Связная сумма

Связная сумма сферы с двумя ручками и тора.

Связная сумма — конструкция в топологии, позволяющая построить связное ${\displaystyle n}$-мерное многообразие по двум данным связным ${\displaystyle n}$-мерным многообразиям.

Связная сумма многообразий ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ обычно обозначается ${\displaystyle M\#N}$.

Построение

Для построения связной суммы ${\displaystyle M\#N}$ необходимо вырезать из ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ по открытому шару и склеить полученные сферические края по гомеоморфизму. Если оба многообразия ориентируемы, то при склеивании учитывается ориентация.

Для определения связной суммы в гладкой категории, склеивают воротнички у края по диффеоморфизму.

Эта операции однозначно определена с точностью до гомеоморфизма и соответственно диффеоморфизма.

Примеры

• ${\displaystyle S^{n}\#M^{n}}$ гомеоморфно ${\displaystyle M^{n}}$.

Свойства

• Операция связной суммы коммутативна с точностью до диффеоморфизма; то есть, ${\displaystyle M\#N}$ диффеоморфно ${\displaystyle N\#M}$.
• Относительно операции связной суммы, гладкие структуры на сфере образуют группу.

Вариации и обобщения

• Связная сумма узлов^[англ.]