Число Керол

Число Керол — ціле число вигляду ${\displaystyle 4^{n}-2^{n+1}-1}$.

Еквівалентна форма ${\displaystyle (2^{n}-1)^{2}-2}$.

Декілька перших чисел Керол:

−1, 7, 47, 223, 959, 3967, 16 127, 65 023, 261 119, 1 046 527 — послідовність A093112 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

Числа Керол вперше вивчав Клетус Еммануель (Cletus Emmanuel), який назвав їх ім'ям своєї подруги — Керол Г. Кірнон (Carol G. Kirnon)[1][2].

Для ${\displaystyle n>2}$ двійкове подання n -го числа Керол складається з ${\displaystyle n-2}$ послідовних одиниць, одного нуля і ще ${\displaystyle n+1}$ послідовних одиниць, або, в алгебричній формі,

${\displaystyle \sum _{i\neq n+2}^{2n}2^{i-1}.}$

Таким чином, наприклад, 47 відповідає двійковий запис 101111, а 223 — 11011111.

Різниця між 2n-им простим числом Мерсенна та n-им числом Керол дорівнює ${\displaystyle 2^{n+1}}$. Це дає ще один еквівалентний вираз для чисел Керол: ${\displaystyle (2^{2n}-1)-2^{n+1}}$. Різниця між n-им числом Кайні^[de] та n-им числом Керол дорівнює ${\displaystyle 2^{n+2}}$.

Починаючи з 7, кожне третє число Керол ділиться на 7.

Отже, щоб число Керол було простим, його індекс n повинен відрізнятися від ${\displaystyle 3x+2}$ для ${\displaystyle x>0}$.

Перші кілька чисел Керол, які також є простими числами:

7, 47, 223, 3967, 16 127 — послідовність A091516 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

На липень 2007 року найбільше відоме число Керол, яке є простим, — число для ${\displaystyle n=253987}$, що має 152 916 знаків[3][4]. У травні 2007 року його знайшов Клетус Еммануель, скориставшись програмами MultiSieve та PrimeFormGW. Це 40-ве просте число Керол.

7-ме число Керол (5-те просте число Керол) — 16127, записане у зворотному порядку, дає просте число[5]. Таке ж властивість має 12-те число Керол (7-ме просте число Керол) — 16769023[6].

Примітки

1. Cletus Emmanuel at Prime Pages.
2. Message to Yahoo primenumbers group [Архівовано 2011-06-03 у Wayback Machine.] from Cletus Emmanuel.
3. 253987-ме число Керол на Prime Pages.
4. Carol Primes and Kynea Primes by Steven Harvey.
5. Prime Curios! 16127. t5k.org. Процитовано 4 грудня 2023.
6. Prime Curios! 16769023. t5k.org. Процитовано 4 грудня 2023.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Near-Square Prime(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Prime Database entry for Carol(226749)
• Prime Database entry for Carol(248949)