Срезанный узел

Срезанный узел — это тип математического узла. В теории узлов «узел» означает окружность, вложенную в 3-сферу

${\displaystyle S^{3}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{4}\mid |\mathbf {x} |=1\}}$,

а 3-сферу можно рассматривать как границу четырёхмерного шара

${\displaystyle B^{4}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{4}\mid |\mathbf {x} |\leq 1\}.}$

Узел ${\displaystyle K\subset S^{3}}$ является срезанным, если он является границей диска D, должным образом вложенного в 4-мерный шар[1].

Что означает «должным образом вложенного», зависит от контекста и имеет различное понимание для различных типов срезанных узлов. Если D является гладким вложением в B^4, то говорят, что K является гладко срезанным узлом. Если K является лишь локально плоским^[англ.] (что слабее), то говорят что K является топологически срезанным узлом.

Любой ленточный узел является гладким срезанным узлом. Старый вопрос Фокса (Ralph Fox) заключается в том, является ли любой гладкий срезанный узел ленточным[2].

Сигнатура^[англ.] срезанного узла равна нулю[3].

Многочлен Александера срезанного узла распадается на множители ${\displaystyle f(t)f(t^{-1})}$, где ${\displaystyle f(t)}$ — некоторый многочлен Лорана с целыми коэффициентами[3]. Это известно как условие Фокса-Милнора[4].

Ниже следует список всех срезанных узлов с 10 и менее пересечениями. Список составлен из Атласа Узлов: 6₁, ${\displaystyle 8_{8}}$, ${\displaystyle 8_{9}}$, ${\displaystyle 8_{20}}$, ${\displaystyle 9_{27}}$, ${\displaystyle 9_{41}}$, ${\displaystyle 9_{46}}$, ${\displaystyle 10_{3}}$, ${\displaystyle 10_{22}}$, ${\displaystyle 10_{35}}$, ${\displaystyle 10_{42}}$, ${\displaystyle 10_{48}}$, ${\displaystyle 10_{75}}$, ${\displaystyle 10_{87}}$, ${\displaystyle 10_{99}}$, ${\displaystyle 10_{123}}$, ${\displaystyle 10_{129}}$, ${\displaystyle 10_{137}}$, ${\displaystyle 10_{140}}$, ${\displaystyle 10_{153}}$ и ${\displaystyle 10_{155}}$.

См. также

• Род среза^[англ.]
• Срезанное зацепление^[англ.]

Примечания

1. Lickorish, 1997, с. 86.
2. Gompf, Scharlemann, Thompson, 2010, с. 2305—2347.
3. Lickorish, 1997, с. 90 Архивная копия от 15 сентября 2020 на Wayback Machine.
4. Banagl, Vogel, 2010, с. 61.

Литература

• Robert E. Gompf, Martin Scharlemann, Abigail Thompson. Fibered knots and potential counterexamples to the property 2R and slice-ribbon conjectures // Geometry & Topology. — 2010. — Т. 14, вып. 4. — doi:10.2140/gt.2010.14.2305.
• Markus Banagl, Denis Vogel. The Mathematics of Knots: Theory and Application. — Springer, 2010. — Т. 1. — (Contributions in Mathematical and Computational Sciences). — ISBN 9783642156373.
• W. B. Raymond Lickorish. An Introduction to Knot Theory. — Springer, 1997. — Т. 175. — ISBN 9780387982540.