
• Чи існує пара взаємно-простих дружніх чисел?

Посилання

• http://mathworld.wolfram.com/AmicablePair.html [Архівовано 13 жовтня 2020 у Wayback Machine.]
• Всі відомі дружні числа [Архівовано 30 січня 2017 у Wayback Machine.]

Див. також

• Досконале число
• Напівдосконале число