Движение Рейдемейстера

В математической теории узлов движением (преобразованием) Рейдемейстера называют одно из трёх локальных движений на диаграмме зацепления. В 1927 году Джеймс Александер и Бриггс, а также независимо от них Курт Рейдемейстер, показали, что две диаграммы, относящиеся к одному и тому же узлу, с точностью до плоской изотопии могут быть преобразованы одна в другую с помощью последовательного применения одного из трёх движений Рейдемейстера.

Движения Рейдемейстера

Тип I	Тип II
Тип III

Каждое движение действует в небольшой области диаграммы и бывает одного из трёх типов:

Тип I. Скручивание и раскручивание в любом направлении.

Тип II. Перемещение одной петли целиком через другую.

Тип III. Перемещение нити целиком над или под пересечением.

Заметим, что другие части диаграммы не отображены на схеме движения, а также, что плоская изотопия может исказить рисунок. Нумерация типов движений соответствует числу нитей, вовлечённых в него, к примеру, движение типа II действует на двух нитях диаграммы.

Один из важных случаев, когда требуются движения Рейдемейстера — это определения инвариантов узлов. Инвариант определяют, как свойство диаграммы узла, которое не меняется при любых движениях Рейдемейстера. Множество важных инвариантов можно определить таким образом, включая полином Джонса.

Только движения типа I изменяют число закрученности зацепления. Движение типа III — единственное, которое не изменяет число пересечений на диаграмме.

В приложениях, таких как исчисление Кирби, в котором искомый класс эквивалентности диаграмм узла является не узлом, а оснащённым узлом, необходимо заменить движение типа I движением «модифицированного типа I» (тип I'), состоящем из двух движений типа I в противоположных направлениях. Движение типа I' не затрагивает ни оснащённость зацепления, ни полный индекс извивания диаграммы узла.

Модифицированное движение Рейдемейстера

Тип I'

Брюс Трэйс показал, что две диаграммы связаны только движениями типов II и III тогда и только тогда, когда у них одинаковые числа закрученности и вращения (порядок точки относительно кривой). Кроме того, совместная работа О. Остлунд, В. О. Мантурова и Т. Хаге показывает, что для каждого узла есть такая пара диаграмм, что любая последовательность движений Рейдемейстера, переводящая одну диаграмму в другую, должна состоять из движений всех трёх типов. Александр Ковард показал, что для диаграмм зацеплений, представляющих эквивалентные зацепления, есть последовательность движений, упорядоченная по типам: сначала выполняются движения типа I, затем — типа II, типа III и снова типа II. Движения до движений типа III увеличивают число пересечений, а после них — уменьшают.

В другом русле, Стефан Галатоло, и независимо Джоэл Хас и Джеффри Лагарьяс (с лучшим ограничением), показали, что существует верхняя граница (зависящая от числа пересечений) количества движений Рейдемейстера, необходимая, чтобы превратить диаграмму тривиального узла в его стандартную диаграмму. Это предоставляет малопродуктивный алгоритм для решения задачи развязывания.

Тюитиро Хаяси доказал, что есть также верхняя граница, зависящая от числа пересечений, движений Рейдемейстера, необходимых для расщепления зацепления

Литература

• J. W. Alexander; G. B. Briggs, On types of knotted curves. Ann. of Math. (2) 28 (1926/27), no. 1-4, 562—586.
• Kurt Reidemeister, Elementare Begru"ndung der Knotentheorie, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 5 (1926), 24-32
• Bruce Trace, On the Reidemeister moves of a classical knot. Proc. Amer. Math. Soc. 89 (1983), no. 4, 722—724.
• Tobias Hagge, Every Reidemeister move is needed for each knot type. Proc. Amer. Math. Soc. 134 (2006), no. 1, 295—301.
• Stefano Galatolo, On a problem in effective knot theory. Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Rend. Lincei (9) Mat. Appl. 9 (1998), no. 4, 299—306 (1999).
• Joel Hass; Jeffrey Lagarias, The number of Reidemeister moves needed for unknotting. J. Amer. Math. Soc. 14 (2001), no. 2, 399—428
• Chuichiro Hayashi, The number of Reidemeister moves for splitting a link. Math. Ann. 332 (2005), no. 2, 239—252.