Гомотопические группы

Гомотопи́ческие гру́ппы — инвариант топологических пространств, одно из основных понятий алгебраической топологии.

Неформально говоря, они классифицируют отображения из многомерных сфер в заданное топологическое пространство с точностью до непрерывной деформации. Несмотря на простоту определения, гомотопические группы очень сложны в вычислении, даже для сфер. Это отличает их от групп гомологий, которые проще считаются, но сложнее определяются. Простейшим частным случаем гомотопических групп является фундаментальная группа.

Определение

Пусть ${\displaystyle X}$ — топологическое пространство, ${\displaystyle x_{0}\in X}$; ${\displaystyle I^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ — единичный куб, то есть ${\displaystyle I^{n}=\{(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}):0\leqslant t_{i}\leqslant 1\}}$, и ${\displaystyle \partial I^{n}}$ — граница этого куба, то есть множество точек куба, такое, что ${\displaystyle t_{i}=0}$ или 1 для некоторого ${\displaystyle i}$. Множество гомотопических классов ${\displaystyle [f]}$ непрерывных отображений ${\displaystyle f\colon I^{n}\to X}$, для которых ${\displaystyle f(\partial I^{n})=x_{0}\in X}$ обозначается ${\displaystyle \pi _{n}(X,x_{0})}$ (причём ${\displaystyle \partial I^{n}}$ переходит в точку ${\displaystyle x_{0}}$ при всех отображениях и гомотопиях). На этом множестве можно определить умножение элементов следующим образом:

${\displaystyle [f][g]=[f*g]}$,

где

${\displaystyle f*g(t_{1},t_{2},\ldots t_{n})=f(2t_{1},t_{2},\ldots t_{n})}$, если ${\displaystyle 0\leqslant t_{1}\leqslant {\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle f*g(t_{1},t_{2},\ldots t_{n})=g(2t_{1}-1,t_{2},\ldots t_{n})}$, если ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\leqslant t_{1}\leqslant 1}$

Так как на границе куба ${\displaystyle f=g=x_{0}}$, то умножение определено корректно. Легко проверить, что ${\displaystyle [f*g]}$ зависит только от гомотопического класса ${\displaystyle [f]}$ и ${\displaystyle [g]}$. Это умножение удовлетворяет всем аксиомам группы. В случае ${\displaystyle n=1}$ получается композиция замкнутых путей и, следовательно, ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ является фундаментальной группой. При n>1 ${\displaystyle \pi _{n}(X,x_{0})}$ называются высшими гомотопическими группами.

Непрерывному отображению пространств ${\displaystyle F\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})}$ соответствует гомоморфизм ${\displaystyle F_{*}\colon \pi _{n}(X,x_{0})\to \pi _{n}(Y,y_{0})}$, причём это соответствие функториально, то есть произведению непрерывных отображений соответствует произведение гомоморфизмов гомотопических групп ${\displaystyle (FG)_{*}=F_{*}G_{*}}$, а тождественному отображению соответствует тождественный гомоморфизм ${\displaystyle (id)_{*}=id_{*}}$. Если отображение ${\displaystyle F}$ гомотопно ${\displaystyle G}$, то ${\displaystyle F_{*}=G_{*}}$.

Зависимость от начальной точки

В отличие от гомологических групп ${\displaystyle H_{n}(X)}$, в определение гомотопических групп ${\displaystyle \pi _{n}(X,x_{0})}$ входит выделенная точка ${\displaystyle x_{0}}$. На самом деле в случае линейно связных пространств гомотопические группы не зависят от выбора точки, хотя в общем случае канонического изоморфизма не существует.

Абелевость высших гомотопических групп

В то время как фундаментальная группа ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ в общем случае неабелева, для всех n>1 ${\displaystyle \pi _{n}(X,x_{0})}$ абелевы, то есть ${\displaystyle [f][g]=[g][f]}$. Наглядное доказательство этого факта можно видеть на следующем рисунке (светло-синие области отображаются в точку ${\displaystyle x_{0}}$):

Абелевость высших гомотопических групп

Относительные гомотопические группы и точная гомотопическая последовательность

Относительные гомотопические группы определяются для пространства ${\displaystyle X}$, его подпространства ${\displaystyle A\subset X}$ и выделенной точки ${\displaystyle x_{0}\in X}$. Пусть ${\displaystyle I^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ — единичный куб (${\displaystyle I^{n}=\{(t_{1},t_{2},\ldots t_{n}):0\leqslant t_{i}\leqslant 1\}}$), ${\displaystyle \partial I^{n}}$ — граница этого куба, a ${\displaystyle I^{n-1}\subset \partial I^{n}}$ — грань куба, определяемая уравнением ${\displaystyle t_{n}=0}$. Множество гомотопических классов ${\displaystyle [f]}$ непрерывных отображений ${\displaystyle f\colon I^{n}\to X}$, для которых ${\displaystyle f\colon I^{n-1}\to A}$ и на остальных гранях ${\displaystyle f\colon \partial I^{n}\setminus \operatorname {Int} (I^{n-1})\to x_{0}}$ обозначается ${\displaystyle \pi _{n}(X,A,x_{0})}$ (причём ${\displaystyle I^{n-1}}$ переходит в ${\displaystyle A}$, а ${\displaystyle \partial I^{n}\setminus \operatorname {Int} (I^{n-1})}$ в точку ${\displaystyle x_{0}}$ при всех отображениях и гомотопиях).

Точно так же, как и раньше, можно доказать, что при ${\displaystyle n\geqslant 2}$ это множество образует группу — относительную гомотопическую группу порядка ${\displaystyle n}$. Если ${\displaystyle n\geqslant 3}$, то предыдущий рисунок доказывает, что ${\displaystyle \pi _{n}(X,A,x_{0})}$ — абелева. (При n=2 доказательство не проходит, так как точки ${\displaystyle I^{1}=\{x:x_{2}=0\}}$ могут переходить в точки ${\displaystyle A}$, отличные от ${\displaystyle x_{0}}$.)

Вложение ${\displaystyle i\colon (A,x_{0})\to (X,x_{0})}$ индуцирует гомоморфизм ${\displaystyle i_{*}\colon \pi _{n}(A,x_{0})\to \pi _{n}(X,x_{0})}$, а вложение ${\displaystyle j\colon (X,x_{0})\to (X,A,x_{0})}$ (здесь ${\displaystyle (X,x_{0})}$ следует понимать как ${\displaystyle (X,x_{0},x_{0})}$), индуцирует гомоморфизм ${\displaystyle j_{*}\colon \pi _{n}(X,x_{0})\to \pi _{n}(X,A,x_{0})}$. Любой элемент ${\displaystyle [f]\in \pi _{n}(X,A,x_{0})}$ определяется отображением ${\displaystyle f}$, которое, в частности, переводит ${\displaystyle I^{n-1}}$ в ${\displaystyle A}$, причём на ${\displaystyle \partial I^{n-1}}$ f тождественно равно ${\displaystyle x_{0}}$, определяя элемент из ${\displaystyle \pi _{n-1}(A,x_{0})}$. Таким образом мы получаем отображение ${\displaystyle \partial \pi _{n}(X,A,x_{0})\to \pi _{n-1}(A,x_{0})}$, которое является гомоморфизмом. Мы имеем следующую последовательность групп и гомоморфизмов:

${\displaystyle \dots ~{\longrightarrow }\pi _{n}(A,x_{0}){\stackrel {i_{*n}}{\longrightarrow }}\pi _{n}(X,x_{0}){\stackrel {j_{*n}}{\longrightarrow }}\pi _{n}(X,A,x_{0}){\stackrel {\partial _{n}}{\longrightarrow }}\pi _{n-1}(A,x_{0}){\longrightarrow }~\dots }$

Эта последовательность является точной, то есть образ любого гомоморфизма совпадает с ядром следующего гомоморфизма. Отсюда в случае, когда ${\displaystyle \pi _{n}(X,x_{0})=0}$ для всех ${\displaystyle n\geqslant 1}$, граничный гомоморфизм ${\displaystyle \partial \colon \pi _{n+1}(X,A,x_{0})\to \pi _{n}(A,x_{0})}$ будет изоморфизмом.

История

Фундаментальная группа была введена создателем топологии Анри Пуанкаре, высшие гомотопические группы — Витольдом Гуревичем. Несмотря на простоту их определения, вычисление конкретных групп (даже для таких простых пространств, как многомерные сферы S^n (смотри гомотопические группы сфер) часто является очень трудной задачей, причём общие методы были получены только в середине XX века с появлением спектральных последовательностей.

Литература

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979
• Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977
• Свитцер Р. М. Алгебраическая топология — гомотопии и гомологии. — М.: Наука, 1985
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989