Дев'ятикутні числа

Дев'ятикутні числа

Дев'ятикутне число — фігурне число, що розширює поняття трикутного та квадратного чисел до дев'ятикутника (багатокутник, що має 9 кутів). На відміну від трикутних та квадратних чисел, моделі, які беруть участь у побудові дев'ятикутних чисел, не є обертально-симетричними. Зокрема, n дев'ятикутних чисел підраховують число точок в структурі n вкладених дев'ятикутників, які мають спільний кут, де i-тий дев'ятикутник, як приклад, має сторону утворену з i точок, розташованих одним блоком окремо від інших.

Формула дев'ятикутних чисел

Дев'ятикутні числа для n визначаються за формулою:

${\displaystyle N(n)={\frac {n(7n-5)}{2}}.}$

Декілька перших дев'ятикутних чисел:

1, 9, 24, 46, 75, 111, 154, 204, 261, 325, 396, 474, 559, 651, 750, 856, 969, 1089, 1216, 1350, 1491, 1639, 1794, 1956, 2125, 2301, 2484, 2674, 2871, 3075, 3286, 3504, 3729, 3961, 4200, 4446, 4699, 4959, 5226, 5500, 5781, 6069, 6364, 6666, 6975, 7291, 7614, 7944, 8281, 8625, 8976, 9334, 9699. послідовність A001106 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

Парність дев'ятикутних чисел слідує за зразком непарне-непарне-парне-парне.

Нехай N(n) - n-те дев'ятикутне число та T(n) n-те трикутне число, то для них виконується рівність:

${\displaystyle {7N(n)+3=T(7n-3)}.}$

Перевірка для дев'ятикутних чисел

${\displaystyle x={\frac {{\sqrt {56n+25}}+5}{14}}.}$

Якщо x є цілим числом, то n є x-дев'ятикутним числом. Якщо x не ціле, то n не дев'ятикутне.

Центроване дев'ятикутне число

Центроване дев'ятикутне число — це центроване фігурне число, яке представляє дев'ятикутник з точкою в середині і всі точки навколо лежать на дев'ятикутних шарах. Центроване дев'ятикутне число для n задається формулою:

${\displaystyle Nc(n)={\frac {(3n-2)(3n-1)}{2}}.}$

Помноживши (n — 1)-ше трикутне число на 9 і додавши 1 отримаємо n-те центроване дев'ятикутне число, але є більш простий зв'язок з трикутними числами — кожне третє трикутне число (1-ше, 4-те, 7-ме, і т. д.) також центроване дев'ятикутне число.

Перші декілька дев'ятикутних чисел:

1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406, 496, 595, 703, 820, 946 (послідовність A060544 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

В списку зустрічаються такі досконалі числа:

3-тє центроване дев'ятикутне число це 7 x 8 / 2 = 28, і 11-те це 31 x 32 / 2 = 496.

Далі: 43-тє це 127 x 128 / 2 = 8128, и 2731-ше це 8191 x 8192 / 2 = 33,550,336.

За виключенням 6, всі парні досконалі числа є також центрованими дев'ятикутними числами, за формулою

${\displaystyle Nc\left({\frac {2^{p}+1}{3}}\right)=2^{p-1}(2^{p}-1),}$ де 2^p−1 — прості числа Марсенна.[1]

В 1850-му році, Поллок висловив припущення, що будь-яке натуральне число це сума максимум одинадцяти центрованих дев'ятикутних чисел, яке ні доведено ні спростовано.[2]

Див. також

• Фігурні числа

Примітки

1. Koshy, Thomas (2014), Pell and Pell–Lucas Numbers with Applications, Springer ISBN 1461484898, 9781461484899, с. 90.
2. Dickson, L. E. (2005), Diophantine Analysis, History of the Theory of Numbers, т. 2, New York: Dover, с. 22—23, архів оригіналу за 9 травня 2013, процитовано 27 березня 2016.

Посилання

• Sloane, N. J. A. and Plouffe, S. Figure M3826 in The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego: Academic Press, 1995.
• Encyclopedia > Centered nonagonal number [Архівовано 14 квітня 2016 у Wayback Machine.]
• http://www.fact-archive.com/encyclopedia/Centered_nonagonal_number [Архівовано 5 березня 2016 у Wayback Machine.]
• http://mathworld.wolfram.com/NonagonalNumber.html [Архівовано 19 березня 2020 у Wayback Machine.]