Ретракт

Ретракт топологического пространства ${\displaystyle X}$ — подпространство ${\displaystyle A}$ этого пространства, для которого существует ретракция ${\displaystyle X}$ на ${\displaystyle A}$; то есть непрерывное отображение ${\displaystyle f:X\to A}$, тождественное на ${\displaystyle A}$ (то есть такое, что ${\displaystyle f(x)=x}$ при всех ${\displaystyle x\in A}$).

Ретракт топологического пространства наследует многие важные свойства самого пространства. В то же время он может быть устроен гораздо проще его самого, более обозрим, более удобен для конкретного исследования.

Примеры

• Одноточечное множество является ретрактом отрезка, прямой, плоскости и т. д.
• Всякое непустое замкнутое множество канторова совершенного множества является его ретрактом.
• ${\displaystyle n}$-мерная сфера не является ретрактом ${\displaystyle (n+1)}$-мерного шара евклидова пространства, так как шар имеет нулевые группы гомологий, а сфера — ненулевую группу ${\displaystyle H_{n}}$. Это противоречит существованию ретракта, так как ретракция индуцирует эпиморфизм групп гомологий.

Связанные определения

• Подпространство ${\displaystyle A}$ пространства ${\displaystyle X}$ называется окрестностным ретрактом, если в ${\displaystyle X}$ существует открытое подпространство, содержащее ${\displaystyle A}$, ретрактом которого является ${\displaystyle A}$.
• Метризуемое пространство ${\displaystyle X}$ называется абсолютным ретрактом (абсолютным окрестностным ретрактом), если оно является ретрактом (соответственно окрестностным ретрактом) всякого метризуемого пространства, содержащего ${\displaystyle X}$ в качестве замкнутого подпространства.
• Если ретракция пространства ${\displaystyle X}$ на его подпространство ${\displaystyle A}$ гомотопна тождественному отображению пространства ${\displaystyle X}$ на себя, то ${\displaystyle A}$ называется деформационным ретрактом пространства ${\displaystyle X}$.
• Линейный оператор ${\displaystyle P}$ в топологическом векторном пространстве ${\displaystyle E}$, являющийся ретракцией, называется непрерывным проектором. Векторное подпространство ${\displaystyle F}$ топологического векторного пространства ${\displaystyle E}$ называется дополняемым, если существует непрерывный проектор ${\displaystyle P\colon E\to F}$.

Свойства

• Подпространство ${\displaystyle A}$ пространства ${\displaystyle X}$ является его ретрактом в том и только в том случае, если всякое непрерывное отображение пространства ${\displaystyle A}$ в произвольное топологического пространство ${\displaystyle Y}$ можно продолжить до непрерывного отображения всего пространства ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$.
• Если пространство ${\displaystyle X}$ — хаусдорфово, то всякий ретракт пространства ${\displaystyle X}$ замкнут в ${\displaystyle X}$.
• Всякое свойство, сохраняющееся при переходе к непрерывному образу, равно как и любое свойство, наследуемое замкнутыми подпространствами, устойчиво относительно перехода к ретракту. В частности, при переходе к ретракту сохраняются
  • компактность,
  • связность,
  • линейная связность,
  • сепарабельность,
  • ограничение сверху на размерность,
  • паракомпактность,
  • нормальность,
  • локальная компактность,
  • локальная связность.
• Если пространство ${\displaystyle X}$ имеет свойство неподвижной точки, т.е . для каждого непрерывного отображения ${\displaystyle f:X\to X}$ существует точка ${\displaystyle x\in X}$ такая, что ${\displaystyle f(x)=x}$, то и каждый ретракт пространства ${\displaystyle X}$ обладает свойством неподвижной точки.
• Абсолютный окрестностный ретракт является локально стягиваемым пространством.
• Ретракция индуцирует эпиморфизм групп гомологий.

Литература

• Борсук К., Теория ретрактов, пер. с англ., М., 1971.
• Куратовский К., Топология том 1, пер. с англ., стр 112, 1966