Торический узел

(3,7)-торический узел.

Приз EureleA в виде (2,3)-торического узла.

(2,8)-торическое зацепление

Торический узел — специальный вид узлов, лежащих на поверхности незаузлённого тора в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Торическое зацепление — зацепление, лежащее на поверхности тора. Каждый торический узел определяется парой взаимно простых целых чисел ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$. Торическое зацепление возникает, когда ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ не взаимно просты (в этом случае число компонент равно наибольшему общему делителю ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$). Торический узел является тривиальным тогда и только тогда, когда либо ${\displaystyle p}$, либо ${\displaystyle q}$ равны 1 или −1. Простейшим нетривиальным примером является (2,3)-торический узел, известный также как трилистник.

(2,−3)-торический узел, известный также как левый трилистник

Геометрическое представление

Торический узел можно представить геометрически различными способами, топологически эквивалентными, но геометрически различными.

Обычно используется соглашение, что ${\displaystyle (p,q)}$-торический узел вращается ${\displaystyle q}$ раз вокруг круговой оси тора и ${\displaystyle p}$ раз вокруг оси вращения тора. Если ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ не взаимно просты, то получается торическое зацепление, имеющее более одной компоненты. Соглашения о направлении, в котором нити вращаются вокруг тора, также различны, чаще всего предполагается правый винт для ${\displaystyle pq>0}$[1][2][3].

${\displaystyle (p,q)}$-торический узел может быть задан параметризацией^[англ.]:

${\displaystyle x=r}$ ${\displaystyle \cos(p\phi )}$,

${\displaystyle y=r}$ ${\displaystyle \sin(p\phi )}$,

${\displaystyle z=-\sin(q\phi )}$,

где ${\displaystyle r=\cos(q\phi )+2}$ и ${\displaystyle 0<\phi <2\pi }$. Он лежит на поверхности тора, задаваемого формулой ${\displaystyle (r-2)^{2}+z^{2}=1}$ (в цилиндрических координатах).

Возможны и другие параметризации, поскольку узлы определены с точностью до непрерывной деформации. Примеры для (2,3)- и (3,8)-торических узлов можно получить, приняв ${\displaystyle r=\cos(q\phi )+4}$, а в случае (2,3)-торического узла путём вычитания ${\displaystyle 3\cos((p-q)\phi )}$ и ${\displaystyle 3\sin((p-q)\phi )}$ из вышеприведённых параметризаций ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$.

Свойства

Диаграмма (3,−8)-торического узла.

Торический узел является тривиальным тогда и только тогда, когда либо ${\displaystyle p}$, либо ${\displaystyle q}$ равны 1 или −1[2][3].

Каждый нетривиальный торический узел является простым и хиральными.

${\displaystyle (p,q)}$-торический узел эквивалентен ${\displaystyle (q,p)}$-торическому узлу[1][3]. ${\displaystyle (p,-q)}$-торический узел является обратным (зеркальным отражением) ${\displaystyle (p,q)}$-торического узла[3]. ${\displaystyle (-p,-q)}$-торический узел эквивалентен ${\displaystyle (p,q)}$-торическому узлу, за исключением ориентации.

(3, 4) торический узел на развороте поверхности тора и слово косы

Любой ${\displaystyle (p,q)}$-торический узел может быть построен из замкнутой косы с ${\displaystyle p}$ нитями. Подходящее слово косы[4]:

${\displaystyle (\sigma _{1}\sigma _{2}\cdots \sigma _{p-1})^{q}}$.

Эта формула использует соглашение, что генераторы косы используют правые вращения[2][4][5][6].

Число пересечений ${\displaystyle (p,q)}$-торического узла с ${\displaystyle p,q>0}$ задаётся формулой:

${\displaystyle c=\min((p-1)q,(q-1)p)}$.

Род торического узла с ${\displaystyle p,q>0}$ равен:

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(p-1)(q-1).}$

Многочлен Александера торического узла равен[1][4]:

${\displaystyle {\frac {(t^{pq}-1)(t-1)}{(t^{p}-1)(t^{q}-1)}}}$.

Полином Джонса (правовинтовой) торического узла задаётся формулой:

${\displaystyle t^{(p-1)(q-1)/2}{\frac {1-t^{p+1}-t^{q+1}+t^{p+q}}{1-t^{2}}}}$.

Дополнение торического узла на 3-сфере — это многообразие Зейферта.

Пусть ${\displaystyle Y}$ — ${\displaystyle p}$-мерный дурацкий колпак^[англ.] с диском, удалённым внутри, ${\displaystyle Z}$ — ${\displaystyle q}$-мерный дурацкий колпак с внутренним удалённым диском, и ${\displaystyle X}$ — факторпространство, полученное отождествлением ${\displaystyle Y}$ и ${\displaystyle Z}$ вдоль границы окружности. Дополнение ${\displaystyle (p,q)}$-торического узла является деформационным ретрактом пространства ${\displaystyle X}$. Таким образом, группа узла торического узла имеет представление:

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{p}=y^{q}\rangle }$.

Торические узлы — это единственные узлы, чьи группы узла имеют нетривиальные центры (которые являются бесконечными циклическими группами, образованные элементом ${\displaystyle x^{p}=y^{q}}$ из этого представления).

Список

• Тривиальный узел, 3₁-узел (2,3), Узел «Лапчатка» (5,2), 7₁-узел^[англ.] (7,2), 8₁₉-узел (4,3), 9₁-узел (9,2), 10₁₂₄-узел (5,3).

См. также

• Альтернированный узел
• Узел «Лапчатка»
• Иррациональное обвивание тора^[англ.]

Примечания

1. Livingston, 1993.
2. Murasugi, 1996.
3. Kawauchi, 1996.
4. Lickorish, 1997.
5. Dehornoy, P. et al. (2000). Why are braids orderable? http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/Books/Why/Dgr.pdf Архивная копия от 15 апреля 2012 на Wayback Machine
6. Birman, Brendle, 2005.

Литература

• Charles Livingston. Knot theory. — Mathematical Association of America, 1993. — ISBN 0-88385-027-3.
• Kunio Murasugi. Knot theory and its applications. — Birkhäuser, 1996. — ISBN 3-7643-3817-2.
• Akio Kawauchi. A survey of knot theory. — Birkhäuser, 1996. — ISBN 3-7643-5124-1.
• W. B. R. Lickorish. An introduction to knot theory. — Springer, 1997. — ISBN 0-387-98254-X.
• J. S. Birman, T. E. Brendle. Handbook of knot theory / W. Menasco, M. Thistlethwaite. — Elsevier, 2005. — ISBN 0-444-51452-X..
• J. Milnor. Singular Points of Complex Hypersurfaces. — Princeton University Press, 1968. — ISBN 0-691-08065-8.

Ссылки

• 36 Torus Knots, The Knot Atlas.
• Weisstein, Eric W. Torus Knot (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Torus knot renderer in Actionscript
• Fun with the PQ-Torus Knot