Число Моцкіна для даного числа n — це кількість можливих варіантів з'єднання n різних точок на колі хордами, які не перетинаються (хорди можуть виходити не з кожної точки). Числа Моцкіна названі на честь Теодора Моцкіна [en] геометрії , комбінаториці і теорії чисел .
Числа Моцкіна
M
n
{\displaystyle M_{n}}
n
=
0
,
1
,
…
{\displaystyle n=0,1,\dots }
1, 1 , 2 , 4 , 9 , 21 , 51 , 127 , 323, 835 , 2188, 5798, 15511, 41835, 113634, 310572, 853467, 2356779, 6536382, 18199284, 50852019, 142547559, 400763223, 1129760415, 3192727797, 9043402501, 25669818476, 73007772802, 208023278209, 593742784829, … послідовність A001006 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел , OEIS
Малюнки демонструють 9 способів поєднати 4 точки на колі хордами, які не перетинаються:
А ці показують 21 спосіб з'єднати 5 точок:
Числа Моцкіна задовольняють рекурентним співвідношенням
M
n
=
M
n
−
1
+
∑
i
=
0
n
−
2
M
i
M
n
−
2
−
i
=
2
n
+
1
n
+
2
M
n
−
1
+
3
n
−
3
n
+
2
M
n
−
2
.
{\displaystyle M_{n}=M_{n-1}+\sum _{i=0}^{n-2}M_{i}M_{n-2-i}={\frac {2n+1}{n+2}}M_{n-1}+{\frac {3n-3}{n+2}}M_{n-2}.}
Числа Моцкіна можуть бути виражені через біноміальні коефіцієнти і числа Каталана :
M
n
=
∑
k
=
0
⌊
n
/
2
⌋
(
n
2
k
)
C
k
.
{\displaystyle M_{n}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}C_{k}.}
Просте число Моцкіна — це число Моцкіна, яке є простим , таких відомо чотири:
2, 127, 15511, 953467954114363... послідовність A092832 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел , OEIS
Число Моцкіна для n також є кількістю додатних цілих послідовностей довжини n-1, у яких початковий і кінцевий елементи дорівнюють 1 або 2, а різниця між будь-якими двома послідовними елементами дорівнює -1, 0 або 1.
Також число Моцкіна для n задає кількість маршрутів з точки (0, 0) до точки (n, 0) за n кроків, якщо дозволено переміщуватися лише вправо (вгору, вниз або прямо) на кожному кроці, і забороняється опускатися нижче осі y = 0.
Наприклад, на рисунку показано 9 можливих шляхів Моцкіна від (0, 0) до (4, 0):
Існує щонайменше чотирнадцять різних проявів чисел Моцкіна в різних галузях математики, які перерахували Донагі та Шапіро 1977 року в своєму огляді чисел Моцкіна.[ 1]
Гвіберт, Пергола та Пінзані 2001 року показали, що вексилярні інволюції [прояснити перераховані числами Моцкіна.[ 2]
↑ Donaghey, R.; Shapiro, L. W. (1977), Motzkin numbers, Journal of Combinatorial Theory 23 (3): 291—301, doi :10.1016/0097-3165(77)90020-6 , MR 0505544 ↑ Guibert, O.; Pergola, E.; Pinzani, R. (2001), Vexillary involutions are enumerated by Motzkin numbers, Annals of Combinatorics , 5 (2): 153—174, doi :10.1007/PL00001297 , ISSN 0218-0006 , MR 1904383
Bernhart, Frank R. (1999), Catalan, Motzkin, and Riordan numbers, Discrete Mathematics 204 (1-3): 73—112, doi :10.1016/S0012-365X(99)00054-0 Motzkin, T. S. (1948), Relations between hypersurface cross ratios, and a combinatorial formula for partitions of a polygon, for permanent preponderance, and for non-associative products, Bulletin of the American Mathematical Society 54 (4): 352—360, doi :10.1090/S0002-9904-1948-09002-4
