Группоид (теория категорий)

Не следует путать с магмой — ранее также называвшейся группоидом.

В то время как повороты кубика Рубика составляют группу (с точки зрения теории категорий — изоморфизмы в категории с одним объектом), ходы в пятнашках можно сопоставить морфизмам соответствующего группоида (объектами являются положения головоломки), поскольку ход можно сделать не из всякого положения.

Группо́ид в теории категорий — категория, в которой все морфизмы являются изоморфизмами. Группоиды можно рассматривать как обобщение групп: категория, соответствующая группе ${\displaystyle G}$, имеет ровно один объект и по одной стрелке для каждого элемента ${\displaystyle g}$ из ${\displaystyle G}$, композиция стрелок задаётся как умножение соответствующих элементов в группе, при этом каждая стрелка является изоморфизмом; таким образом, множество стрелок группоида можно рассматривать как некоторое множество с частично определённой бинарной операцией умножения, так что для каждого элемента существуют левый и правый обратный, а также левая и правая единица по умножению.

Группоиды естественно заменяют в теории категорий группы симметрий и возникают при классификации классов изоморфных объектов.

Любая категория, являющаяся группой, является группоидом. Для произвольной категории ${\displaystyle C}$ группоидом является подкатегория ${\displaystyle D\hookrightarrow C}$, объекты которой совпадают с объектами ${\displaystyle C}$, а морфизмами являются всевозможные изоморфизмы в ${\displaystyle C}$.

Для линейно связного топологического пространства ${\displaystyle X}$ определяется его фундаментальный группоид ${\displaystyle \Pi _{1}(X)}$ как 2-категория, объектами которой являются все точки из ${\displaystyle X}$, а стрелки из ${\displaystyle x\in X}$ в ${\displaystyle y\in X}$ соответствуют всевозможным (геометрическим) путям из ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle f\colon [0;1]\to X,~f(0)=x,\;f(1)=y}$.

Две функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ задают один и тот же путь, если существует ${\displaystyle s:[0;1]\to [0;1]}$, так что ${\displaystyle f=g\circ s}$ или ${\displaystyle g=f\circ s}$. Композиция стрелок задаётся композицией путей:

${\displaystyle fg(t)={\begin{cases}f(2t),\;0\leqslant t\leqslant 1/2\\g(2t-1),\;1/2\leqslant t\leqslant 1\end{cases}}}$.

2-морфизм из ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle g}$ — это гомотопия из ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle g}$. Фундаментальный группоид является категорификацией фундаментальной группы. Его преимущество в том, что в пространстве не требуется выбор отмеченной точки, так что не возникает проблем с неканоничностью изоморфизма фундаментальных групп в разных точках или с пространствами, имеющими несколько компонент связности. Фундаментальная группа петель из точки ${\displaystyle x\in X}$ возникает как группа 2-изоморфных автоморфизмов объекта ${\displaystyle x\in \Pi _{1}(X)}$.

Категория векторных расслоений ранга ${\displaystyle n}$ над стягиваемым пространством с невырожденными отображениями естественно образует группоид; в связи с этим вводится понятие джерба^[англ.] (который является частным случаем стека^[англ.]), представляющего собой структуру на категории пучков заданного типа. Джербы являются геометрическими объектами, классифицируемыми группами когомологий ${\displaystyle H^{2}(X,{\mathcal {G}})}$, где ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ — пучок групп на ${\displaystyle X}$. Понятие особенно важно в случае неабелевых групп ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$.

Литература

• Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.