Пара Перко

Пара Перко
Обозначения
Конвея	[3:-20:-20]
Александера–Бриггса^[англ.]	10161/10162
Даукера^[англ.]	4, 12, -16, 14, -18, 2, 8, -20, -10, -6
Многочлены
Александера	${\displaystyle t^{3}-2t+3-2t^{-1}+t^{-3}}$
Джонса	${\displaystyle q^{-3}+q^{-6}-q^{-7}+q^{-8}-q^{-9}+q^{-10}-q^{-11}}$
Конвея	${\displaystyle z^{6}+6z^{4}+7z^{2}+1}$
Инварианты
Инвариант Арфа^[англ.]	1
Длина косы	10
Число нитей	3
Число мостов	3
Число плёнок^[англ.]	2
Число пересечений	10
Род	3
Гиперболический объём	5,63877
Число развязывания	3
Свойства
Простой, двусторонний, гиперболический, расслоенный
Медиафайлы на Викискладе

Пара Перко, названная по имени Кеннета Перко, — это пара диаграмм в классической таблице узлов, фактически представляющие один и тот же узел. В таблице узлов Дейла Рольфсена узлы этой пары считалась различными и имели индексы 10₁₆₁ и 10₁₆₂. В 1973 году, работая над перепроверкой таблицы узлов Тэйта — Литтла с 10 или менее пересечениями (известна с конца XIX века)[1], Перко обнаружил дублирование в таблице Литтла^[англ.][2]. Это дублирование пропустил Джон Хортон Конвей за несколько лет до этого в своей таблице узлов, и затем оно проникло в таблицу Рольфсена[3]. Пара Перко даёт контрпример «теоремы», объявленной Литтлом в 1900 году, согласно которой число закрученности приведённой диаграммы узла является инвариантом (см. Гипотезы Тэйта), так как две диаграммы пары имеют различные числа закрученности.

В некоторых более поздних таблицах узлы были слегка перенумерованы (узлы с 10₁₆₃ до 10₁₆₆ перенумерованы в узлы 10₁₆₂ — 10₁₆₅), так что узлы 10₁₆₁ и 10₁₆₂ стали различными. Некоторые авторы делают ошибку, утверждая, что эта пара узлов является парой Перко и что они одинаковы[4].

• The Perko pair
• 
  10₁₆₁
• 
  10₁₆₂ (исходная нумерация Рольфсена)

Примечания

1. Little, 1900, с. 774.
2. Perko, 1974, с. 262—266.
3. Rolfsen, 1976, с. Appendix C.
4. "The Revenge of the Perko Pair Архивная копия от 4 октября 2017 на Wayback Machine", RichardElwes.co.uk. Accessed February 2016. Ричард Элвес указывает на общую ошибку в описании пары Перко.

Литература

• Little C.N. Non-alternating +/- knots // Trans. Roy. Soc.. — Edinburgh, 1900. — Т. 39. — С. 774.
• Kenneth A. Perko Jr. On the classification of knots // Proc. Amer. Math. Soc. — 1974. — Т. 45. — С. 262—266.
• Dale Rolfsen. Knots and Links. — 1976. — ISBN 0-914098-16-0.

Ссылки

• 10_161 Knot Atlas
• Pictures of the equivalence between the two knots: "Perko pair knots", KnotPlot. Accessed February 2016.