y=x², при цілих значеннях x на відрізку від 1 до 25 Квадра́том числа називається результат множення числа на себе (піднесення числа до степеня 2). Зворотна операція по відношенню до піднесення до квадрата — отримання квадратного кореня .
Початок числової послідовності для квадратів цілих невід'ємних чисел (послідовність A000290 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел , OEIS ) виглядає наступним чином:
0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849… Квадрат натурального числа
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
непарних чисел :
1:
1
=
1
{\displaystyle 1=1}
2:
4
=
1
+
3
{\displaystyle 4=1+3}
…
7:
49
=
1
+
3
+
5
+
7
+
9
+
11
+
13
{\displaystyle 49=1+3+5+7+9+11+13}
… Ще один спосіб запису квадрата натурального числа:
n
2
=
1
+
1
+
2
+
2
+
.
.
.
+
(
n
−
1
)
+
(
n
−
1
)
+
n
{\displaystyle n^{2}=1+1+2+2+...+(n-1)+(n-1)+n}
Приклад:
1:
1
=
1
{\displaystyle 1=1}
2:
4
=
1
+
1
+
2
{\displaystyle 4=1+1+2}
…
4:
16
=
1
+
1
+
2
+
2
+
3
+
3
+
4
{\displaystyle 16=1+1+2+2+3+3+4}
… Сума квадратів перших
n
{\displaystyle n}
∑
i
=
1
n
i
2
=
1
2
+
2
2
+
3
2
+
.
.
.
+
n
2
=
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
6
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}
Квадрат комплексного числа в алгебраїчній формі можна обчислити за формулою:
(
a
+
b
i
)
2
=
(
a
2
−
b
2
)
+
2
a
b
i
.
{\displaystyle \left(a+bi\right)^{2}=\left(a^{2}-b^{2}\right)+2abi.}
Аналогічна формула для комплексного числа у тригонометричній формі:
r
(
cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)
2
=
r
2
(
cos
2
ϕ
+
i
sin
2
ϕ
)
.
{\displaystyle r\left(\cos \phi +i\sin \phi \right)^{2}=r^{2}\left(\cos {2\phi }+i\sin {2\phi }\right).}
Квадрат числа дорівнює площі квадрата зі стороною, яка дорівнює цьому числу.
