Многочлен Кауфмана

Многочлен Кауфмана — многочлен узла от двух переменных, предложенный Луисом Кауфманом (англ. Louis Kauffman). Первоначально был определён на диаграмме зацеплений как:

${\displaystyle F(K)(a,z)=a^{-w(K)}L(K)}$,

где ${\displaystyle w(K)}$ — закрученность диаграммы зацепления и ${\displaystyle L(K)}$ — многочлен, определённый на диаграмме зацепления со следующими свойствами:

• ${\displaystyle L(O)=1}$ (${\displaystyle O}$ — тривиальный узел);
• ${\displaystyle L(s_{r})=aL(s),\qquad L(s_{\ell })=a^{-1}L(s)}$;
• ${\displaystyle L}$ не меняется при применении движений Рейдемейстера типа II и III.

Здесь ${\displaystyle s}$ — нить, а ${\displaystyle s_{r}}$ (соответственно, ${\displaystyle s_{\ell }}$) — та же нить с добавлением правого (соответственно, левого) витка (используя движение Рейдемейстера типа I).

Кроме того, ${\displaystyle L}$ должно удовлетворять скейн-соотношению Кауфмана:

Рисунки представляют многочлен ${\displaystyle L}$ диаграмм, которые различны внутри окружности, как показано, но идентичны вовне^[уточнить].

Кауфман показал, что ${\displaystyle L}$ существует и является регулярно-изотопическим^[англ.] инвариантом неориентированных зацеплений, откуда следует, что ${\displaystyle F}$ является объемлюще-изотопическим инвариантом ориентированных зацеплений.

Многочлен Джонса — специальный вид многочлена Кауфмана, когда ${\displaystyle L}$ сужается до скобок Кауфмана. Многочлен Кауфмана связан с калибровочной теорией Черна — Саймонса для ${\displaystyle \mathrm {SO} (N)}$ так же, как многочлен HOMFLY связан с калибровочной теорией Черна — Саймонса для ${\displaystyle \mathrm {SU} (N)}$[1].

Примечания

1. Witten. «Quantum field theory and the Jones polynomial» // Commun. Math. Phys.

Литература

• Louis Kauffman. On Knots. — 1987. — ISBN 0-691-08435-1.

Ссылки

• Springer EoM entry for Kauffman polynomial
• The_Kauffman_Polynomial, the Knot Atlas