Группа узла — характеристика узла, определяемая как фундаментальная группа его дополнения.
Определение
Пусть есть узел.
Тогда группа узла определяется как фундаментальная группа .[1].
Комментарий
По другим соглашениям узел рассматривается как вложение окружности в 3-сферу.
В этом случае группу узла определяют как фундаментальную группу его дополнения в .
Оба определения дают изоморфные группы.
Свойства
- Два эквивалентных узла имеют изоморфные группы узлов, так что группа узла является инвариантом узла и может быть использована для установления неэквивалентности пары узлов. Однако два неэквивалентных узла могут иметь изоморфные группы узлов (см. пример ниже).
- Группу узлов (а также фундаментальную группу ориентированных зацеплений в общем случае) можно вычислить с помощью сравнительно простых алгоритмов, используя представление Виртингера[англ.].
Примеры
- Группа тривиального узла изоморфна .
- Группа трилистника изоморфна группе кос , эта группа имеет задание:
- или .
- Группа -торического узла обладает заданием:
- .
- Группа восьмёрки имеет задание:
- .
- Прямой узел и бабий узел имеют изоморфные группы узлов, но узлы эти не эквивалентны.
См. также
Примечания
Литература