Фундамента́льная гру́ппа — одна из простейших конструкций в алгебраической топологии.
Сопоставляется группа всякому связному топологическому пространству.
Для подмножеств плоскости эта группа измеряет количество «дырок».
Наличие «дырки» определяется невозможностью непрерывно продеформировать (стянуть) некоторую замкнутую кривую в точку.
Фундаментальная группа пространства с отмеченной точкой обычно обозначается или , последнее обозначение применимо для связных пространств.
Тривиальность фундаментальной группы обычно записывается как , хотя обозначение более уместно.
Определение
Пусть — топологическое пространство с отмеченной точкой . Рассмотрим множество петель в из ;
то есть множество непрерывных отображений
, таких что .
Две петли и считаются эквивалентными, если они гомотопны друг другу в классе петель, то есть найдется соединяющая их гомотопия , удовлетворяющая свойству .
Соответствующие классы эквивалентности (обозначаются ) называются гомотопическими классами.
Произведением двух петель называется петля, определяемая их последовательным прохождением:
Произведением двух гомотопических классов и называется гомотопический класс произведения петель.
Можно показать, что он не зависит от выбора петель в классах.
Множество гомотопических классов петель с таким произведением становится группой.
Эта группа и называется фундаментальной группой пространства с отмеченной точкой и обозначается .
Комментарии
- Про можно думать как о паре пространств .
- Единицей группы является класс тождественной, или неподвижной петли, обратным элементом — класс петли, пройденной в обратном направлении.
- Если — линейно связное пространство, то с точностью до изоморфизма фундаментальная группа не зависит от отмеченной точки. Поэтому для таких пространств можно писать вместо не боясь вызвать путаницу. Однако для двух точек канонический изоморфизм между и существует лишь если фундаментальная группа абелева.
Связанные определения
- Каждое непрерывное отображение пунктированных пространств индуцирует гомоморфизм , определяемый формулой . Таким образом, взятие фундаментальной группы вместе с описанной операцией образует функтор .
- Пространство называется односвязным, если оно линейно связно и группа тривиальна (состоит только из единицы).
Примеры
- В есть только один гомотопический класс петель. Следовательно, фундаментальная группа тривиальна, . То же верно и для любого пространства — выпуклого подмножества .
- В окружности , каждый гомотопический класс состоит из петель, которые навиваются на окружность заданное число раз, которое может быть положительным или отрицательным в зависимости от направления. Следовательно, фундаментальная группа окружности изоморфна аддитивной группе целых чисел .
- Фундаментальная группа -мерной сферы тривиальна при всех .
- Фундаментальная группа восьмёрки неабелева — это свободное произведение . Справедлив более общий результат, следующий из теоремы ван Кампена: если и — линейно связные пространства и локально односвязны, то фундаментальная группа их букета (склейки по выделенной точке) изоморфна свободному произведению их фундаментальных групп:
- Фундаментальная группа плоскости c выколотыми точками — свободная группа с порождающими.
- Фундаментальная группа ориентированной замкнутой поверхности рода может быть задана образующими с единственным соотношением: .
Свойства
- Если — ретракт , содержащий отмеченную точку , то гомоморфизм , индуцированный вложением , инъективен.
- В частности, фундаментальная группа компоненты линейной связности , содержащей отмеченную точку, изоморфна фундаментальной группе всего .
- Если — строгий деформационный ретракт , то является изоморфизмом.
- сохраняет произведение: для любой пары топологических пространств с отмеченными точками и существует изоморфизм
- естественный по и .
- Теорема ван Кампена: Если — объединение линейно связных открытых множеств , каждое из которых содержит отмеченную точку , и если каждое пересечение линейно связно, то гомоморфизм , индуцированный вложениями , сюрьективен. Кроме того, если каждое пересечение линейно связно, то ядро гомоморфизма — это наименьшая нормальная подгруппа , содержащая все элементы вида (где индуцирован вложением ), а потому индуцирует изоморфизм (первая теорема об изоморфизме).[1] В частности,
- сохраняет копроизведения: естественно по всем .
- (случай двух ): условие для тройных пересечений становится излишним, и получается, что , что является ограниченной (случаем линейно связного ) формой сохранения толчков.
- Произвольная группа может быть реализована как фундаментальная группа двумерного клеточного комплекса.
- Произвольная конечно заданная группа может быть реализована как фундаментальная группа замкнутого 4-мерного многообразия.
- Фундаментальная группа пространства действует сдвигами на универсальном накрытии этого пространства (если универсальное накрытие определено).
Вариации и обобщения
- Фундаментальная группа является первой из гомотопических групп.
- Фундаментальным группоидом[англ.] пространства называют группоид , объектами которого являются точки , а морфизмами — гомотопические классы путей с композицией путей. При этом , и если линейно связно, то вложение является эквивалентностью категорий.
Примечания
- ↑ А. Хатчер, Алгебраическая топология, М.: МЦНМО, 2011.
Литература
|