Ленточный узел

Прямой узел, представленный в виде ленточного узла

В теории узлов ленточный узел — это узел, который ограничивает самопересекающийся круг только с ленточными особенностями. Интуитивно, этот вид особенности может быть образован путём совершения разреза в круге и пропусканием другой части круга через разрез. Более формально, этот тип особенности заключается в самопересечении по дуге. Прообраз этой дуги состоит из двух дуг круга, одна из которых полностью лежит внутри круга, а концы другой находятся на краю круга.

Теория Морса

Секущий круг M — это гладкое вложение ${\displaystyle D^{2}}$ в ${\displaystyle D^{4}}$ с ${\displaystyle M\cap \partial D^{4}=\partial M\subset S^{3}}$. Рассматривая функцию ${\displaystyle f:D^{4}\to \mathbb {R} }$, заданную формулой ${\displaystyle f(x,y,z,w)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}$, путём небольшой изотопии M можно добиться, чтобы f была функцией Морса на M. Можно сказать, что ${\displaystyle \partial M\subset \partial D^{4}=S^{3}}$ является ленточным узлом, если ${\displaystyle f_{|M}:M\to \mathbb {R} }$ не имеет внутреннего локального максимума.

Гипотеза о срезанной ленте

Известно, что любая лента является срезанным узлом. Известная открытая проблема, поставленная Фоксом^[англ.] и известная как гипотеза о срезанной ленте, ставит обратный вопрос: является ли каждый срезанный узел лентой?

Лиска[1] показал, что гипотеза верна для узлов с числом мостиков^[англ.] два. Грин и Ябука[2] показали, что это верно для трёхнитевых кружевных зацеплений. Однако Гомпф, Шарлеман и Томпсон [3] предположили, что гипотеза может быть и не верна и предложили семейства узлов, которые могут стать контрпримерами.

Примечания

1. Lisca, 2007.
2. Greene, Jabuka, 2011.
3. Gompf, Scharlemann, Thompson, 2010.

Литература

• Ralph Fox. Topology of 3-manifolds and related topics (Proc. The Univ. of Georgia Institute, 1961). — Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1962. — С. 168—176.. Переиздано в Dover Books, 2010.
• Robert E. Gompf, Martin Scharlemann, Abigail Thompson. Fibered knots and potential counterexamples to the property 2R and slice-ribbon conjectures // Geometry & Topology. — 2010. — Т. 14, вып. 4. — С. 2305—2347. — doi:10.2140/gt.2010.14.2305.
• Joshua Greene, Stanislav Jabuka. The slice-ribbon conjecture for 3-stranded pretzel knots // American Journal of Mathematics. — 2011. — Т. 133, вып. 3. — С. 555—580. — doi:10.1353/ajm.2011.0022. — arXiv:0706.3398.
• Louis H. Kauffman. On Knots. — Princeton, NJ: Princeton University Press, 1987. — Т. 115. — (Annals of Mathematics Studies). — ISBN 0-691-08434-3.
• Paolo Lisca. Lens spaces, rational balls and the ribbon conjecture // Geometry & Topology. — 2007. — Т. 11. — С. 429—472. — doi:10.2140/gt.2007.11.429.