Многочлен Джонса

Многочлен Джонса — полиномиальный инвариант узла, сопоставляющий каждому узлу или зацеплению многочлен Лорана от формальной переменной ${\displaystyle t^{1/2}}$ с целыми коэффициентами. Построен Воном Джонсом в 1984 году.

Определение через скобку Кауффмана

Для заданного ориентированного зацепления ${\displaystyle L}$ определяется вспомогательный многочлен:

${\displaystyle X(L)=(-A^{3})^{-w(L)}\langle L\rangle }$,

где ${\displaystyle w(L)}$ — число закрученности диаграммы ${\displaystyle L}$, а ${\displaystyle \langle L\rangle }$ — скобка Кауффмана. Число закрученности определяется как разница между числом положительных перекрёстков ${\displaystyle L_{+}}$ и числом отрицательных перекрёстков ${\displaystyle L_{-}}$ и не является инвариантом узла: оно не сохраняется при преобразованиях Рейдемейстера I типа.

${\displaystyle X(L)}$ — инвариант узла, поскольку он инвариантен относительно всех трёх преобразований Рейдемейстера диаграммы ${\displaystyle L}$. Инвариантность относительно преобразований II и III типов следует из инвариантности скобки Кауффмана и числа закрученности относительно этих преобразований. Напротив, для преобразования I типа скобка Кауффмана умножается на ${\displaystyle -A^{\pm 3}}$, что в точности компенсируется изменением на +1 или −1 числа закрученности ${\displaystyle w(L)}$.

Многочлен Джонса определяется из ${\displaystyle X(L)}$ подстановкой:

${\displaystyle A=t^{-1/4}}$,

результирующее выражение является многочленом Лорана от переменной ${\displaystyle t^{1/2}}$.

Определение через представления группы кос

Оригинальное определение Джонса использует операторную алгебру и понятие следа представления кос, возникшего в статистической механике (модель Поттса^[англ.]).

Теорема Александера^[англ.] утверждает, что любое зацепление ${\displaystyle L}$ является замыканием косы с ${\displaystyle n}$ нитями, в связи с этим можно определить представление ${\displaystyle \rho }$ группы кос ${\displaystyle B_{n}}$ с ${\displaystyle n}$ нитями на алгебре Темперли — Либа ${\displaystyle TL_{n}}$ с коэффициентами из ${\displaystyle \mathbb {Z} [A,A^{-1}]}$ и ${\displaystyle \delta =-A^{2}-A^{-2}}$. Стандартная образующая косы ${\displaystyle \sigma _{i}}$ равна ${\displaystyle A\cdot e_{i}+A^{-1}\cdot 1}$, где ${\displaystyle 1,e_{1},e_{2},...,e_{n-1}}$ — стандартные образующие алгебры Темперли — Либа. Для слова ${\displaystyle \sigma }$ косы ${\displaystyle L}$ вычисляется ${\displaystyle \sigma ^{n-1}tr\rho (\sigma )}$, где ${\displaystyle tr}$ — след Маркова, в результате получается ${\displaystyle \langle L\rangle }$, где ${\displaystyle \langle }$ ${\displaystyle \rangle }$ — скобочный полином.

Преимущество этого подхода состоит в том, что выбрав аналогичные представления в других алгебрах, таких как представление ${\displaystyle R}$-матриц, можно прийти к обобщениям инвариантов Джонса (например, таковым является[1] понятие ${\displaystyle k}$-параллельного полинома Джонса).

Определение через скейн-соотношения

Многочлен Джонса однозначно задаётся тем, что он равен 1 на любой диаграмме тривиального узла, и следующим скейн-соотношением:

${\displaystyle (t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_{0})=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-})}$,

где ${\displaystyle L_{+}}$, ${\displaystyle L_{-}}$, и ${\displaystyle L_{0}}$ — три ориентированных диаграммы зацепления, совпадающих везде, кроме малой области, где их поведение соответственно является положительным и отрицательным пересечениями и гладким проходом без общих точек:

Свойства

Многочлен Джонса обладает многими замечательными свойствами[2][3].

Для зацеплений с нечётным числом компонент (в частности, для узлов) все степени переменной ${\displaystyle t}$ в многочлене Джонса целые, а для зацеплений с чётным числом компонент — полуцелые.

Многочлен Джонса связной суммы узлов равен произведению полиномов Джонса слагаемых, то есть:

${\displaystyle V(L_{1}\#L_{2})=V(L_{1})V(L_{2})}$.

Многочлен Джонса несвязной суммы узлов равен:

${\displaystyle V(L_{1}\cup L_{2})=-(t^{-1/2}+t^{1/2})V(L_{1})V(L_{2})}$.

Многочлен Джонса объединения зацепления ${\displaystyle L}$ и тривиального узла равен:

${\displaystyle V(L\cup O)=-(t^{-1/2}+t^{1/2})V(L)}$.

Для ${\displaystyle L^{*_{k}}}$ — ориентированного зацепления, получаемого из заданного ориентированного зацепления ${\displaystyle L}$ заменой ориентации некоторой компоненты ${\displaystyle k}$ на противоположную, имеет место:

${\displaystyle V_{L^{*}}=t^{-3\cdot \lambda }\cdot V(L)}$,

где ${\displaystyle \lambda }$ — это коэффициент зацепления компоненты ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle L-k}$.

Многочлен Джонса не меняется при обращении узла, то есть при замене направления обхода на противоположное (смене ориентации).

Зеркально-симметричный образ зацепления имеет многочлен Джонса, получающийся заменой ${\displaystyle t}$ на ${\displaystyle t^{-1}}$ (свойство легко проверяется с использованием определения через скобку Кауффмана).

Если ${\displaystyle K}$ — узел, тогда:

${\displaystyle V_{K}(e^{2\pi i/3})=1}$.

Значение многочлена Джонса для зацепления ${\displaystyle L}$ с числом компонент зацепления ${\displaystyle p}$ в точке 1:

${\displaystyle V_{L}(1)=(-2)^{p-1}}$.

Многочлен Джонса ${\displaystyle (m,n)}$-торического узла:

${\displaystyle V(t)={\frac {t^{\frac {(m-1)\cdot (n-1)}{2}}\cdot (1-t^{m+1}-t^{n+1}+t^{m+n})}{1-t^{2}}}}$.

Открытые проблемы

В 2003 году построено семейство нетривиальных зацеплений с многочленом Джонса равным многочлену Джонса тривиального зацепления[4], при этом неизвестно, существует ли нетривиальный узел, многочлен Джонса которого является таким же, как и у тривиального узла. В 2017 году построено семейство нетривиальных узлов ${\displaystyle K_{r}}$ с ${\displaystyle 20\cdot 2^{r-1}+1}$ пересечениями, для которых многочлен Джонса ${\displaystyle V(K_{r})}$ сравним с единицей по модулю ${\displaystyle 2^{r}}$[5].

Вариации и обобщения

• Теория Черна — Саймонса описывает топологический порядок в состояниях дробного квантового эффекта Холла. С точки зрения математики теория Черна — Саймонса интересна тем, что позволяет вычислять инварианты узлов, такие как многочлен Джонса.

• В 2000 году Михаил Хованов построил цепной комплекс для узлов и зацеплений и показал, что гомологии этого комплекса являются инвариантом узлов (гомологии Хованова^[англ.]). Эта теория гомологий является категорификацией многочлена Джонса, то есть многочлен Джонса является эйлеровой характеристикой для этой гомологии.

• Многочлен HOMFLY — похожий инвариант узлов и зацеплений.

Примечания

1. Murakami J., The parallel version of polynomial invariants of links Архивная копия от 2 июня 2016 на Wayback Machine, Osaka J. Math., 1989.
2. Jones, V.F.R., A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras Архивная копия от 19 января 2022 на Wayback Machine, Bull. Amer. Math. Soc., 12: 103—111, 1987.
3. Дужин С. В., Чмутов С. В. Узлы и их инварианты, Матем. просв., 1999, выпуск 3, 59-93.
4. Eliahou S., Kauffman L., Thistlethwaite M. Infinite families of links with trivial Jones polynomial, 2003.  (неопр.) Дата обращения: 1 октября 2017. Архивировано 6 мая 2021 года.
5. Eliahou S., Fromentin J. A Remarkable 20-crossing Tangle, 2017.  (неопр.) Дата обращения: 1 октября 2017. Архивировано 5 октября 2021 года.

Литература

• Прасолов В. В., Сосинский А. Б. Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия. — М.: МЦНМО, 1997. — 351 с. — ISBN 5-900916-10-3.