Сьомий степінь

У арифметиці та алгебрі сьомий степінь числа n є результатом множення семи екземплярів n. Так:

n^7 = n × n × n × n × n × n × n.

Сьомий степінь також утворюється шляхом множення числа на його шостий степінь, квадрата числа на його п'ятий степінь або куба числа на його четвертий степінь.

Послідовність сьомих степенів цілих чисел:

0, 1, 128, 2187, 16384, 78125, 279936, 823543, 2097152, 4782969, 10000000, 19487171, 35831808, 62748517, 105413504, 170859375, 268435456, 410338673, 612220032, 893871739, 1280000000, 1801088541, 2494357888, 3404825447, 4586471424, 6103515625, 8031810176, … послідовність A001015 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

У архаїчній нотації^[en] Роберта Рекорда сьомий степінь числа називався «другим сюрсолідом».[1]

Властивості

Леонард Юджин Діксон^[en] вивчав узагальнення проблеми Воринга для сьомих степенів, показавши, що кожне невід'ємне ціле число можна представити як суму щонайбільше 258 невід'ємних сьомих степенів[2] (1^7 це 1, а 2^7 це 128). Усі натуральні числа, окрім скінченної кількості, можна виразити простіше як суму щонайбільше 46 сьомих степенів.[3] Якщо дозволені степені від'ємних цілих чисел, потрібно лише 12 степенів.[4]

Найменше число, яке можна представити двома різними способами у вигляді суми чотирьох сьомих степенів додатних, цілих це 2056364173794800.[5]

Найменший сьомий степень, який можна представити у вигляді суми восьми різних сьомих степенів:[6]

${\displaystyle 102^{7}=12^{7}+35^{7}+53^{7}+58^{7}+64^{7}+83^{7}+85^{7}+90^{7}.}$

Відомі дів приклади сьомого степеня, що виражається як сума семи сьомих степенів

${\displaystyle 568^{7}=127^{7}+258^{7}+266^{7}+413^{7}+430^{7}+439^{7}+525^{7}}$ (M. Dodrill, 1999);[7]

і

${\displaystyle 626^{7}=625^{7}+309^{7}+258^{7}+255^{7}+158^{7}+148^{7}+91^{7}}$ (Maurice Blondot, 11/14/2000);[7]

будь-який приклад з меншою кількістю доданків у сумі був би від контрприкладом до гіпотези Ейлера, яка, як відомо, хибна для степенів 4 і 5.

Див. також

• Шостий степінь
• П'ятий степінь
• Четвертий степінь
• Куб (алгебра)
• Квадрат (алгебра)

Примітки

1. Womack, D. (2015), Beyond tetration operations: their past, present and future, Mathematics in School, 44 (1): 23—26
2. Dickson, L. E. (1934), A new method for universal Waring theorems with details for seventh powers, American Mathematical Monthly, 41 (9): 547—555, doi:10.2307/2301430, JSTOR 2301430, MR 1523212
3. Kumchev, Angel V. (2005), On the Waring-Goldbach problem for seventh powers, Proceedings of the American Mathematical Society, 133 (10): 2927—2937, doi:10.1090/S0002-9939-05-07908-6, MR 2159771
4. Choudhry, Ajai (2000), On sums of seventh powers, Journal of Number Theory, 81 (2): 266—269, doi:10.1006/jnth.1999.2465, MR 1752254
5. Ekl, Randy L. (1996), Equal sums of four seventh powers, Mathematics of Computation, 65 (216): 1755—1756, Bibcode:1996MaCom..65.1755E, doi:10.1090/S0025-5718-96-00768-5, MR 1361807
6. Stewart, Ian (1989), Game, set, and math: Enigmas and conundrums, Basil Blackwell, Oxford, с. 123, ISBN 0-631-17114-2, MR 1253983
7. Quoted in Meyrignac, Jean-Charles (14 лютого 2001). Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers: Best Known Solutions. Процитовано 17 липня 2017.