Узел Конвея

Узел Конвея

Узел Киношита–Терасака (11n42) и узел Конвея (11n34) связаны мутацией.

Простое прямоугольное изображение узла Конвея

Узел Конвея на воротах Института Исаака Ньютона

Узел Конвея (англ. Conway knot) — определённый узел с минимальным числом пересечений 11, названный в честь его первооткрывателя, британского математика Джона Хортона Конвея, который впервые описал этот узел в 1970 году.

Свойства

Группа кос для узла Конвея[1]:

${\displaystyle \sigma _{2}^{3}\sigma _{1}\sigma _{3}^{-1}\sigma _{2}^{-2}\sigma _{1}\sigma _{2}^{-1}\sigma _{1}\sigma _{3}^{-1}}$.

Полином Джонса для узла Конвея равен 1:

${\displaystyle t^{-4}(-1+2t-2t^{2}+2t^{3}+t^{6}-2t^{7}+2t^{8}-2t^{9}+t^{10})}$.

В таблицах Дейла Рольфсена и в атласе узлов^[англ.] он имеет номер K11n34.

Гиперболический объём узла Конвея равен 11,2191.

Узел Конвея связан мутацией с узлом Киношиты — Терасаки^[англ.] и имеет с ним один и тот же полином Джонса, полином Александера и полином Конвея, причём последние два равны 1, как и у тривиального узла. Эта пара узлов — простейший (в смысле количества пересечений) пример такого рода.

Узел Конвея — топологически срезанный, но не гладко срезанный.

Вопрос принадлежности узла Конвея к срезанным

Узел Конвея долгое время оставался единственным узлом с количеством пересечений не более 13, для которого было неизвестно, гладко срезанный ли он. Этот вопрос разрешила в 2020 году Лиза Пиччирилло, через 50 лет после того, как Джон Хортон Конвей впервые предложил узел. Для доказательства Пиччирилло построила новый узел, который имел тот же четырёхмерный след, что и узел Конвея. Использовав s-инвариант Расмуссена, она показала, что её узел не является гладким срезом, значит и узел Конвея также не гладко срезанный[2][3][4].

Узел Конвея в культуре и искусстве

• Узел Конвея изображен на воротах Института Исаака Ньютона^[англ.] в Кембриджском университете[5].
• Узел Конвея представлен среди экспонатов передвижной художественной инсталляции Mathemalchemy^[англ.][6].

Примечания

1. Conway's Knot - from Wolfram MathWorld  (неопр.). Дата обращения: 30 августа 2023. Архивировано 30 августа 2023 года.
2. Blakemore, Erin Graduate student untangles nature of Conway knot (англ.). The Washington Post. Дата обращения: 26 мая 2020. Архивировано 30 января 2021 года.
3. Piccirillo, Lisa (2020). "The Conway knot is not slice". Annals of Mathematics. 191 (2): 581—591. arXiv:1808.02923. doi:10.4007/annals.2020.191.2.5. ISSN 0003-486X. JSTOR 10.4007/annals.2020.191.2.5.
4. Аспирантка решила топологическую задачу полувековой давности  (неопр.). Дата обращения: 30 августа 2023. Архивировано 30 августа 2023 года.
5. Art and Mathematics: Knots and Links | Klein Project Blog  (неопр.). Дата обращения: 31 августа 2023. Архивировано 31 августа 2023 года.
6. Conway's Curios - Mathemalchemy  (неопр.). Дата обращения: 31 августа 2023. Архивировано 31 августа 2023 года.

Ссылки

• Узел Конвея в Атласе Узлов