У этого термина существуют и другие значения, см. Узел (значения).
Эта статья о понятии «узел» в теории узлов; о практическом применении узла см. Узел.
У́зел в математике — вложение окружности (одномерной сферы) в трёхмерное евклидово пространство, рассматриваемое с точностью до изотопии. Основной предмет изучения теории узлов. Два узла считаются эквивалентными, если они изотопны, то есть один из них можно непрерывно продеформировать в другой, причём в процессе деформации не должно возникать самопересечений.
Частным случаем является вопрос о распознавании тривиальности того или иного узла, то есть о том, является ли заданный узел изотопным тривиальному узлу (можно ли его развязать).
Узел - гладкое подмногообразие трехмерной сферы гомеоморфное Под понимается ориентированная трехмерная сфера, а ориентация окружности обычно несущественна.
Узлы являются кобордантными, если существует гладко вложенное в кольцо, которое пересекает по (). Группа кобордизмов узлов - кобордантные ориентированные узлы с операцией связного суммирования. Рассмотрим сферы в сфере Если четно, то
Связка
Понятия косы и узла обобщаются понятием связки. Связка с входами и выходами (то есть, -связка) - система непересекающихся дуг и окружностей, гладко вложенных в полосу такая, что концы дуг есть точками и окружности лежат в Эти дуги и окружности в называются компонентами связки[2].
Трилистник нетривиален, что означает, что невозможно «развязать» трилистник в трёхмерном пространстве без разрезания. С математической точки зрения это означает, что трилистник не изотопен тривиальному узлу. В частности, не существует последовательности движений Рейдемейстера, с помощью которых узел развязывается.
Восьмёрка, четырёхкратный узел или узел Листинга, узел ― один из простейших нетривиальных узлов.
Восьмёрка обозначается символом . Впервые рассмотрен Листингом, учеником Гаусса, в 1847 году.
Трилистник хирален в том смысле, что трилистник отличается от своего собственного зеркального отражения. Два варианта трилистника известны как левосторонний и правосторонний. Невозможно путём деформации левосторонний вариант непрерывным образом перевести в правосторонний или наоборот. (То есть, эти два трилистника не изотопны.)
Также, можно показать, что трилистник (как правый, так и левый) неизотопен восьмёрке.
Пятилистник, известный также как узел в обозначениях Александера и Бриггса, узел «Лапчатка» и печать Соломона, — это узел, для которого число пересечений (минимальное возможное число самопересечений на диаграмме — плоском рисунке — узла) равно пяти.
Для многокомпонентных узлов в верхнем индексе указывается количество компонентов: например, зацепление двух колец имеет символическую запись .
Это были примеры полиномиальных[3] узлов. Неполиномиальным узлом является дикий узел[4]
Ди́кий у́зел — узел в евклидовом пространстве
такой, что не существует гомеоморфизма на себя,
при котором переходит в замкнутую ломаную, состоящую из конечного числа отрезков.
Узлы и зацепления
Вложение (чаще — его образ) несвязной суммы экземпляров окружности в или называется зацеплением кратности.
Зацепление кратности называется узлом.
Узлы, составляющие данное зацепление, называются его компонентами.
Инварианты узлов
В теории узловчисло пересечений узла — это наименьшее число пересечений на любой диаграмме узла. Число пересечений является инвариантом узла.
Например, тривиальный узел имеет нулевое число пересечений, число пересечений трилистника равно трём, а число пересечений восьмёрки равно четырём.
↑Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1983. Серия Библиотечка «Квант», выпуск 21. — С.87
↑Кассел К., Россо М., Тураев В. - Квантовые группы и инварианты узлов. - Москва: Институт компьютерных исследований, 2002, 140 стр.
↑Armstrong (1983) harvtxt error: якоря не существует: CITEREFArmstrong1983 (помощь), p. 215.
↑Livingstone (1996) harvtxt error: якоря не существует: CITEREFLivingstone1996 (помощь), Section 2.1 Wild Knots and Unknottings, pp. 11-14.
Литература
Simon Jonathan. Mathematical Approaches to Biomolecular Structure and Dynamics / Jill P. Mesirov, Klaus Schulten, De Witt Sumners. — 1996. — Т. 82. — (The IMA Volumes in Mathematics and its Applications). — doi:10.1007/978-1-4612-4066-2_4.
P.G. Tait. Scientific papers. — Cambridge University Press, 1898. — Т. 1.
C. A. Adams. The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. — American Mathematical Society, 2004. — ISBN 9780821836781.
Кроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов / Пер. с англ. — Череповец: Меркурий-Пресс, 2000. — 348 с. — ISBN 5-1148-0112-0..
Мантуров В. О. Теория узлов. — М.: РХД, 2005. — 512 с. — ISBN 5-93972-404-3..
Мантуров В. О. Лекции по теории узлов и их инвариантов. — М.: Едиториал УРСС, 2001. — 204 с. — ISBN 5-8360-0287-8..
Милнор Дж. Особые точки комплексных гиперповерхностей / Пер. с англ. — М.: Мир, 1971. — 127 с.
Мандельбаум Р. Четырёхмерная топология / Пер. с англ. — М.: Мир, 1981. — 286 с.
Hillman J. A. Alexander ideals of links B. — Hdlb. — N. Y., 1981.
Yuanan Diao. The additivity of crossing numbers // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 2004. — Т. 13, вып. 7. — doi:10.1142/S0218216504003524.
Marc Lackenby. The crossing number of composite knots // Journal of Topology. — 2009. — Т. 2, вып. 4. — doi:10.1112/jtopol/jtp028.