Гиперболический объём

Гиперболический объём восьмёрки равен 2,029 883 2

В теории узлов гиперболический объём гиперболического зацепления равен объёму дополнения зацепления по отношению к его полной гиперболической метрике. Объём обязательно является конечным вещественным числом. Гиперболический объём негиперболического узла часто считается нулевым. Согласно теореме Мостова о жёсткости объём является топологическим инвариантом зацепления[1]. Как инвариант зацепления объем изучался впервые Уильямом Тёрстоном в связи с его гипотезой геометризации[2].

Существует лишь конечное число гиперболических узлов с одинаковым объёмом[2]. Мутация гиперболического узла будет иметь тот же объём[3], так что имеется возможность состряпать примеры с тем же самым объёмом. Более того, существует произвольно большие конечные множества различных узлов с одинаковым объёмом[2]. На практике гиперболический объём очень эффективен для различения узлов, что применяется интенсивно в перечислении узлов^[англ.]. Компьютерная программа SnapPea^[англ.] Джеффри Викса (англ. Jeffrey Weeks) вычисляет гиперболического объёма зацепления[1].

Гиперболический объём может быть определён для любого гиперболического 3-многообразия^[англ.]. Многообразие Викса^[англ.] имеет наименьший возможный объём среди замкнутых многообразий (многообразие, в отличие от дополнения зацепления, не имеет каспов) и его объём примерно равен 0,9427[4].

Список

• Восьмёрка = 2,029 883 2 (последовательность A091518 в OEIS)
• Узел в три полуоборота = 2,828 12
• Стивидорный узел = 3,163 96
• Узел 6₂^[англ.] = 4,400 83
• Бесконечный узел = 5,137 94
• Пара Перко = 5,638 77
• Узел 6₃^[англ.] = 5,693 02
• Узел Конвея = 11,2191

Примечания

1. Adams, Hildebrand, Weeks, 1991, с. 1—56.
2. Wielenberg, 1981, с. 505—513.
3. Ruberman, 1987, с. 189—215.
4. Gabai, Meyerhoff, Milley, 2009, с. 1157—1215.

Литература

• David Gabai, Robert Meyerhoff, Peter Milley. Minimum volume cusped hyperbolic three-manifolds // Journal of the American Mathematical Society^[англ.]. — 2009. — Т. 22, вып. 4. — doi:10.1090/S0894-0347-09-00639-0. — arXiv:0705.4325.
• Colin Adams, Martin Hildebrand, Jeffrey Weeks. Hyperbolic invariants of knots and links. — Transactions of the American Mathematical Society, 1991. — Т. 326, вып. 1. — doi:10.2307/2001854.
• Daniel Ruberman. Mutation and volumes of knots in S^3 // Inventiones Mathematicae. — 1987. — Т. 90, вып. 1. — doi:10.1007/BF01389038.
• Norbert J. Wielenberg. Riemann surfaces and related topics: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference (State Univ. New York, Stony Brook, N.Y., 1978). — Princeton, N. J., 1981. — Т. 97. — (Ann. of Math. Stud.).

Ссылки

• Hyperbolic Volume Knot Atlas