Зацепление Хопфа

Зацепление Хопфа
Обозначение= L2a1
Число нитей = 2
Длина косы= 2
Число пересечений= 2
Коэффициент зацепления= 1
Гиперболический объём= 0
Класс= тор

Зацепление Хопфа — простейшее нетривиальное зацепление с двумя и более компонентами[1], состоит из двух окружностей, зацеплённых однократно[2] и названо по имени Хайнца Хопфа[3].

Геометрическое представление

Конкретная модель состоит из двух единичных окружностей в перпендикулярных плоскостях, таких что каждая проходит через центр другой[2]. Эта модель минимизирует длину верёвки[англ.] (длина верёвки — инвариант теории узлов) зацепления и до 2002 года зацепление Хопфа являлось единственным, у которого длина верёвки была известна [4]. Выпуклая оболочка этих двух окружностей образует тело, называемое олоидом[5].

Свойства

Скейн-соотношение для зацепления Хопфа

В зависимости от относительной ориентации[англ.] двух компонент коэффициент зацепления Хопфа равен ±1[6].

Зацепления Хопфа является (2,2)-торическим зацеплением[7] с описывающим словом[8] .

Дополнение зацепления Хопфа — , цилиндр над тором[9]. Это пространство имеет локально евклидову геометрию, так что зацепление Хопфа не является гиперболическим. Группа узлов зацепления Хопфа (фундаментальная группа его дополнения) — это (свободная абелева группа на двух генераторах) и она отличает зацепление Хопфа от двух незацеплённых окружностей, которым соответствует свободная группа на двух генераторах[10].

Зацепление Хопфа не может быть раскрашено в три цвета. Это непосредственно следует из факта, что зацепление можно раскрасить лишь в два цвета, что противоречит второй части определения раскраски. В каждом пересечении будет максимум 2 цвета, так что при раскраске мы нарушим требование иметь 1 или 3 цвета в каждом пересечении, либо нарушим требование иметь более 1 цвета.

Расслоение Хопфа

Расслоение Хопфа — это непрерывное отображение из 3-сферы (трёхмерная поверхность в четырёхмерном евклидовом пространстве) в более привычную 2-сферу, такое, что прообраз каждой точки на 2-сфере является окружностью. Таким образом получается разложение 3-сферы на непрерывное семейство окружностей и каждые две различных окружности из этого семейства образуют зацепление Хопфа. Этот факт и побудил Хопфа заняться изучением зацеплений Хопфа — поскольку любые два слоя зацеплены, расслоение Хопфа является нетривиальным расслоением[англ.]. С этого началось изучение гомотопических групп сфер[11].

История

Герб Бузан-ха[англ.]

Зацепление названо именем тополога Хайнца Хопфа, исследовавшего его в 1931 году в работе по расслоению Хопфа[12]. Однако такое зацепление использовал ещё Гаусс[3], а вне математики оно встречалось задолго до этого, например, в качестве герба японской буддийской секты Бузан-ха[англ.], основанной в XVI столетии.

См. также

  • Катенаны, химические соединения с двумя механически сцеплёнными молекулами
  • Узел Соломона, два кольца с двойным зацеплением

Примечания

  1. ↑ Adams, 2004, с. 151.
  2. ↑ 1 2 Kusner, Sullivan, 1998, p. 67–78.
  3. ↑ 1 2 Прасолов, Сосинский, 1997, с. 12.
  4. ↑ Cantarella, Kusner, Sullivan, 2002, p. 257–286.
  5. ↑ Dirnböck, Stachel, 1997, p. 105–118.
  6. ↑ Adams, 2004.
  7. ↑ Kauffman, 1987, p. 373.
  8. ↑ Adams, 2004, p. 133, Exercise 5.22.
  9. ↑ Turaev, 2010, p. 194.
  10. ↑ Hatcher, 2002, p. 24.
  11. ↑ Shastri, 2013, p. 368.
  12. ↑ Hopf, 1931, p. 637–665.

Литература

  • Прасолов В. В., Сосинский А. Б. . Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия. — М.: МЦНМО, 1997. — ISBN 5-900916-10-3.
  • Adams, Colin Conrad. . The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. — American Mathematical Society, 2004. — ISBN 9780821836781.
  • Cantarella J., Kusner R. B., Sullivan J. M.  On the minimum ropelength of knots and links // Inventiones Mathematicae. — 2002. — Vol. 150, no. 2. — doi:10.1007/s00222-002-0234-y. — arXiv:math/0103224.
  • Dirnböck H., Stachel H.  The development of the oloid // Journal for Geometry and Graphics. — 1997. — Vol. 1, no. 2.
  • Hatcher, Allen. . Algebraic Topology. — 2002. — ISBN 9787302105886.
  • Hopf, Heinz.  Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche // Mathematische Annalen. — Berlin: Springer, 1931. — doi:10.1007/BF01457962.
  • Kauffman, Louis H. . On Knots. — Princeton University Press, 1987. — Vol. 115. — (Annals of Mathematics Studies). — ISBN 9780691084350.
  • Kusner R. B., Sullivan J. M. . Topology and geometry in polymer science (Minneapolis, MN, 1996). — New York: Springer, 1998. — Vol. 103. — (IMA Vol. Math. Appl.). — doi:10.1007/978-1-4612-1712-1_7.
  • Shastri, Anant R. . Basic Algebraic Topology. — CRC Press, 2013. — ISBN 9781466562431.
  • Turaev, Vladimir G. . Quantum Invariants of Knots and 3-manifolds. — Walter de Gruyter, 2010. — Vol. 18. — (De Gruyter studies in mathematics). — ISBN 9783110221831.

Ссылки