Обратимый узел

В теории узлов обратимый узел — это узел, который может быть непрерывной деформацией переведён в себя, но с обратной ориентацией. Необратимый узел — это любой узел, который не имеет такого свойства. Обратимость узла является инвариантом узла. Обратимое зацепление — это зацепление с таким же свойством.

Существует только пять типов симметрии узлов, определяемые хиральностью и обратимостью — полностью хиральный, двухсторонний, положительно ахиральный необратимый, отрицательно ахиральный необратимый и полностью ахиральный обратимый[1].

История вопроса

Число обратимых и необратимых узлов по числу пересечений
Число пересечений 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 OEIS последовательность
Необратимые узлы 0 0 0 0 0 1 2 33 187 1144 6919 38118 226581 1309875 последовательность A052402 в OEIS
Обратимые узлы 1 1 2 3 7 20 47 132 365 1032 3069 8854 26712 78830 последовательность A052403 в OEIS

Давно известно, что большинство простых узлов, таких как трилистник и восьмёрка, обратимы. В 1962 году Ральф Фокс высказал предположение, что некоторые узлы необратимы, но не было доказано их существование, пока в 1963 году Хейл Троттер не обнаружил бесконечное семейство необратимых кружевных зацеплений[2]. Теперь известно, что почти все узлы необратимы[3].

Обратимые узлы

Простейший нетривиальный обратимый узел, трилистник. Вращение узла на 180 градусов в 3-мерном пространстве вокруг оси на плоскости рисунка даёт тот же самый рисунок, но с противоположным направлением стрелки ориентации.

Все узлы с числом пересечений 7 и менее обратимы. Не известно общего метода, который дал бы ответ обратим узел или нет[4]. Проблему можно перевести в алгебраическую терминологию [5], но, к сожалению, не известно алгоритма решения этой алгебраической задачи.

Если узел обратим и ахирален, он полностью ахирален. Простейший узел с этим свойством — это восьмёрка. Хиральные обратимые узлы классифицируются как двухсторонние[6].

Строго обратимые узлы

Более абстрактный способ определения обратимого узла — сказать, что существует гомеоморфизм 3-сферы, переводящий узел в себя, но меняющий ориентацию узла на противоположную. Если использовать вместо гомеоморфизма более строгое условие — инволюцию — получим определение строго обратимого узла. Все узлы с туннельным числом[англ.] единица, такие как трилистник и восьмёрка, строго обратимы[7].

Необратимые узлы

Узел 817, простейший из необратимых.

Простейшим примером необратимого узла служит 817 (в обозначениях Александера — Бриггса) или .2.2 (в обозначениях Конвея). Кружевной узел 7, 5, 3 необратим, как и все кружевные узлы вида (2p + 1), (2q + 1), (2r + 1), где p, q и r — различные целые, что даёт бесконечное семейство узлов, необратимость которых доказана Троттером[8].

См. также

Примечания

  1. ↑ Hoste, Thistlethwaite, Weeks, 1998, с. 33–48.
  2. ↑ Trotter, 1963, с. 275–280.
  3. ↑ Murasugi, 2007, с. 45.
  4. ↑ Weisstein, Eric W. Invertible Knot (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Accessed: May 5, 2013.
  5. ↑ Kuperberg, 1996, с. 173–181.
  6. ↑ Clark, Elhamdadi, Saito, Yeatman, 2013.
  7. ↑ Morimoto, 1995, с. 3527—3532 Лемма 5.
  8. ↑ Trotter, 1963, с. 275—280.

Литература

  • Jim Hoste, Morwen Thistlethwaite, Jeff Weeks. The first 1,701,936 knots // The Mathematical Intelligencer. — 1998. — Т. 20, вып. 4. — doi:10.1007/BF03025227. Архивировано 15 декабря 2013 года.
  • H.F. Trotter. Topology. — Pergamon Press, 1963. — Т. 2. — doi:10.1016/0040-9383(63)90011-9.
  • Kunio Murasugi. Knot Theory and Its Applications. — Springer, 2007. — ISBN 9780817647186.
  • Greg Kuperberg. Detecting knot invertibility // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 1996. — Т. 5, вып. 2. — doi:10.1142/S021821659600014X. — arXiv:q-alg/9712048.
  • W. Edwin Clark, Mohamed Elhamdadi, Masahico Saito, Timothy Yeatman. Quandle colorings of knots and applications. — 2013. — arXiv:1312.3307.
  • Kanji Morimoto. There are knots whose tunnel numbers go down under connected sum // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1995. — Т. 123, вып. 11. — doi:10.1090/S0002-9939-1995-1317043-4. — JSTOR 2161103.

Внешние ссылки