Многочлен HOMFLY

Многочлен HOMFLY — инвариант зацепления в форме многочлена двух переменных.

Является одним из самых чувствительных инвариантов зацеплений. В частности, многочлены Джонса и Александера выражаются через HOMFLY подстановками. В то же время HOMFLY вычисляется проще вышеназванных многочленов.

Название HOMFLY объединяет инициалы его авторов: Джима Хоста, Адриана Окняну, Кеннета Миллетта, Питера Дж. Фрейда, У. Б. Р. Ликориша и Дэвида Н. Йеттера.[1] Иногда многочлен называют HOMFLY-PT, указывая на связанную независимую работу Юзефом Х. Пшитицким и Павлом Трачиком.[2]

Определение

HOMFLY зацепления — многочлен двух переменных m и l и определяется скейн-соотношением:

${\displaystyle P({\text{тривиальный узел}})=1,}$

${\displaystyle \ell P(L_{+})+\ell ^{-1}P(L_{-})+mP(L_{0})=0,\,}$

где ${\displaystyle L_{+},L_{-},L_{0}}$ — зацепления, образованные перестройками у одного пересечения диаграммы, как показано на рисунке.

Многочлен HOMFLY зацепления L, которое является разделённым объединением двух зацеплений ${\displaystyle L_{1}}$и ${\displaystyle L_{2}}$, задаётся как

${\displaystyle P(L)={\frac {-(\ell +\ell ^{-1})}{m}}P(L_{1})P(L_{2}).}$

Свойства

• HOMFLY мултипликативен относительно связной суммы узлов:

  ${\displaystyle P(L_{1}\#L_{2})=P(L_{1})\cdot P(L_{2}).}$

• Если ${\displaystyle K'}$ — отражение зацепления ${\displaystyle K}$, то

  ${\displaystyle P_{K}(\ell ,m)=P_{K'}(\ell ^{-1},m),}$.

  • В частности, многочлен HOMFLY можно использовать для различения двух узлов разной хиральности. Однако существуют хиральные пары узлов, которые имеют один и тот же многочлен HOMFLY, например, узлы 9₄₂ и 10₇₁[3]

Примечания

1. Freyd, P., Yetter, D., Hoste, J., Lickorish, W.B.R., Millett, K., and Ocneanu, A. (1985). "A New Polynomial Invariant of Knots and Links". Bulletin of the American Mathematical Society. 12 (2): 239–246. doi:10.1090/S0273-0979-1985-15361-3.
2. Józef H. Przytycki, .Paweł Traczyk (1987). "Invariants of Links of Conway Type" (PDF). Kobe J. Math. 4: 115–139. Архивировано (PDF) 13 марта 2022. Дата обращения: 10 июля 2022.
3. Ramadevi, P. (1994). "Chirality of Knots 9₄₂ and 10₇₁ and Chern—Simons Theory". Modern Physics Letters A. 09 (34): 3205–3217. arXiv:hep-th/9401095. doi:10.1142/S0217732394003026.

Литература

• Прасолов В. В., Сосинский А. Б. Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия. — М.: МЦНМО, 1997. — ISBN 5-900916-10-3.