Числа Деланоя

Числа Делануа[1] або числа Деланоя[2] (фр. Delannoy) D (a, b) в комбінаториці описують кількості шляхів з лівого нижнього кута прямокутної решітки (a, b) в протилежний по діагоналі кут, використовуючи тільки ходи вгору, вправо або вгору-вправо («ходом короля»). В a-вимірному клітинному автоматі D (a, b) задають кількість клітинок в околиці фон Неймана радіусом b (послідовність A008288 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS); кількість клітинок на поверхні околиці задає послідовність A266213 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS. Названі на честь французького математика Анрі Оґюста Делануа^[fr][3].

Деякі значення

Для квадратної сітки n×n перші числа Делануа (починаючи з n=0) (послідовність A001850 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS):

1, 3, 13, 63, 321, 1683, 8989, 48639, 265729, …

Наприклад, D (3,3) = 63, оскільки в квадраті 3 × 3 існує 63 різних шляхи Делануа:

Шляхи, які не піднімаються вище від діагоналі, описують числа Шредера^[ru].

Числа Делануа утворюють нескінченну матрицю Делануа, частину якої наведено в таблиці:

k\n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21
2	1	5	13	25	41	61	85	113	145	181	221

Властивості

Числа Делануа задовольняють рекурентному співвідношенню: ${\displaystyle \ D(m,n)=D(m-1,n)+D(m-1,n-1)+D(m,n-1)}$, за початкові умови можна взяти D (0, k) = D (k, 0) = 1.

Це рівняння аналогічне трикутнику Паскаля для біноміальних коефіцієнтів C(m, n):

${\displaystyle \ C(m,n)=C(m-1,n)+C(n-1,m)}$

яке стосується кількості шляхів між тими ж вершинами, але за умови, що допустимі тільки ходи по сторонам клітин.^[прояснити]

Якщо врахувати місця, в яких шляхи перетинають діагональ, то можна вивести зв'язок між числами Делануа і біноміальними коефіцієнтами[4] :

${\displaystyle \ D(m,n)=\sum _{k=0}^{m}C(m,k)C(n+m-k,m)=\sum _{k=0}^{m}2^{k}C(m,k)C(n,k)}$

${\displaystyle D(m,n)=\sum _{k=0}^{n}A(m,k),}$

де ${\displaystyle A(m,k)}$ позначено послідовність A266213 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

Твірна функція для чисел:

${\displaystyle \sum _{p,q=0}^{\infty }D(p,q)x^{p}y^{q}={\frac {1}{1-x-y-xy}}}$

Коли розглядаються шляхи в квадраті, числа Делануа рівні:

${\displaystyle D(n)=D(n,n)=P_{n}(3)}$, де ${\displaystyle P_{n}(x)}$ — поліном Лежандра.

Інші їх властивості:

${\displaystyle D(n)={\frac {3(2n-1)D(n-1)-(n-1)D(n-2)}{n}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }D(n)x^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-6x+x^{2}}}}=1+3x+13x^{2}+63x^{3}+321x^{4}+\ldots }$

Примітки

1. Смирнов Е. Ю. Три взгляда на ацтекский бриллиант
2. Кохась К. Разбиение ацтекских диамантов и квадратов на домино
3. Banderier, Cyril; Schwer, Sylviane (2005), Why Delannoy numbers?, Journal of Statistical Planning and Inference, 135 (1): 40—54, arXiv:math/0411128, doi:10.1016/j.jspi.2005.02.004
4. Martin Aigner. A course in enumeration. — Springer, 2007. — С. 19. — ISBN 978-3-540-39032-4.

Див. також

• Число Моцкіна
• Число Нараяни
• Числа Шредера

Посилання

• Weisstein, Eric W. Delannoy Number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Richard P. Stanley. Enumerative Combinatorics. — Cambridge University Press, 1999. — Т. 2. — С. 185. — ISBN 0-521-56069-1.