Теорема Зейферта — ван Кампена

Теорема Зейферта — ван Кампена выражает фундаментальную группу топологического пространства через фундаментальные группы двух открытых подмножеств, покрывающих пространство. 

Названа в честь Герберта Зейферта и Эгберта ван Кампена.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle X}$ — топологическое пространство, ${\displaystyle V,U\subset X}$ — два линейно связных открытых множества таких, что пересечение ${\displaystyle W=V\cap U}$ также линейно связно, и ${\displaystyle X=V\cup U}$. Зафиксируем точку ${\displaystyle p\in W}$. Заметим, что включения

${\displaystyle W\hookrightarrow U,\quad W\hookrightarrow V,\quad U\hookrightarrow X,\quad V\hookrightarrow X}$

индуцируют гомоморфизмы соответствующих фундаментальных групп

${\displaystyle I\colon \pi _{1}(W,p)\to \pi _{1}(U,p)}$, ${\displaystyle J\colon \pi _{1}(W,p)\to \pi _{1}(V,p)}$, ${\displaystyle \pi _{1}(U,p)\to \pi _{1}(X,p)}$ и ${\displaystyle \pi _{1}(V,p)\to \pi _{1}(X,p)}$.

Согласно теореме Зейферта — ван Кампена, эти четыре гомоморфизма определяют кодекартов квадрат в категории групп, то есть

${\displaystyle \pi _{1}(X,p)=\pi _{1}(U,p)*_{\pi _{1}(W,p)}\pi _{1}(V,p).}$

Замечания

• Если даны задания групп ${\displaystyle \pi _{1}(U,p)}$ и ${\displaystyle \pi _{1}(V,p)}$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}(U,p)&=\langle u_{1},\cdots ,u_{k}\mid \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{l}\rangle \\\pi _{1}(V,p)&=\langle v_{1},\cdots ,v_{m}\mid \beta _{1},\cdots ,\beta _{n}\rangle \\\end{aligned}}}$

и ${\displaystyle w_{1},\cdots ,w_{s}}$ — образующие группы ${\displaystyle \pi _{1}(W,p)}$, то

${\displaystyle \pi _{1}(X,p)=\left\langle u_{1},\cdots ,u_{k},v_{1},\cdots ,v_{m}\left|\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{l},\beta _{1},\cdots ,\beta _{n},I(w_{1})J(w_{1})^{-1},\cdots ,I(w_{p})J(w_{p})^{-1}\right.\right\rangle .}$

Следствия

• Если пересечение ${\displaystyle W}$ односвязно, то

  ${\displaystyle \pi _{1}(X,p)=\pi _{1}(U,p)*\pi _{1}(V,p),}$

то есть фундаментальна группа ${\displaystyle X}$ изоморфна свободному произведению фундаментальных групп ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$.

• В частности,

${\displaystyle \pi _{1}(X_{1}\vee X_{2})=\pi _{1}(X_{1})*\pi _{1}(X_{2}),}$

для букета ${\displaystyle X_{1}\vee X_{2}}$ связных и локально односвязных пространств ${\displaystyle X_{1}}$ и ${\displaystyle X_{2}}$.

• Пространство односвязно если оно допускает покрытие двумя односвязными открытыми множествами со связным пересечением.
  • Например сферу ${\displaystyle X=S^{2}}$ можно покрыть двумя дисками ${\displaystyle U=S^{2}\backslash \{n\}}$ и ${\displaystyle V=S^{2}\backslash \{s\}}$, где ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle s}$ обозначают северный и южный полюсы соответственно. Заметим, что пересечение ${\displaystyle W=V\cap U=S^{2}\backslash \{n,s\}}$ связно. Значит, по теореме Зейферта — ван Кампена фундаментальная группа ${\displaystyle X}$ также тривиальна.

Вариации и обобщения

• Существует обобщение теоремы для фундаментальных группоидов. Она позволяет работать в случае если ${\displaystyle W}$ не связно.
• Последовательность Майера — Вьеториса — аналогичная теорема для подсчёта гомологий.

Ссылки

• В. В. Прасолов. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. — М.: МЦНМО, 2004. — 352 с.
• Seifert, H., Konstruction drei dimensionaler geschlossener Raume. Berichte Sachs. Akad. Leipzig, Math.-Phys. Kl. (83) (1931) 26–66.
• E. R. van Kampen. On the connection between the fundamental groups of some related spaces. American Journal of Mathematics, vol. 55 (1933), pp. 261—267.